Los números transfinitos: La hipótesis del continuo; Hablemos del infinito (Parte IV)

Matrix
Matrix

Los números reales pueden clasificarse en dos tipos de diferentes maneras, por ejemplo, como hemos visto en la entrada anterior en racionales e irracionales, o en algebraicos y transcendentes.

Llamamos números construibles a los números que con ayuda de los instrumentos clásicos de dibujo (regla y compás) y, sólo éstas, se pueden representar sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que representan al 0 (origen) y al 1 (unidad de medida). Todos los números racionales son construibles y algunos irracionales también.

Un número decimos que es algebraico, si es raíz de una ecuación polinómica, por ejemplo el número 5 es algebraico, pues puede obtenerse como solución de la sencilla ecuación: 2x – 10= 0; También lo es “el número áureo” , que además es irracional, pues se obtiene como solución de la ecuación cuadrática:

xxxx

Nota: Sobre este número y sus construcciones, así como las que origina puede verse en este blog el post: La divina proporción.

Todos los racionales son algebraicos, y, también lo son todos los irracionales construibles. Al revés no es cierto, de manera que los números construibles son un subconjunto estricto o propio (no igual) de los algebraicos. Los números transcendentes son el resto, entre los que se encuentran los famosos pi, e,…

Cantor probó que la clase de los números algebraicos, que es mucho más extensa que la de los números racionales, tiene sin embargo, la misma potencia que el conjunto de los números naturales: 0, es decir, es un conjunto infinito numerable. Por lo tanto, son los números transcendentes los que les dan al sistema de los números reales el fuerte carácter de densidad que trae como consecuencia su potencia más alta.

En resumen, podemos decir:

• Dentro del conjunto de los irracionales existe un conjunto de números que no son algebraicos. A esos números los llamamos trascendentes.

• Como los números algebraicos son numerables, el resto de números reales, los trascendentes, tienen que tener la potencia del continuo.

Una vez que en 1874, Cantor demuestra que el cardinal del conjunto de los naturales es estrictamente menor al de los números reales y, después de analizar la numerabilidad de los conjuntos de números algebraicos y transcendentes. Lo siguiente a preguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluido estrictamente entre el de ambos conjuntos, es decir:

¿Existe algún conjunto A, cuyo tamaño sea MAYOR que el de los números naturales, pero MENOR que el de los números reales?

Georg Cantor
Georg Cantor

Cantor nos responde con “La hipótesis del continuo” (en lo sucesivo HC).

HC: “No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los Naturales y el de los números Reales”.

Hipótesis del continuo
Hipótesis del continuo

Cantor trató en vano demostrar la hipótesis del continuo, era sólo una “conjetura”.

David Hilbert (1862-1943)
David Hilbert (1862-1943)

La demostración (o negación) de la Hipótesis del Continuo es uno de los 23 problemas de Hilbert (de hecho, es el primero), algunos de los cuales todavía no han sido resueltos. Fueron propuestos por Hilbert en 1900 como desafío a las generaciones presentes y futuras de matemáticos.

Al igual que la geometría euclídea se sustenta en un “paquete” de postulados o axiomas, la Teoría de Conjuntos también lo hace en base a un sistema de axiomas que denominamos Axiomática Zermelo-Fraenkel, en lo sucesivo axiomática ZF; Cuando añadimos a este conjunto de axiomas el llamado y muy cuestionado “Axioma de elección”, el sistema lo notamos por ZFC.

Kurt Gödel (1906-1978)
Kurt Gödel (1906-1978)

Pues bien, el no menos genial Kurt Gödel demostró en 1940 que no se podía demostrar como falsa la hipótesis del continuo partiendo de la axiomática  ZF (Zermelo-Fraenkel), incluso si se añadía el Axioma de Elección (ZFC). Pero, años más tarde, en 1963, Paul Cohen, demostró, a su vez, lo contrario, esto es: que tampoco podía probarse su veracidad partiendo de dichos axiomas. Así pues, la HC es indecidible (indemostrable): ni puede afirmarse, ni puede negarse.

Paul J. Cohen (1934-2007)
Paul J. Cohen (1934-2007)

Dicho de otro modo Gödel nos asegura que puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde la HC fuese cierta y, simultáneamente Cohen también nos asegura la construcción de una teoría de conjuntos consistente donde la HC es falsa. Es decir, obtenemos sistemas axiomáticos consistentes en ambos casos. Una situación análoga a la que se obtiene cuando en geometría admitimos como cierto el quinto axioma o postulado de las paralelas o lo negamos en todas sus formas posibles, el resultado provoca la existencia de geometrías distintas y consistentes, las llamadas geometrías no euclídeas: la propia euclídea, la debida a Riemann (Geometría elíptica) y la de Bolyai-Lobachevsky (Geometría hiperbólica).

