Dalí y La Divina Proporción

Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)
Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)

Según Carme Ruiz -Jefa de Conservación y Restauración de la Fundació Dalí-

“Salvador Dalí era un hombre de muchas inquietudes. Una de ellas era el mundo científico, tal como nos muestran tanto su obra como el legado de su vida. En su biblioteca encontramos un centenar de libros, con anotaciones y comentarios en los márgenes, sobre diferentes aspectos científicos: física, mecánica cuántica, origen de la vida, evolución, matemática… Sabemos que al final de sus días estaba muy interesado en la obra de Stephen Hawking La historia del tiempo, además de en la teoría de las catástrofes del matemático René Thom, con quien mantenía una gran amistad. Pero no sólo encontramos estos libros, sino muchas revistas científicas que le hacían estar continuamente al día y a las cuales estuvo suscrito hasta el momento de su muerte. De esta forma, a través de su obra podemos realizar un recorrido histórico por los acontecimientos científicos de este siglo, al menos por los que le impresionaron especialmente”.

Es Matila Ghyka que entonces enseñaba en la Universidad de San Diego, quien pone en conocimiento de Dalí  La Divina proporción mediante Luca Paccioli y su uso en el arte. En estos dos cuadros que presento se hace un uso absolutamente intencionado de todos los elementos áureos: La divina proporción, el Rectángulo Áureo, El pentágono o Pentalfa que contiene a Fi, la Espiral áurea,…

Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.
Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Esta obra se puede considerar como un homenaje exclusivo al rectángulo de oro y a la espiral áurea. Por otro lado, ese “anexo inexplicable” del título del cuadro y que sale del asa de la taza, obligando a prolongar el dibujo hacia arriba, es, en realidad, totalmente explicable: las dimensiones del cuadro (50 × 31 centímetros) están en proporción áurea, siendo tal anexo el elemento que justifica dichas dimensiones.

Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán - 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán – 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Leda Atómica
Leda Atómica

Leda atómica es un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí pintado en 1949. Está hecho mediante la técnica del óleo sobre lienzo, es de estilo surrealista y sus medidas son 61.1 x 45.3 cm. Se conserva en la Fundación Gala-Salvador Dalí, en Figueras, España.

Dalí escribió sobre el cuadro:

“La Leda atómica es el cuadro clave de nuestra vida. Todo está suspendido en el espacio, sin que ninguna cosa toque a otra. El propio mar se eleva a distancia de la tierra”.

Gala, la esposa de Dalí es representada como Leda, quien, según la leyenda, fue seducida por el dios griego Zeus transformado en cisne y dio a luz el huevo del que nacieron los dioscuros, Cástor y Pólux y las hermanas Helena y Clitemnestra.

Dalí quiere personificarse como el cisne pero a la vez, relaciona a Cástor y Pólux como dos almas gemelas analógicamente iguales a Gala y él mismo.

Leda está sentada sobre un alto pedestal, con los pies sobre pequeños pedestales flotantes, mientras acaricia al cisne volador. Todo en el cuadro flota, incluso el mar flota sobre la arena y nada tiene contacto con ninguna cosa, siguiendo la teoría física intra-atómica.

Entre los objetos que flotan están una escuadra de madera, un libro rojo que bien puede ser una Biblia, tres gotas concentradas de agua y un cascarón de huevo, símbolo de la vida, muy importante para Dalí.

Es importante mencionar el realismo con que es pintada Gala, de forma casi fotográfica. Al igual que el cisne, los cuadros de Dalí mostraban desde esa etapa un realismo increíble y muy elaborado.

La versión definitiva fue precedida de varios estudios a tinta china y de una pintura al óleo del mismo tema que no llegó a terminar. Con la ayuda de un matemático rumano a quien había conocido en California, el príncipe Matila Ghyka, Dalí realizó complicados cálculos teóricos durante tres meses que dieron lugar a la peculiar composición del cuadro. La pintura sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que el espectador no la aprecia a simple vista. En el boceto de 1947 se advierte la precisión del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico, el cual es una estrella de cinco puntas (Pentalfas). El triángulo central que encierra la figura de Leda es también áureo.

Espero que este clip sea de su agrado. Visionarlo en HD y en pantalla completa es una opción aconsejable.

 

Vídeo: Dalí y La Divina Proporción.

Autor: C. R. Ipiéns.

Inspirations: Cristóbal Vila

No se hace necesario -creo- presentar de nuevo a uno de los mejores diseñadores y animadores 3D del mundo, Cristóbal Vila; para ello pueden consultarse otras entradas que hacen referencia a su biografía y obra ya expuestas en este blog.

En este trabajo, se nos presenta un maravilloso recorrido iconográfico de la Historia de las Matemáticas; Partiendo del ajedrez y pasando por poliedros, teselas, curvas (cicloide) o personajes como Pascal, Escher, Möbius, Fibonacci; Pintores y cuadros como Durero, Leonardo, Velázquez, Vermer, Hokusai y su gran ola, La alhambra, Los embajadores, y un largo etcétera.

El mismo en su página web, describe este trabajo del siguiente modo:

Cuando comencé a idear esta animación tenía la intención de darle vida a un gran y extenso bodegón, recorriéndolo de un modo similar a aquella fantástica intro creada para los títulos de crédito de la películaDelicatessen.

Pero me faltaba el motivo, los protagonistas de la acción. Así que volví a mirar hacia esa enorme e inagotable fuente de inspiración que es Escher y traté de imaginar cómo podría ser su lugar de trabajo, de qué cosas se rodearía un artista como él, tan profundamente interesado por la ciencia en general y las matemáticas en particular. Todo ello, eso sí, de una forma completamente imaginaria, libre e inventada.

Y aquí tenéis el resultado de ese proceso, acompañado del precioso tema “Lost Song” compuesto por el músico islandés Ólafur Arnalds. Espero que os guste.

Cristóbal Vila, febrero 2012, Zaragoza, España.

Isfahán: Cristóbal Vila

Isfahán o Ispahán, (en persa اصفهان Esfahān) localizada a 340 km al sur de Teherán, es la capital de la provincia de Isfahán y la tercera ciudad más grande de Irán (después de Teherán y Mashhad). Isfahán tiene una población de 1.540.000 habitantes (2000).

Isfahan, Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO

Isfahán, una de las ciudades más bellas del Oriente, situada en el centro de Irán, posee una extensa variedad de magníficos monumentos históricos de distintas épocas. A lo largo de la historia, ha sido uno de los principales centros de las rutas comerciales de Irán.

Desde la época de los  Aqueménidas (550 adC -331 adC), Isfahán fue una de las ciudades preferidas por los reyes, y ya en el siglo V adC la convirtieron en una de sus residencias estivales.

El amor real por la ciudad se mostró especialmente con el monarca safávida Sha Abbas (1587-1629), al que se deben numerosas obras de sabor artístico e histórico. Viajeros de aquella lejana época describieron a Isfahán como la ciudad más próspera y moderna del mundo con cerca de un millón de habitantes. Desde entonces, y pese a la pérdida de la capitalidad, la ciudad ha seguido siendo una atrayente urbe que ha seducido a poetas, músicos y viajeros.

Aquí presento una obra del incomparable artista gráfico Cristóbal Vila, su Isfahan personal. En su web sobre este trabajo, nos escribe:

“…Este trabajo está inspirado en diferentes obras de la Arquitectura Persa. Se trata de una reproducción libre, ya que no he reproducido un único y conocido edificio. He tomado ideas y conceptos de distintas fuentes, especialmente de diferentes templos de la ciudad de Isfahan. La cúpula principal está basada en la estructura de la “Moder É Ahah” y las columnas y bóvedas están inspiradas en la “Mezquita del Imán”, pero la ornamentación está inventada. Pido escusas a los especialistas en Arte Islámico en caso de haber cometido algún grave error de concepto.”

