Los números Transfinitos: Hablemos del Infinito. (Parte I)

Importante: Este artículo y los que le suceden, sin perder la compostura matemática (rigor en lo que se dice), tiene como principal, y diría, que único objetivo acercar la idea de infinito con sencillez, divulgando, pero sin caer en la vulgaridad, al mayor número de lectores posibles, tengan o no formación matemática. Espero, sea “entendible”. Dicho esto, comenzamos.

El Aleph

“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.
“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.

Zenon de Elea

Aquiles y la Tortuga
Aquiles y la Tortuga

Aporía del Estadio

El argumento es así: Un atleta debe correr la distancia de un estadio (El estadio era una unidad de longitud griega, que tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros). Para llegar al final el atleta debe correr la primera mitad y para ello ha de correr previamente la mitad de esa mitad y así sucesivamente, de modo ilimitado, resultando que ni siquiera puede empezar a correr porque tendría que correr un conjunto ilimitado de distancias, siendo cada una la mitad de la siguiente. Esta aporía estaba dirigida contra los matemáticos que consideraban el espacio como una magnitud ilimitadamente divisible, porque Zenón pensaba que eso producía contradicciones al razonar.

Aporía de Aquiles y la Tortuga.

El argumento dice: Aquiles, el de los pies ligeros, corre para alcanzar a una tortuga que se halla a cierta distancia. Aquiles nunca la alcanza, porque cuando llega a donde estaba originariamente la tortuga ésta ha avanzado un trecho y cuando Aquiles corre ese trecho la tortuga ha avanzado otro trecho y así sucesivamente, de modo ilimitado.
Esta aporía es semejante a la del estadio, con la diferencia de que ahora se trata de la relación entre dos objetos móviles. Zenón está poniendo de relieve una contradicción que resulta de pensar el espacio como si fuera una magnitud ilimitadamente divisible. Notemos que en ambas aporías la divisibilidad ilimitada del espacio en relación a un movimiento entraña también la divisibilidad ilimitada del tiempo, algo con lo que Zenón tampoco estaba de acuerdo.

En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 - 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 - 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.
En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 – 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 – 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.

Desde los días del viejo Zenón y sus paradojas o aporías , los hombres no han cesado de hablar del infinito, tanto en teología, en filosofía o en matemáticas. Lo más frecuente era que en las discusiones sobre el infinito los ejemplos que se citaran fueran cosas tales como un poder ilimitado o una magnitud indefinidamente grande.

Busto de Aristóteles en Roma.
Busto de Aristóteles en Roma.

Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual“La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.

Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal en Matemáticas.

Si se entiende como infinito el concepto dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que “no tiene fin, término ni límite”. Sin embargo, esta concepción puede no ajustarse a algunas nociones matemáticas en donde la idea de no tener fin, no tener límite o no tener término no es tan clara. Por ejemplo, se sabe que el intervalo [0, 1] (Conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 ambos inclusive) es un conjunto infinito pero no es cierto que no tiene  fin ni límite en el sentido de que es un conjunto acotado.

Por otra parte, el infinito actual se refiere a un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristóteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)
Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)

En el transcurso del tiempo, la atención sobre el infinito se centró en los infinitos elementos de una colección concreta, de lo que nos avisa Galileo con su famosa paradoja “Paradoja de Galileo”, que aparece en su libro “Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias” o más comúnmente:  “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. La paradoja comienza con la afirmación de que un número natural es un cuadrado perfecto o no lo es. Un cuadrado perfecto no es más que el cuadrado de un número entero. Ahora, si a cada natural lo multiplicamos por si mismo vamos a obtener un cuadrado, que también será un natural.

Esto significa que hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es paradójico porque no todos los naturales son cuadrados. De hecho, a medida que avanzamos en la recta encontramos que aumenta la cantidad de números entre dos cuadrados. Esto insinúa que el todo no tiene porqué ser mayor que cualquiera de sus partes por separado.

Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)
Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)

Karl Weierstrass: «Un matemático no es digno de ese nombre si no es un poco poeta».

Cauchy y Weierstrass (Profesor de Cantor) pensaban que sólo podían resultar paradojas los intentos de identificar un “infinito completo” o “actual” en la matemática, creyendo que lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño no representaban más que las correspondientes potencialidades de Aristóteles, es decir, el carácter esencialmente incompleto del proceso en cuestión.

Aunque se encontraban bajo la influencia del análisis de Weierstrass, dos de sus discípulos Dedekind y Cantor llegaron, sin embargo, a una conclusión digamos opuesta.

Paradojas de Bolzano

Bernard Bolzano
Bernard Bolzano

En 1851 se publicaron “Las Paradojas del Infinito” de Bernard Bolzano. En esta obra analiza la siguiente serie:

Paradoja Bolzano5

Dedekind
Dedekind

El primero de ellos, Dedekind vio en las paradojas de Bolzano,  no algo anómalo, sino justamente una propiedad universal de los conjuntos infinitos, que Dedekind adoptó como una definición precisa:

“Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito”

En una terminología más actual, un conjunto A se dice infinito, si existe un subconjunto propio de A  tal que los elementos de se pueden poner en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los elementos de A.

Nota:

Esta definición <<positiva de un conjunto infinito completo>> no debe confundirse con la proposición que se expresa a veces utilizando el símbolo de Wallis:

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esta expresión significa únicamente que no existe ningún número real, <<por grande que sea>> que multiplicado por 0 proporcione 1.

Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.
Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6 de enero de 1918)

Cantor reconoció, lo mismo que Dedekind, la propiedad fundamental de los conjuntos infinitos, pero se dio cuenta además de que no todos los conjuntos infinitos son del <<mismo tamaño>>, cosa que no parecía haber pensado Dedekind.

Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.

Puede ser el momento de comenzar un paseo, desde el inicio hasta el final, de las ideas que rondaban las cejas de Cantor.

Comenzamos:

Una situación ingenua con la que a veces abordamos a nuestros alumnos:

De todos es conocido que los números naturales (en lo sucesivo N), son los llamados enteros positivos, y llamados así pues nos permiten contar los objetos de manera natural: 1,2,3,…,n,.., una primera clasificación de estos podría ser en Pares e Impares, pues bien, Cantor nos propone una primera e “ingenua” cuestión: Si el conjunto de números naturales (N) lo consideramos como un todo, es claro que el conjunto de los números pares  (P) es una parte de dicho todo, ahí va la “ingenua” pregunta ¿qué conjunto de los dos posee más elementos?.

A esta cuestión, los alumnos abrumadoramente y cegados por la intuición responden con un convencimiento absoluto: N, que además de los pares contiene a los impares, y aunque, en principio, el lector no lo crea la respuesta es errónea.

Existen tantos números pares como naturales. Veamos cómo nos lo explica Cantor.

Pero esta respuesta y más sorpresas sobre el infinito la dejamos para la próxima entrada (Haz click para seguir leyendo la segunda parte).

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