Teoremas de la Geometría Clásica: Geometría en el siglo XIX

La geometría ha sido de todas las ramas de las Matemáticas, la que más ha estado sometida a cambios, según cambiaban las preferencias de una época a otra. En la Grecia clásica alcanzó su cenit, sólo para caer hasta su nadir hacia la época del hundimiento del Imperio Romano. En Arabia y en la Europa renacentista recuperó parte del terreno perdido; durante el siglo XVII se encontraba en el umbral de una nueva era, para ser casi olvidada a continuación durante más de un siglo, al menos por los matemáticos que se dedicaban a la investigación, languideciendo así a las ramas del análisis que proliferaban de una manera exuberante. Inglaterra había librado una batalla perdida, especialmente a finales del siglo XVIII, para reponer los “Elementos de Euclides” en el glorioso lugar que ocuparan antaño, pero lo cierto es que poco se hizo por promover la investigación del tema.

Gaspard Monge

Los esfuerzos de Monge y de Carnot condujeron a un movimiento de renovación de la geometría pura durante el periodo de la Revolución Francesa, pero el verdadero renacimiento, en forma casi explosiva, de la geometría como rama viva de la matemática se produjo a comienzo del siglo XIX. Y, como podría haberse imaginado, la École Polytechnique jugó un papel importantísimo en este movimiento, pues allí fue descubierto el bien  conocido teorema de Brianchon por un estudiante, y se publicó en 1806 en el Journal de la École Polytechnique.

Charles Julien Brianchon (1785-1864) acababa de ingresar en la escuela el año anterior, estudiando con Monge y leyendo la Gèometrie de position de Carnot. Este estudiante de 21 años demostró previamente el teorema de Pascal, olvidado durante largo tiempo, teorema que formulaba Brianchon ya en su forma moderna: “Para todohexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en una recta”. Seguidamente, nos encontramos con el teorema que lleva su nombre: “En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto: el llamado punto de Brianchon”.

Haz click en la imagen, es gif. (ampliar)

Este tipo de relaciones entre puntos y rectas y con respecto a una cónica fueron explotadas más tarde de manera efectiva por otro alumno de la École Polytechnique, el hombre al que podemos considerar con razón el verdadero fundador de la geometría proyectiva. Nos referimos a Jean-Víctor Poncelet (1788-1867), que estudió también con Monge, ingresó en el cuerpo de ingenieros del ejército con el tiempo justo para tomar parte de la desdichada campaña de Napoleón en Rusia en 1812, permaneciendo preso durante varios años en una cárcel de Moscú.

Jean-Victor Poncelet

A su regreso a Francia se convirtió en la figura más importante quizá del renacimiento de la geometría pura. Entre sus primeros descubrimientos está uno que compartió con Brianchon, en el que demuestran el siguiente resultado:

“ La circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas por los vértices de un triángulo a los lados opuestos, pasa también por los puntos medios de los lados, así como por los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el punto de intersección de las tres perpendiculares”.

Este notable teorema no suele llevar el nombre ni de Brianchon ni de Poncelet, sino el de otro matemático, Karl Wilheim Feuerbach (1800-1834), que, de manera independiente, publicó este teorema y otros análogos en 1822.

La obra de Feuerbach, que murió cuando sólo tenía 34 años, puede considerarse como un ejemplo típico de los numerosos resultados nuevos sobre la geometría de la circunferencia y de del triángulo que se fueron descubriendo a lo largo del siglo XIX.

En este clip de vídeo presento de manera animada algunos de los teoremas y resultados que hemos glosado en este artículo. Ver a pantalla completa y con 720p. Espero sea de su agrado.

C.R. Ipiéns

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