Aquí, su magnífico trabajo; A deleitarse. (VER en HD)

De padres españoles, nació en 1966 en Suiza pero a los pocos años se trasladó a vivir a Zaragoza. Estudió en la Facultad de Bellas Artes de Sant Jordi(Barcelona) desde 1986 a 1990, especializándose en Diseño Gráfico e Industrial. Profesionalmente, después de estar los últimos años en empresas de grafismo y publicidad entre Barcelona y Zaragoza, ha complementado su actividad laboral trabajando en solitario para su despacho de Etérea Estudios, como ‘artista y creador independiente’, según comenta en su web.

Nature by Numbers: Cristóbal Vila

Nautilus
Nautilus

No hace tanto tiempo, trabajando las olvidadas y denostadas construcciones geométricas con regla y compás, y como ejercicio, recorrí la construcción de la “sección áurea”, el “rectángulo áureo”, la “espiral inscrita”,… retomando viejos apuntes y viejas lecturas, estuve  indagando en “mi” Carl B. Boyer qué había sobre el tema, encontré sobre Leonardo da Vinci leves referencias y si una alusión explícita a Luca Paccioli y a dos de sus publicaciones una edición de Euclides que no ofrece nada destacable y otra obra con el impresionante título de “De divina proportione, en la que se estudian los polígonos y poliedros regulares y la razón que se conocería más tarde como “la sección áurea”., o más lacónicamente como dirían los griegos: “la sección”.

Espirá áurea
Espirá áurea

En las navidades de 2008 estructuré el trabajo en tres partes diferenciadas -pero íntimamente relacionadas-: “Fi y las Matemáticas”, “Fi y el Arte” y “Fi y la Naturaleza”, y lo utilicé como experiencia docente en un grupo de alumnos, con un grado muy alto de satisfacción, consiguiendo de ellos un acercamiento a las Matemáticas que, de otra manera, seguro no hubiese conseguido.

still_10

Hace aproximadamente dos años de esto, cuando, siguiendo los trabajos de infografía y diseño del admirado Cristóbal Vila, navegando por las inescrutables y a veces dudosas aguas de la web, encontré un trabajo formidable en su portafolio http://www.etereaestudios.com/, una magistral y maravillosa visión del asunto.

No se me antoja mejor prólogo para este blog que este trabajo: “Nature by numbers. The movie” de Cristóbal Vila.

Que lo gocen.

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.

La Divina Proporción: Parte I

En este clip avanzo una primera parte de un trabajo dividido en tres, que realicé allá por 2008 y que poco a poco iré posteando sobre la divina proporción.

Se presentan algunas consideraciones históricas de la “sección áurea” (Número de Oro) en la antigua Grecia, así como algunas construcciones concernientes a la propia “sección”, el rectángulo áureo, la espiral áurea, la espiral triangular, etc. Aconsejable visionarlo a pantalla completa, es una opción.

En siguientes post presentaremos la divina proporción en el Arte y en la Naturaleza.
Puede verse en pantalla completa y en HD. Es una presentación PowerPoint que he pasado a vídeo.

Eratóstenes y la medición de la Tierra

El mundo según Eratóstenes

Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. Alejandría, 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen cirenaico.

Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días.

El principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra.

Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos.

Sin embargo, Eratóstenes observó que en Alejandría, ese mismo día, los obeliscos sí producían sombra. Eso sólo es posible si La Tierra era redonda, pues el Sol está tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobre La Tierra.

Con toda esta información, Eratóstenes sólo tenía que medir dos elementos: la sombra de un gnomon u obelisco en Alejandría, el mismo día  del solsticio de verano y a la misma hora en el que en Siena no se proyectaba ninguna sombra y la distancia entre Alejandría y Siena. Con estos datos y teniendo en cuenta que prácticamente ambas ciudades se encuentran en la misma longitud (3º de longitud las diferencian realmente) podría calcularse la circunferencia terrestre.

En este clip intento animar cómo lo hizo. Verlo a pantalla completa en HD es una opción.

La medida obtenida hoy en día con toda la parafernalia tecnológica actual es de 39.942 km, el obtuvo una medida de 39.375 km. Único calificativo: ¡Admirable!

Los Elementos de Euclides en China alrededor de 1690

Descripción

  • En 1690, el emperador Kangxi convocó a dos misioneros franceses, Zhang Cheng (Jean François Gerbillon, 1654–1707) y Bai Jin (Joachim Bouvet, 1656–1730) a Pekín para que le enseñaran matemática. Al principio los misioneros consideraron utilizar para este propósito la traducción temprana y parcial de la gran obra de Euclides sobre geometría, Elementosque realizaron Matteo Ricci (1552–1610) y Xu Guangqi (1562–1633), pero creyeron que era demasiado complicada.

  • Entonces decidieron traducir Elements de geometrie del jesuita francés Ignace Gaston Pardies (1636–1673), quien se basó en Euclides, Arquímedes y Apolonio. Le dieron a su obra, en siete juan, el mismo título en chino, Ji he yuan ben (Los elementos de geometría), que Ricci y Xu le habían dado a su traducción de Euclides.

  • Esta copia muy rara es manuscrita. Hay correcciones en tinta y numerosos trozos de papel con correcciones pegados en las páginas, y algunas notas editoriales que realizaron los traductores, de las cuales una dice: «Zhang Cheng desea corregir». La obra se presentó ante el emperador Kangxi, quien añadió comentarios propios en los márgenes superiores. La Biblioteca Nacional Central de Taiwán tiene otra edición de esta obra, cuyo prólogo indica que la obra de Ricci era poco clara gramaticalmente y difícil de entender, lo que explica el motivo de esta traducción. El texto de esta otra edición es el mismo que el que tradujeron Zhang Cheng y Bai Jin, excepto que incorpora las correcciones anteriores. Ambos ejemplares antes pertenecieron a los coleccionistas de libros Mo Tang (1865-1929) y Wang Yinjia (1892-1949).

Autor

  • Pardies, Ignace-Gaston, 1636-1673

Traductor

  • Bouvet, Joachim, 1656-1730
  • Gerbillon, Jean-François, 1654-1707

Fecha de creación

  • Alrededor de 1690 d. C.

Matemáticas en Mesopotamia

La cultura científica en la Mesopotamia antigua es, probablemente, una cultura eclipsada por la monumentalidad de las construcciones egipcias que aún perviven y, desgraciadamente un tanto desconocida por el gran público. La ciencia en Mesopotamia era bastante más desarrollada que la egipcia, como lo confirman sus aportaciones a la ciencia actual.

En el campo de las Matemáticas no podría “elementarse” como lo hizo Euclides todo el equipaje matemático  sin la existencia de tal equipaje, en el que la mayoría de maletas eran de origen mesopotámico.

En Mesopotamia se erige la matemática como la ciencia que encauza los elementos vitales de toda sociedad organizada de su tiempo: La producción agrícola (Agricultura) lo que obliga a la necesidad de conocer los cielos (Astronomía), la medida del tiempo,…  la contabilidad del estado (Economía) –de ahí nuestro término estadística- y las construcciones (Arquitectura) de todo tipo.

Fueron los sumerios los que sentaron las bases de la matemática que se construyó bajo el primer imperio babilónico – tiempo de Hammurabi- desde 1800 a 1530 aprox. ; esta producción matemática serían los cimientos de la matemática racional que se construye en Grecia.

Plimpton:

Plimpton 322 es una tablilla de barro de Babilonia, que destaca por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas. Tiene el número 322 en la colección GA Plimpton en la Universidad de Columbia. Esta tableta, se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en escritura cuneiforme de la época.
Plimpton 322 es una tablilla de barro de Babilonia, que destaca por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas. Tiene el número 322 en la colección GA Plimpton en la Universidad de Columbia. Esta tableta, se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en escritura cuneiforme de la época.

Esta tabla muestra lo que ahora se llaman ternas pitagóricas, es decir, números enteros a, b, c que satisfacen \scriptstyle a^2+b^2=c^2 . El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica. Otto E. Neugebauer (1957) aboga por una interpretación de Teoría de Números, señalando que esta tableta provee una lista de (pares de números que conforman) ternas pitagóricas. Por ejemplo, la línea 11 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto de 3/4 y la hipotenusa 5/4, que forma el lado: relación hipotenusa de la familiar (3,4,5) del triángulo rectángulo. Si p y q son dos números primos entonces \scriptstyle ( p^2 - q^2,\, 2pq,\, p^2 + q^2 ) forma una triple pitagórico, y todos los triples pitagóricos se pueden formar de esta manera o como múltiplos de una triple formó de esta manera.

A grandes rasgos pasemos a glosar algunas de estas aportaciones:

Puede decirse que Babilonia fue el pilar del antiguo orden cósmico. Es la mesopotámica la cultura que establece las primeras leyes que permitieron ordenar los cielos con el establecimiento de las constelaciones. En Mesopotamia se inaugura por vez primera la Astronomía observacional  con la Matemática como herramienta calculista de primer orden.

Los dos pilares de la “ciencia de los astros” son dos de los textos más importantes de la historia de la Astronomía, fueron redactados entre los milenios II y I a.J.C.: el Mul-Apin y el Enuma Anu Enlil. Básicamente, en ellos se establecen las Tablas del Cielo y los llamados Caminos de la Luna, donde se establecen en este último las dieciocho constelaciones mesopotámicas que más tarde fueron reducidas a doce generándose el llamado Zodiaco (rueda de animales) para los griegos.

En resumen, se conoce que midieron con precisión el mes y la revolución de los planetas.

La observación más antigua de un eclipse solar procede también de los babilonios y se remonta al 15 de junio del 763 a.C. Los babilonios calcularon la periodicidad de los eclipses, describiendo el ciclo de Saros, el cual aún hoy se utiliza. Construyeron un calendario lunar y dividieron el día en 24 horas. Finalmente nos legaron muchas de las descripciones y nombres de las constelaciones.

En otro orden de cosas, podríamos destacar las siguientes aportaciones y conocimientos matemáticos:
• Acercamiento al sistema posicional sin llegar a conseguirlo del todo. No utilizaban el cero.
• Sistema de numeración sexagesimal, que hoy aún utilizamos, en la medida del tiempo, en la división en grados de una circunferencia,…

1280px-Babylonian_numerals.svg
• Fracciones sexagesimales. Con ellas, por ejemplo, calcularon un valor para la raíz cuadrada de 2 de 1,414222, que difiere del verdadero valor en 0,000008.
• Conocían las operaciones fundamentales.
• Resolvieron problemas algebraicos, ecuaciones cuadráticas, cúbicas.
• Conocían las ternas pitagóricas, lo que se evidencia en la famosa tablilla de Plimpton 322.
• Áreas de polígonos y una geometría aritmetizada.
• Otros.
En este clip presento, como digo de antemano, un muy breve resumen y una anécdota: el cálculo de la raíz cuadrada. Como siempre puede verse a pantalla completa en HD 720P.

Construcciones Geométricas

En principio este ejercicio comenzó queriendo ser una “animación” de una lectura de un libro de texto impreso en la Editorial Urania (Granada) en 1930, cuyo autor es José Jiménez Osuna, Doctor en Ciencias y Catedrático por oposición del Instituto Gaona de Málaga en aquella época. Luego fue creciendo y aún no sé cuándo acabará…

Las ideas y construcciones que se presentan en este documento sabemos que están incluidas en el currículo de la ESO, aún así, generalmente por cuestiones de tiempo no se llegan a desarrollar lo suficiente (La Geometría, “La gran olvidada”).

A pesar de todo las “construcciones geométricas” mantienen intacta su potencia para el desarrollo de la intuición en el alumno y como herramienta de paso imprescindible para la traducción al lenguaje algebraico de una situación dada.

Esta idea que presento está dedicada a todos mis compañeros de Departamento y especialmente a Eduardo Martínez Abad, Matemático, Profesor y sobre todas las cosas Ser Humano entrañable, del que siempre he recibido un ánimo.

Están en proyecto construcciones sobre Polígonos y Poliedros.

La música que acompaña este clip es de Thomas Hardy Trío versionando piezas clásicas.

Puede verse en HD 1280x720p pantalla completa es una opción. Es una presentación PowerPoint pasada a vídeo.

Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (Samos ca. 580 a. C. – Metaponto ca. 495 a. C.)
Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (Samos ca. 580 a. C. – Metaponto ca. 495 a. C.)

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.
Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.

El Teorema de Pitágoras es la relación matemática que ocupa el primer lugar en el recuerdo de los tiempos escolares. Es, sin duda alguna, la más importante, conocida, útil y popular en casi todas las civilizaciones; la que más nombres, atención, curiosidad y pruebas ha recibido a lo largo de los siglos. Es un teorema que ha causado una gran admiración a todo tipo de personas –matemáticos y no matemáticos–, pero también una gran extrañeza y perplejidad a otras –Leonardo, Hobbes, Schopenhauer, Einstein, …– porque, a diferencia de otros teoremas, aparentemente  no  existe  ninguna  razón  intuitiva  para  que  los  cuadrados  construidos  sobre los lados de un triángulo rectángulo –la hipotenusa y los catetos– deban tener un vínculo tan estrecho entre sí.

La  verosimilitud  del Teorema  de  Pitágoras no  depende  de  un dibujo bien ilustrado sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de lo sensorial –la deducción lógica– Por  eso,  para  muchos  historiadores  de  la  ciencia,  el Teorema de Pitágoras tiene un valor simbólico iniciático como elemento cultural  responsable  de  la  aparición  de  la  Geometría  racional en la Escuela Pitagórica y por tanto forma parte ineludible de la semilla básica de la propia naturaleza de la Matemática desde su origen como ciencia especulativa y deductiva en los albores de la civilización helénica.

La emergencia de este teorema en el horizonte histórico cultural, pero también en el horizonte escolar, señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica e inductiva y los dominios del razonamiento deductivo. En efecto, el Teorema de Pitágoras pudo estar en el origen de la demostración –que caracteriza a la Matemática con respecto a las demás ciencias– ya que la prueba pitagórica del Teorema de Pitágoras tal vez haya sido la  primera  demostración  verdaderamente  matemática  de  la  Historia. Y  también  el Teorema de Pitágoras está situado en el umbral que inicia la práctica deductiva en el desarrollo de la Matemática escolar elemental.

El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la Geometría Analítica y de la Trigonometría. –la fórmula cos2a + sen2a = 1 es un caso particular del Teorema de Pitágoras y el Teorema del coseno es una generalización del mismo–. La relación pitagórica x2 + y2 = z2

es la ecuación de la circunferencia y la raíz histórica del Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat. El Teorema de Pitágoras también pudo ser el germen de la dramática aparición pitagórica de la inconmensurabilidad de gran trascendencia en la estructuración y sistematización  platónico-euclídea de la Geometría griega.

Al ser la fuente de casi todas las relaciones métricas de la Geometría, El Teorema de Pitágoras–como principal tesoro de la tradición pitagórica– tiene un valor práctico, teórico y didáctico inconmensurable. Como paradigma de la Matemática y de la Educación matemática, el más fascinante  y  célebre  teorema  geométrico  pertenece  al  imaginario  cultural  de  casi  todos  los pueblos.

Árbol Fractal Pitagórico
Árbol Fractal Pitagórico

Para una lectura del artículo completo puede consultarse el siguiente enlace:

EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS. UNA HISTORIA GEOMÉTRICA DE 4.000 AÑOSPedro Miguel González Urbaneja

Y para una completa información puede también consultarse el libro: Boyer, Carl B.: Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos, 1992.

En este clip, presento algunas pruebas del Teorema animadas en PowerPoint así, como la construcción de un árbol fractal pitagórico; verlo a pantalla completa y en HD es una opción. Espero sea de su agrado.

Cuarto problema de Apolonio (PPC)

Circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a otra circunferencia dada.
Circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a otra circunferencia dada.

En esta entrada presento un breve apunte geométrico del Cuarto problema de Apolonio, sigue de la entrada hecha ya en este blog, sobre los problemas 1 y 2 de Apolonio (Click aquí) y el tercer problema (click aquí)

En este cuarto problema se resuelve el caso de encontrar una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia dada. Como preliminares, introducimos la noción de Potencia de un punto respecto a una circunferencia y la de Eje radical.

El clip es una presentación PowerPoint pasada a vídeo, recomendable ver en HD a pantalla completa.

 

La Cicloide: La Helena de la Geometría

La cicloide natural, una curva Braquistócrona y Tautócrona.

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas. Fueron tantos los esfuerzos que dedicaron al estudio de sus sorprendentes propiedades que acabó por llamársele la “Helena de la Geometría”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”, aunque otras historias argumentan que, por lo disputada que fue entre los matemáticos de la época la resolución del problema planteado por Bernouilli.
¿El camino más corto es siempre el más rápido?
La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende sólo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.
La curva solución del problema es la cicloide:
En 1697 Isaac Newton recibe y resuelve el problema de la braquistócrona de Jean Bernoulli. El matemático suizo Bernoulli había desafiado a sus compañeros a resolverlo antes de seis meses. Newton no sólo resolvió el problema antes de ir a la cama esa noche después de que el desafío había sido publicado, además, inventó una nueva rama de las matemáticas denominada “cálculo de variaciones”. Desde ese momento, la cicloide recibió el nombre de braquistócrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo). Newton publica la solución de forma anónima, pero el trabajo brillante delata su identidad, y cuando Bernoulli observa la solución, da vida a la frase: “conocemos al león por sus garras”.
La braquistocronía no es la única propiedad curiosa de la cicloide. De hecho tiene una que es más sorprendente si cabe. Podríamos enunciarla de la siguiente manera:
Supongamos que tenemos una cicloide que “cuelga” hacia abajo y que dejamos caer a lo largo de ella dos bolas desde diferentes puntos. La cuestión es que da igual desde qué puntos las dejemos caer ya que las bolas llegan a la vez al punto más bajo.
Esta propiedad se denomina tautocronía (que significa mismo tiempo). El descubrimiento de la tautocronía de la cicloide es asociado a Huygens en 1673.

Ver enlace:http://pcmap.unizar.es/~pilar/cosicas.html

María Gaetana Agnesi y su “hechicera”.

María Gaetana Agnesi:

Su nombre está a veces en el índice de los libros de geometría analítica y de cálculo, siempre asociado a la curva llamada indebidamente, y ya sin posibilidad de enmienda, Bruja de Agnesi; los dos sustantivos son inciertos: Agnesi no descubrió esa curva, ni lo pretendió, y el nombre de “bruja” seguramente lo aportó el azar de una mala traducción al inglés, reproducida aguas abajo en español. Pero sobre todo, recordarla sólo por esa curva, un ejemplo más de su monumental tratado, no le hace justicia.
Para la historia de las matemáticas Agnesi es importante por su influencia en la divulgación del cálculo. También es uno de los personajes más citados en las reflexiones sobre el papel histórico de la mujer en la matemática: baste considerar que las Instituzioni analítiche son según algunos la obra matemática de autoría femenina más antigua que se conserva.

Aquí presento una pequeña síntesís de la historia de esta curva y su construcción.

La cuadratriz de Hipias: La trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

Durante la segunda mitad del siglo V a.C. floreció en Atenas un grupo de maestros profesionales muy distintos de los pitagóricos. A los discípulos de Pitágoras les había sido prohibido aceptar ningún tipo de pago por compartir sus conocimientos con los demás, mientras que los sofistas, que así se llamaban estos maestros, se ganaban la vida abiertamente enseñando a sus conciudadanos, y no sólo en cuestiones intelectualmente honradas, sino también en el arte de  <<hacer que lo peor parezca lo mejor>>.

Partenon -Atenas-
Partenon -Atenas-

Hasta cierto punto la acusación de superficialidad dirigida contra los sofistas era merecida, pero esto no debiera ocultar el hecho de que los sofistas solían estar informados ampliamente sobre muy diversos temas, y de que algunos de ellos hicieron contribuciones importantes al saber de su época. Entre estos últimos estaba Hipias, natural de Ellis y que desarrolló su actividad en Atenas durante la segunda mitad del siglo V a.C. Se trata de uno de los primeros matemáticos de los que tenemos información sobre él en dos de los diálogos de Platón, “Hipias Mayor o de lo bello” e “Hipias Menor o de la mentira”; En ambos Sócrates se muestra muy severo con Hipias y el diálogo entre ambos se vuelve un tanto agrio, con continuos reproches socráticos. Pudiera parecer que Sócrates tuviera envidia o celos por este afamado “sabio”, el único que le podía hacer sombra.

edadoscura

Los conocimientos de Hipias sobre geometría podrían dejar a Platón perplejo (recordemos que en la entrada a la Academia de Platón había una inscripción con la leyenda “No entre aquí nadie que no sepa geometría”).

Hipias de Ellis
Hipias de Ellis


Sin embargo, lo que seguramente más desagradaba a Platón es que tantos conocimientos estuvieran en posesión de alguien tan vanidoso, que defendía el relativismo moral, incapaz de establecer principios y con inclinación a saber de todo antes que a conocer algo en profundidad.

Hipias consideraba la ley no sólo como algo convencional, sino que además afirmaba que era contraria a la naturaleza. Por ello defendía la autonomía y autarquía del individuo y su derecho a rebelarse contra las leyes, porque siempre oprimen a los más débiles. Recomendaba una vuelta a la naturaleza, pues la vida en sociedad va contra la naturaleza. Se trata quizá del primer “libertario” griego.

El sofismo fue muy criticado y corregido por los grandes intelectuales de la antigua Grecia, pero sobre todo por Sócrates, Platón y Aristóteles.

45351465
La muerte de Sócrates. Jacques-Louis David, 1787

En la actualidad podemos ver individuos que nos recuerdan en su aspecto más lucrativo a estos célebres pensadores griegos. Específicamente en el campo de lo que llaman “superación personal”, pseudos-filósofos emiten (venden) conferencias, libros, artículos y demás mercancía. Estos individuos se valen de argumentos sentimentales y alejados de todo conocimiento verdadero, se convierten en “excelentes” mercaderes, sin importar si en realidad ayudan a las personas. En ningún caso igualan sus conocimientos a estos pensadores de los que tratamos en esta presentación.

Para el sofista, en su aspecto más negativo, el saber tiene una finalidad lucrativa,  para el filósofo, un camino hacia la plenitud humana.

Existen tres problemas principales que preocuparon a los matemáticos griegos y que no pudieron resolver geométricamente, sólo con la ayuda de una regla (sin graduación) y un compás. Se trata de la duplicación del cubo, de la trisección de un ángulo (ambos problemas están relacionados con la obtención de la raíz cúbica de un número entero con métodos geométricos) y la cuadratura del círculo, relacionado con la trascendencia del número pi (pi no puede ser obtenido algebraicamente con ningún polinomio). Fue Proclo y otros comentaristas los que atribuyen a Hipias la invención de esta curva que aquí tratamos , que recibe el nombre de “trisectriz de Hipias”, que es una curva que permite realizar la trisección de un ángulo y que posteriormente Dinóstrato utilizó también para hallar la cuadratura del círculo, denominándose por ello: cuadratriz.

LO que en esta presentación destacamos es la aportación a la geometría mecánica que hace Hipias con su trisectriz y posteriormente llamada cuadratriz para la resolución de los dos problemas anteriormente mencionados: la trisección de un ángulo y la cuadratura del círculo.

Preferible ver en HD /720P y pantalla completa.

La Cisoide de Diocles; La duplicación del cubo: algo de historia

Grecia, patria del conocimiento de occidente.

Existen tres problemas principales que preocuparon a los matemáticos griegos y que no pudieron resolver geométricamente, sólo con la ayuda de una regla (sin graduación) y un compás. Se trata de la duplicación del cubo, de la trisección de un ángulo (ambos problemas están relacionados con la obtención de la raíz cúbica de un número entero con métodos geométricos) y la cuadratura del círculo, relacionado con la trascendencia del número pi (pi no puede ser obtenido algebráicamente con ningún polinomio). Fue Proclo y otros comentaristas los que atribuyen a Hipias la construcción de la cuadratriz , que recibe también el nombre el nombre de “trisectriz de Hipias”, que es una curva que permite realizar la trisección de un ángulo y que posteriormente Dinóstrato utilizó también para hallar la cuadratura del círculo, denominándose por ello: cuadratriz. Nota: Esta curva y su construcción ha sido tratada en este blog, este es el enlace: Cuadratriz.

Cuadratriz de Hipias

Los griegos, intuitivamente llegaron a concluir que los tres problemas no se podían resolver sólo con regla y compás; debieron pasar aproximadamente dos milenios para que Lamber y Legendre demostraran que el número π no es racional (siglo XVIII). Fue hasta 1882, que Linderman, en una memoria publicada en los Mathematische Annalen demuestra que el número π es trascendente, siguiendo un proceso similar al descubierto por Hermite en 1873 con respecto a la trascendencia del número e.

En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones (además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2” . Con este resultado Wantzel pone fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante regla y compás, demostrando así que los tres problemas son irresolubles con las condiciones impuestas en sus inicios.

Algo de Leyenda sobre la duplicación del cubo.

Según el historiador griego Plutarco, los habitantes de la ciudad griega de Atenas sufríeron una epidemia de peste allá por el 429 a.C. Como adoraban al dios Apolo y éste era patrón de la ciudad de Delfos, algunos atenienses fueron a Delfos a consultar a un oráculo de este dios griego sobre cómo podrían detener la epidemia.

Delfos

El oráculo les respondió que debían sustituir el altar a Apolo por otro del doble de volumen (desde luego, una respuesta de dudosa utilidad). El altar era cúbico, y los griegos eran muy aficionados a la geometría. Así que se planteó el dilema de cómo calcular el lado u>0 de un cubo de volumen doble de otro cubo dado, de lado a>0. Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Evidentemente, la ecuación a resolver era:

u3=2a3

siendo a conocido y u incógnita. Nosotros sabemos despejar u en esa ecuación, pero lo que los griegos querían no era despejarla sino construir el nuevo altar.

Pero veamos con algo de más detenimiento como evolucionó la solución de este problema sin regla graduada y compás.

Hipócrates de Quíos y la duplicación del cubo

Isla de Chios -Grecia-

Hipócrates de Quíos fue un matemático, geómetra y astrónomo griego, que vivió aproximadamente entre el 470 y el 410 a. C..

Hipócrates de Quios

Nació en la isla de Quíos, enfrente de las costas de la actual Turquía. Hipócrates de Quíos es conocido por su cuadratura de la lúnula, esto es, la cuadratura mediante regla y compás, de una lúnula de características muy específicas.

Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo. Para ello se valió del teorema que afirma que «la razón entre el área de dos círculos es la misma que la razón entre el cuadrado de sus radios».

Este estudio sobre Hipócrates, sus lúnulas y la cuadratura del círculo serán objeto de una futura entrada en este blog.

Las Lúnulas de Hipócrates. Solución parcial de la tarea «cuadratura del círculo», sugerida por Hipócrates. La superficie de la figura sombreada es igual a la del triángulo ABC. No es una solución completa del reto (la solución completa se ha demostrado que es imposible con regla y compás).

Las proporciones continuas

En relación con la duplicación del cubo probó que esta era posible siempre que pudieran encontrarse medias proporcionales entre un número y su duplo.

Las cuadraturas de Hipócrates tienen una gran importancia, no tanto como intentos dirigidos a la cuadratura del círculo cuanto como reflejo del nivel de la matemática de la época, ya que nos muestran hasta qué punto dominaban los matemáticos atenienses de la época las transformaciones de áreas y las proporciones. En particular no tenían evidentemente ninguna dificultad en convertir un rectángulo de lados “a” y “b” en un cuadrado, lo que requería hallar la media proporcional o geométrica entre sus lados; es decir, que si debía verificarse la proporción a/x=x/b, los geómetras de la época sabían perfectamente construir el segundo “x”. Era natural, pues, que estos mismos geómetras intentaran generalizar el problema al de interpolar dos medias  entre dos magnitudes dadas “a” y “b”; es decir, dados dos segmentos a y b intentaran construir otros dos segmentos x e y tales que a/x=x/y=y/b. Se dice que Hipócrates fue el primero en reconocer que este problema es equivalente al de la duplicación del cubo si tomamos b=2ª, ya que entonces la proporción continua conduce, por eliminación de y, a la conclusión de que x3=2a3 , es decir, a la obtención de la raíz cúbica de 2.

Arquitas y la duplicación del cubo

Arquitas fue un filósofo, matemático, astrónomo, estadista y general contemporáneo de Platón. Nació en Tarento (Magna Grecia, hoy Italia) en el año 428 a. C. y falleció en un naufragio en el mar Adriático en el año 347 a. C. Fue alumno de la escuela de Filolao de Crotona. Más tarde aprendió matemáticas de Eudoxo de Cnidos, siendo a su vez maestro de Menecmo. Influenció a Euclides.

Columnas dóricas en Tarento, sur de Italia, antigua Magna Grecia.

Es muy probable que Arquitas tuviera acceso a algún tratado anterior sobre los elementos de la matemática y, de hecho, el proceso iterativo para el cálculo de raíces cuadradas que se conoce a veces con el nombre de Arquitas había sido usado mucho antes en Mesopotamia (Ver entrada en este blog: Matemáticas en Mesopotamia). No obstante sabemos que a Arquitas se le deben también algunos resultados originales importantes. Su contribución más sorprendente fue, sin duda, una solución tridimensional al problema de la duplicación del cubo de Delfos, que podemos hoy haciendo uso de la geometría analítica explicar de manera sencilla:

Sea “a” la arista del cubo que hay que duplicar, y considérense tres circunferencias de radio “a” con centro en el punto (a,0,0) y situadas cada una en un plano perpendicular a cada uno de los ejes de coordenadas. Por la circunferencia perpendicular al eje OX trácese el cono circular de vértice el origen (0,0,0); Sobre la circunferencia situada sobre el plano OXY considérese el cilindro circular recto de eje paralelo al eje OZ, y hágase girar por último la circunferencia situada en el plano OXZ alrededor del eje Oz para generar así un toro. Las ecuaciones de estas superficies son respectivamente,  x2=y2+z2, 2ax=x2+y2  y (x2+y2+z2)=4 a2(x2+y2), estas tres superficies se cortan en un punto cuya coordenada “x” es  a. 3 V2, exactamente la arista del cubo buscado.

Menecmo y la duplicación del cubo

Menecmo (ca. 380 – ca. 320 a. C. ) fue un matemático y geómetra griego. Nació en el primer tercio del siglo IV antes de Cristo, en Alopeconnesus (actualmente en Turquía). Era hermano de Dinóstrato.

Alopeconnesus (actualmente en Turquía)

Fue discípulo de Platón y Eudoxo, y tutor de Alejandro Magno.

Su estudio teórico de las secciones cónicas fue célebre en la antigüedad, por eso estas curvas tuvieron el nombre de curvas de Menecmo.

Menecmo no podía prever la cantidad de bellas propiedades que el futuro se iba a encargar de descubrir en sus curvas. El había dado con las cónicas como  resultado de una afortunada búsqueda de curvas que tuvieran las propiedades requeridas para resolver el problema de la duplicación del cubo.

Parabológrafo de Cavalieri basado en la teoría de proporciones de Menecmo.

Utilizando la notación moderna puede obtenerse fácilmente la solución del siguiente modo:

Si queremos duplicar un cubo de arista “a” construiremos dos parábolas como secciones de un cono recto, una de “latus rectum a (eje vertical)” y otra de “latus rectum 2.a (eje horizontal)” . El punto de intersección de estas dos parábolas tendrá de coordenadas (x,y) que satisfacen la proporción continua establecida por Hipócrates de Quios: a/=x/y=y/2.a , con x= a.3V2, e y= a.3V4, siendo x la arista del cubo buscado.

Es probable que Menecmo supiera también que la duplicación del cubo se puede obtener de la intersección de una hipérbola (xy=a2) y una parábola (y2=(a/2).x)

La Cisoide, Diocles y la duplicación del cubo.

Diocles (Διοκλῆς en griego antiguo , ca 240 AC -.. ca 180 aC) matemático y geómetra griego.

Aunque se sabe poco sobre la vida de Diocles, se sabe que fue contemporáneo de Apolonio y que floreció hacia finales del siglo tercero antes de Cristo y el comienzo del segundo siglo antes de Cristo.

Fragmentos de una obra de Diocles titulada  Los espejos incendiarios fueron conservados por Eutocius en su comentario dirigido a  Arquímedes “Sobre la esfera y el cilindro”. Históricamente, su obra los espejos incendiarios tuvo una gran influencia sobre los matemáticos árabes, especialmente en al-Haytham , el gran pensador del siglo 11 de El Cairo, a quien los europeos conocían como “Alhazen”.

Ibn al-Haytham (Alhacen)

El tratado contiene dieciséis proposiciones que están probadas por las secciones cónicas . Uno de los fragmentos contiene proposiciones (siete y ocho), que proporcionan una solución al problema de dividir una esfera por un plano de modo que los dos volúmenes resultantes están en una relación dada. La proposición diez da una solución al problema de la duplicación del cubo. Esto es equivalente a resolver una cierta ecuación cúbica . Otro fragmento contiene proposiciones (once y doce), que utilizan la cisoide para resolver el problema de encontrar dos medias proporcionales entre dos magnitudes.

Las distintas ecuaciones, polar, paramétricas e implícita de la cisoide:

En este clip, presento la construcción de la cisoide y la obtención de un segmento de longitud la raíz cúbica de 2. (Ver a 720p, pantalla completa en HD)

El Almagesto: El modelo Ptolemáico

Hiparco fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego (nacido en Nicea alrededor de 190 a. C. – y muere alrededor de 120 a. C.).

Hiparco de Nicea

 Nace dos años antes de la muerte de Eratóstenes, del que fue sucesor en la dirección de la Biblioteca de Alejandría. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesión de los equinoccios; la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas.

Epiciclo solar

Se debe a él la elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclípticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova, Nova Scorpii en el año 134 a. C. y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas.

Como hemos dicho, Hiparco es el inventor de la trigonometría, construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

Claudius Ptolemaeus

Es por otra parte el Teorema de Menelao el que juega un papel fundamental en la trigonometría esférica y en Astronomía, pero no obstante la obra trigonométrica más significativa y que tuvo una mayor influencia, con mucha diferencia sobre las demás de toda la antigüedad, fue la Sintaxis Matemática, una obra en trece libros escrita por Ptolomeo de Alejandría medio siglo más o menos después de Menelao, esta obra fue distinguida de otro tipo de tratados astronómicos con la denominación de la colección <Mayor>. De las frecuentes referencias a ella como “Magiste”, surgió más tarde en Arabia la costumbre de llamar al libro de Ptolomeo Almagesto (el más grande), y desde entonces la obra ha sido conocida por este nombre.

Se supone que el Almagesto de Ptolomeo debe mucho, por lo que se refiere a los métodos utilizados, a la tabla de cuerdas construida por Hiparco, pero la magnitud de esta deuda no puede establecerse con seguridad. Está claro que Ptolomeo debió usar en su astronomía el catálogo de posiciones de estrellas que dejó Hiparco, pero no podemos determinar si las tablas trigonométricas de Ptolomeo fueron extraídas en gran parte de su ilustre predecesor o no, ni, en caso afirmativo, en qué medida.

En el cálculo de las cuerdas por Ptolomeo desempeñó un papel fundamental el Teorema de Meneleao y una proposición geométrica que se conoce aún en la actualidad como Teorema de Ptolomeo:

Ver Clip: (Pantalla completa 720P HD)

Armado de las fórmulas para las cuerdas de las sumas y diferencias de arcos y para la cuerda del arco mitad, y con un valor bien calculado para la cuerda de un arco de ½º, se dispuso por fin Ptolomeo a construir su tabla, correcta hasta el último segundo de todos los arcos desde ½º hasta 180º, de medio en medio grado, formando parte del primer libro del Almagesto, constituyendo así una herramienta indispensable para los astrónomos a lo largo de más de mil años. Los doce libros restantes de este célebre tratado contienen, entre otras cosas, el bello desarrollo matemático de la teoría de ciclos y epiciclos (movimiento retrógrado) para el movimiento de los planetas, que se conoce como sistema de Ptolomeo o Ptolemáico.

Igual que Arquímedes, Hiparco y la mayoría de los grandes pensadores de la antigüedad, Ptolomeo postuló un Universo geocéntrico, debido a que una tierra en movimiento daba lugar a graves dificultades, tales como la ausencia de paralaje estelar apreciable y las aparentes inconsistencias de un teórico movimiento de la Tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre. En comparación con estos problemas, el carácter inverosímil de la inmensa velocidad que se requeriría para que la esfera de las estrellas “fijas”  girase diariamente alrededor de la Tierra, parecía reducirse a algo insignificante.

El sistema Ptolemáico, además de mostrarse muy de acuerdo con el sentido común, ofrecía la ventaja de poder representarse con mucha facilidad. Los planetarios, por ejemplo, se construyen como si el universo fuese geocéntrico, puesto que de esta forma los movimientos aparentes de los astros se reproducen más fácilmente.

Platón le había propuesto a Eudoxio el problema astronómico de “salvar los fenómenos”, es decir, de idear un artificio matemático tal como, por ejemplo, una combinación de movimientos circulares uniformes, de manera que sirviera como modelo de los movimientos aparentes de los planetas, pero el sistema de Eudoxo de las esferas homocéntricas fue abandonado casi completamente por los matemáticos a favor del sistema de ciclos y epiciclos de Apolonio e Hiparco.

Ptolomeo hizo a su vez una modificación esencial en este último modelo. En primer lugar desplazó la Tierra un poco del centro del círculo diferente, con lo que se tenían en realidad órbitas excéntricas; este cambio ya había sido propuesto con anterioridad, pero Ptolomeo introdujo además una novedad tan drástica y radical en sus implicaciones filosóficas y científicas que Copérnico, mucho más tarde, no pudo aceptarla, por muy eficaz que resultara ser el artificio en cuestión, conocido con el nombre de “ecuante”, para reproducir los movimientos planetarios. Después de repetidos ensayos infructuosos Ptolomeo no consiguió ajustar ningún sistema de ciclos, epiciclos y excéntricos que representase con exactitud los movimientos observados de los planetas.

En definitiva, el “truco” empleado por Ptolomeo tenía solamente una utilidad cinemática y no con exactitud, y no hacía desde luego ningún esfuerzo por contestar a las cuestiones de carácter dinámico que planteaban de manera clara los movimientos circulares no uniformes.

En este clip se presenta una breve descripción del modelo geocéntrico de Aristóteles (la más bella mentira que perduró más de un milenio) y la consolidación que hace de él Ptolomeo.

Teoremas de la Geometría Clásica: Geometría en el siglo XIX

La geometría ha sido de todas las ramas de las Matemáticas, la que más ha estado sometida a cambios, según cambiaban las preferencias de una época a otra. En la Grecia clásica alcanzó su cenit, sólo para caer hasta su nadir hacia la época del hundimiento del Imperio Romano. En Arabia y en la Europa renacentista recuperó parte del terreno perdido; durante el siglo XVII se encontraba en el umbral de una nueva era, para ser casi olvidada a continuación durante más de un siglo, al menos por los matemáticos que se dedicaban a la investigación, languideciendo así a las ramas del análisis que proliferaban de una manera exuberante. Inglaterra había librado una batalla perdida, especialmente a finales del siglo XVIII, para reponer los “Elementos de Euclides” en el glorioso lugar que ocuparan antaño, pero lo cierto es que poco se hizo por promover la investigación del tema.

Gaspard Monge

Los esfuerzos de Monge y de Carnot condujeron a un movimiento de renovación de la geometría pura durante el periodo de la Revolución Francesa, pero el verdadero renacimiento, en forma casi explosiva, de la geometría como rama viva de la matemática se produjo a comienzo del siglo XIX. Y, como podría haberse imaginado, la École Polytechnique jugó un papel importantísimo en este movimiento, pues allí fue descubierto el bien  conocido teorema de Brianchon por un estudiante, y se publicó en 1806 en el Journal de la École Polytechnique.

Charles Julien Brianchon (1785-1864) acababa de ingresar en la escuela el año anterior, estudiando con Monge y leyendo la Gèometrie de position de Carnot. Este estudiante de 21 años demostró previamente el teorema de Pascal, olvidado durante largo tiempo, teorema que formulaba Brianchon ya en su forma moderna: “Para todohexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en una recta”. Seguidamente, nos encontramos con el teorema que lleva su nombre: “En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto: el llamado punto de Brianchon”.

Haz click en la imagen, es gif. (ampliar)

Este tipo de relaciones entre puntos y rectas y con respecto a una cónica fueron explotadas más tarde de manera efectiva por otro alumno de la École Polytechnique, el hombre al que podemos considerar con razón el verdadero fundador de la geometría proyectiva. Nos referimos a Jean-Víctor Poncelet (1788-1867), que estudió también con Monge, ingresó en el cuerpo de ingenieros del ejército con el tiempo justo para tomar parte de la desdichada campaña de Napoleón en Rusia en 1812, permaneciendo preso durante varios años en una cárcel de Moscú.

Jean-Victor Poncelet

A su regreso a Francia se convirtió en la figura más importante quizá del renacimiento de la geometría pura. Entre sus primeros descubrimientos está uno que compartió con Brianchon, en el que demuestran el siguiente resultado:

“ La circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas por los vértices de un triángulo a los lados opuestos, pasa también por los puntos medios de los lados, así como por los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el punto de intersección de las tres perpendiculares”.

Este notable teorema no suele llevar el nombre ni de Brianchon ni de Poncelet, sino el de otro matemático, Karl Wilheim Feuerbach (1800-1834), que, de manera independiente, publicó este teorema y otros análogos en 1822.

La obra de Feuerbach, que murió cuando sólo tenía 34 años, puede considerarse como un ejemplo típico de los numerosos resultados nuevos sobre la geometría de la circunferencia y de del triángulo que se fueron descubriendo a lo largo del siglo XIX.

En este clip de vídeo presento de manera animada algunos de los teoremas y resultados que hemos glosado en este artículo. Ver a pantalla completa y con 720p. Espero sea de su agrado.

C.R. Ipiéns

La magia de Escher: Efecto Droste/Escher

Una imagen se dice que presenta el efecto Droste cuando incluye dentro de ella una versión de menor tamaño de sí misma, la que a su vez incluye en un lugar similar una versión aún más pequeña de sí misma, y así sucesivamente. Sólo en teoría puede continuarse esta inclusión con reducción, una dentro de otra, pues en la práctica está limitada por la resolución de que es capaz la técnica de impresión que se emplee para las imágenes, ya que cada iteración reduce exponencialmente el tamaño de la imagen.

Efecto Droste: Marca de Cacao Droste.

Se comenzó a llamar así a este efecto luego de que Droste, una de las principales marcas alimenticias holandesas, comenzó a emplear una imagen recursiva impresa sobre sus envases de cacao en polvo. Esta imagen, con algunas variaciones a lo largo de los años, muestra a una niñera que lleva una bandeja con una taza de chocolate caliente junto a un envase de cacao Droste.

El efecto Droste no es una idea reciente. Por ejemplo fue utilizado por Giotto di Bondone en 1320 en su Tríptico Stefaneschi.

Tríptico Stefaneschi; Giotto di Bondone, 1320.

Hay también algunos ejemplos de libros de la Edad Media que repiten recursivamente su propia imagen, y vitrales en iglesias que muestran copias en miniatura del mismo vitral.

Otro ejemplo más actual lo tenemos En la portada del álbum Ummagumma de Pink Floyd se ve en una pared una reproducción recursiva de la misma imagen.

Hoy tenemos multitud de ejemplos en el mundo publicitario. Hasta flickr tiene una página dedicada especialmente a este efecto, es esta: Efecto Droste Flickr.

Uno de los tipos de imágenes recursivas que en ocasiones se confunden con el efecto Droste son las originadas a partir de la técnica efecto Escher en honor al pintor holandés Maurits Cornellis Escher (1898-1972) cuyas litografías exploraron diferentes técnicas especialmente enfocas a jugar con el espacio. Nosotros le llamaremos efecto Droste/Escher. Véase Litografias de Escher en este blog.

Aunque en forma invisible, el efecto Droste se encuentra en la obra de Escher Galería de grabados. Escher observó: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que el mismo aparece.» Una extensión lógica de la observación sería: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece…» Y esa es una buena descripción del efecto Droste.

Senglea, Malta

Si nos fijamos con atención, en la parte central de la obra queda un espacio en blanco que el autor deliberadamente no pintó.

Galería de grabados, Escher.

El punto ciego en el centro del grabado siempre ha sido un enigma. ¿Por qué lo dejó vacío Escher? Su propia respuesta fue: «Allí todo se vuelve tan detallado que proseguir hubiera sido imposible.»

El enigma no pudo resolverse hasta el año 2003 en el que con ayuda de un complejo algoritmo un equipo de matemáticos de la mano del profesor Hendrik Lenstra de la universidad de Leiden se consiguió rellenar el espacio dejado por Escher: se descubrió que el pequeño cuadrado blanco del centro se correspondía con el cuadrado mayor. Por lo tanto la trama del cuadrado mayor (y por ende el grabado completo) podía repetirse en el pequeño cuadrado blanco, muy reducida y rotada alrededor de 180 grados. Y, por supuesto, el pequeño cuadrado blanco contenía en su interior un cuadrado aún menor, y así hasta el infinito. Esto demostraba claramente la presencia oculta del efecto Droste (Rooster) en la Galería de grabados.

Bocetos, Galería de Grabados

Para un estudio matemático más riguros puede consultarse: Juegos del ingenio.

Bocetos, Galería de Grabados, Escher.

Finalmente se obtuvo el dibujo sin distorsionar sobre el que se basaba el grabado de Escher.

He puesto música a este clip presentado por la exposición que se celebró en el Parque de las Ciencias y en el Palacio de Carlos V en la Alhambra  de Granada sobre Escher. Espero sea de vuestro agrado.

Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher (Leeuwarden, Países Bajos, 17 de junio de 1898 – Hilversum, Países Bajos, 27 de marzo de 1972), artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobrefiguras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos y borradores. De muchos existen decenas de reproducciones, cientos e incluso miles de otros. Al final de su carrera destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran más reproducciones de originales. También existen estudios y borradores de muchas de sus obras, en ocasiones también varias versiones de algunas de ellas. Muchas de su obras se vendieron masivamente poco después de su muerte y están esparcidas por el mundo. Un grupo importante está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya, Holanda.

Como artista, M.C. Escher resulta difícil de clasificar. Se han hecho múltiples interpretaciones de sus obras, pero la realidad es que Escher no tenía grandes prentensiones ni mensajes que transmitir, sino que básicamente plasmaba lo que le gustaba. No basaba su trabajo en los sentimientos, como otros artistas, sino simplemente en situaciones, soluciones a problemas, juegos visuales y guiños al espectador. Visiones, en ocasiones, que le sobrevenían por las noches, que pasaban por su imaginación y que creía merecedoras de ser plasmadas en sus cuadros.

Él mismo reconocería que no le interesaba mucho la realidad, ni la humanidad en general, las personas o la psicología, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza. En cierto modo era alguien introvertido, dicen incluso que de trato difícil, que prefería crear su propio universo.

Los expertos coinciden, y es bastante evidente examinando la mayor parte de sus obras, en que una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida.

El análisis de sus obras, tal y como definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos y amigo personal, permite clasificarlas básicamente en tres temas y diversas categorías:

  • La estructura del espacio – Incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.
  • La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.
  • La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Desde el punto de vista matemático –geométrico-, la partición del plano y el infinito son dos temas que acompañan toda su obra.

La partición del plano, fue según sus propias palabras el tema que más le apasionó: “Es la fuente más rica de inspiración que jamás haya encontrado”.

La idea de rellenar el plano con un mismo motivo se considera original suya, no influida por su aprendizaje. Afirmó: “Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él”.

Ya en 1922 antes de visitar Granada imprime una plancha en la que están representadas ocho cabezas, cuatro al derecho y cuatro al revés.

Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Bocetos que realiza en uno de sus viajes a la Alhambra, inspiración de toda su obra de teselados.

Vídeo: C. R. Ipiéns. Verano 2012

El Nacimiento de Venus y La divina Proporción

La castración de Urano, fresco de Giorgio Vasari y Cristofano Gherardi, c. 1560 (Sala di Cosimo I, Palazzo Vecchio, Florencia).

Tomo literal de Los Mitos Griegos Vol. I de Robert Graves:

LA CASTRACIÓN DE URANO. Urano engendró a los Titanes en la Madre Tierra después de haber arrojado a sus hijos rebeldes, los Cíclopes, al Tártaro, lugar tenebroso en el mundo subterráneo que se halla a la misma distancia de la tierra que la tierra del cielo; un yunque que cayera tardaría nueve días en llegar a su fondo. En venganza, la Madre Tierra incitó a los Titanes a que atacaran a su padre, y ellos lo hicieron, encabezados por Crono, el más joven de los siete, al que ella armó con una hoz de pedernal. Sorprendieron a Urano mientras dormía y fue con esa hoz de pedernal con lo que le castró el cruel Crono, asiendo sus órganos genitales con la mano izquierda (la que desde entonces ha sido la mano de mal agüero), y luego los arrojó al mar  junto con la hoz, desde el cabo Drépano. Pero algunas gotas de la sangre que fluía de la herida cayeron sobre la Madre Tierra, y ésta dio a luz a las Tres Erinias, furias que vengan los crímenes de parricidio y perjurio y se llaman Alecto, Tisífone y Megera. Las ninfas del fresno, llamadas Melíades, nacieron también de esa sangre. Los Titanes pusieron en libertad a los Cíclopes que estaban en el Tártaro y concedieron la soberanía de la tierra a Crono.

El Nacimiento de Venus -Sandro Botticelli.
El Nacimiento de Venus es un gran temple sobre lienzo que data de aproximadamente 1478, mide 172,5 x 278,5 cm y se encuentra en la Gallería degli Uffizi, en Florencia.

EL NACIMIENTO DE AFRODITA. Afrodita, Diosa del Deseo, surgió desnuda de la espuma del mar y, surcando las olas en una venera, desembarcó primero en la isla de Citera; pero como le pareció una isla muy pequeña, pasó al Peloponeso y más tarde fijó su residencia en Pafos, Chipre, todavía la sede principal de su culto. La hierba y las flores brotaban de la tierra dondequiera que pisaba.

Detalle – El Nacimiento de Venus

En Pafos las Estaciones, hijas de Temis, se apresuraron a vestirla y adornarla. Algunos sostienen que surgió de la espuma que se formó alrededor de los órganos genitales de Urano cuando Crono los arrojó al mar; otros que Zeus la engendró en Dione. hija del Océano y Tetis, la ninfa del mar, o bien del Aire y la Tierra. Pero todos están de acuerdo en que se echa a volar acompañada de palomas y gorriones .

Detalle -Céfiro, El Nacimiento de Venus

Afrodita («nacida de la espuma») es la misma diosa de extenso gobierno que surgió del Caos y bailó sobre el mar y que era adorada en Siria y Palestina como Íshtar o Ashtaroth… (Robert Graves)

El Cuadro

En la segunda mitad del XV la pintura florentina adquiere un carácter refinado,  de sorprendente vivacidad. Los contactos con la pintura flamenca introducen el gusto,  en cierto modo burgués, por lo concreto, aunque interpretado siempre con mayor digni­dad clásica. Surge el gusto por lo doméstico y cotidiano, conforme con la realidad de la burguesía acomodada florentina cuyos trajes, ambientes y costumbres se reproducen en todo tipo de escenas que se convierten, en muchos casos, en cuadros de género. El pintor más famoso de este ambiente es SANDRO BOTICELLI, excelente dibujante y gran colorista, que nos deja figuras de gran belleza, quizás los rostros más bellos del Re­nacimiento.

Detalle -Nacimiento de Venus

En esta obra, no existe preocupación por la perspectiva ni por la creación del espacio, hay un desprecio consciente a lo experimentado anteriormente. La preocupación se centra en la línea, lo curvo, los fondos planos, y la profundidad atmosférica. Prima el dibujo sobre la imitación de la naturaleza. Es una forma de representar lo que hoy se llama “arte intelectualizado”.

Detalle -Nacimiento de Venus

La pintura nos muestra una temática que se relaciona con las doctrinas neoplatónicas. En esta obra, trata de reconstruir una pintura del pintor ateniense Apeles, descrita en una poesía de Poliziano.

Detalle -Nacimiento de Venus

El tema deriva de la literatura homérica, recogida en las “Metamorfosis” de Ovidio, en un episodio en el que se narra como la ninfa Hora tiende su manto a Venus Andrómeda, que surge del mar desnuda sobre una concha, mientras soplan sobre ella el viento del oeste, Céfiros y su amante, la ninfa Cloris.

Detalle -Nacimiento de Venus

En esta obra observamos en el centro, encerrada en un triángulo, la figura de Venus, ligeramente curvada, representando en su silueta la curva praxiteliana, acompañada a su izquierda por Céfiros y Cloris, que dibujan una diagonal, y a la derecha, también en diagonal, la ninfa Hora que traza con el manto con el que se va a recubrir a Venus, otra línea curva, cerrando así la composición por el lado derecho. La figura central, Venus, está directamente inspirada en la Afrodita de Cnido de Praxiteles y en la serie de Venus púdicas helenísticas.

Detalle -Nacimiento de Venus

Un aspecto, quizá más descuidado o inadvertido por los críticos y profesores de arte, sobre esta obra, es su rigor geométrico.

Aquí presento un breve (puede hacerse más amplio) apunte geométrico del cuadro de Sandro Botticelli “El nacimiento de Venus”, donde se comprueba el rigurosísimo uso que hace de la divina proporción, la sección áurea, el rectángulo áureo, la espiral áurea,… Dedicado especialmente a mi hija. Puede verse a pantalla completa HD, es una presentación PowerPoint pasada a vídeo.

Tercer Problema de Apolonio

Solución al Tercer problema de Apolonio. Cso tres rectas secantes dos a dos.
Solución al Tercer problema de Apolonio. Caso tres rectas secantes dos a dos.

En esta entrada presento un breve apunte geométrico del Tercer problema de Apolonio, sigue de la entrada anterior.

En este tercer problema se resuelve el caso de tangencia entre una circunferencia y tres rectas dadas, se generan tres situaciones distintas, dependiendo de la posición relativa de las rectas. Cuatro soluciones para el caso en que las rectas son secantes dos a dos, dos soluciones para el caso que dos de las rectas san paralelas y la otra secante a ambas y no ha y solución para el caso de las tres rectas paralelas.

El clip es una presentación PowerPoint pasada a vídeo, recomendable ver en HD a pantalla completa.