Geometrías no euclídeas
Geometrías no euclídeas

Hemos visto en este trayecto como la densidad determina la cardinalidad o potencia de un conjunto. Cantor, nos sube ahora un peldaño de su particular escalera y comienza a plantearse si la dimensión determina de alguna manera la potencia de un conjunto.

Nota:

En matemáticas decimos que una recta es un objeto de dimensión 1 (un punto de una recta viene determinado por un número real), un plano de dimensión 2 (un punto del plano viene determinado por dos números reales), el espacio tridimensional de dimensión 3 (un punto de nuestro espacio cotidiano viene determinado por una terna de números reales: tres), etc.

Y nos propone la pregunta: ¿Dónde hay más puntos en un segmento o en un cuadrado?

O, aún más fuerte: ¿dónde hay más puntos, en un segmento, en un cuadrado o en un cubo?

Dimensiones: Segmento, cuadrado, cubo.
Dimensiones: Segmento, cuadrado, cubo.

De nuevo nos pone la imaginación a prueba.

Y, Cantor de nuevo destroza la intuición con su imponente genio, demostrando que:

“El segmento, el cuadrado y el cubo (objetos de dimensiones distintas) poseen la misma potencia: la potencia del continuo, 1”.

Para ello, en un derroche de elegancia  propone el siguiente emparejamiento (biyección de nuevo) entre los puntos del segmento [0,1] y los del cuadrado que tiene por lado la misma longitud que el segmento, esto es: 1.

Biyección entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado.
Biyección entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado.

Si tomamos un punto cualquiera de la superficie del cuadrado de coordenadas (x,y), ocurrirá, por como ha sido construido el cuadrado que, x e y serán  números reales entre el 0 y el 1.

Tomemos en particular un punto concreto del cuadrado, el de la imagen:

(x,y)=(0,3143256408876…, 0,6244356998124…)

Cantor asocia ahora este punto con un único punto del segmento [0,1] del siguiente modo:

El nuevo número “r”, se obtiene alternando los decimales de x e y, así, su primera cifra decimal será la primera cifra decimal de x, su segunda cifra decimal será la primera cifra decimal de y, la tercera cifra decimal será la segunda de x, la cuarta la segunda de y, la quinta la tercera de x,…y de nuevo “así sucesivamente”.

El número que hemos construido “r”, será:

r=0,36124434235566490988817264…

De este modo ni un solo punto del cuadrado se quedará sin pareja en el segmento. La biyección está establecida y, por tanto, la potencia del cuadrado coincide con la del segmento [0,1], que como ya hemos visto es 1.

Y, ¿qué ocurre con el cubo?, pues exactamente igual:

Biyección entre un segmento y un cubo
Biyección entre un segmento y un cubo

En este caso, tenemos un punto (x,y,z) del espacio tridimensional de coordenadas:

x=0,3143256408876…, y=0,6244356998124…, Z=0,7763423906215…

El nuevo número “r”, se obtiene de nuevo alternando los decimales ahora de x, y, z así, su primera cifra decimal será la primera cifra decimal de x, su segunda cifra decimal será la primera cifra decimal de y, la tercera cifra decimal será la primera de z, la cuarta la segunda de x, la quinta la segunda de y, la sexta la segunda de z,…y de nuevo “así sucesivamente”.

El número que hemos construido “r”, será:

r=0,367127446343234552663499090…

Y de este modo establecemos otra biyección que permite asegurar que la potencia del cubo coincide con la del segmento [0,1], es decir, 1.

¡Sorprendentemente, aunque se amplíe el conjunto de puntos de un segmento al de los puntos de un cuadrado o un cubo, no hay más puntos en el cubo ni en el cuadrado que en el segmento, por más raro que esto resulte no incrementamos realmente el número de objetos con los que trabajamos!

Este resultado que puede ampliarse al hiper-espacio (Espacio de dimensión 4) o a otros de mayor dimensión, chocaba tan frontalmente con la intuición que Cantor mismo escribía en una ocasión a Dedekind, en 1877 con ocasión, precisamente de su construcción de la biyección entre el segmento y el cuadrado: <<Je le vois, mais je ne le crois pas>> (<<Lo veo pero no lo creo>>), y le pedía vehementemente a su amigo que revisase cuidadosamente la demostración.

Pero el incansable Cantor, sigue subiendo peldaños y ahora, a la vista de los resultados, piensa si las dos únicas potencias son la de los naturales 0  y la del continuo 1, y se pregunta:

¿Existirán conjuntos con un cardinal o potencia mayor que 1?

Aleph
Aleph

La respuesta es afirmativa y en la próxima y espero que última entrada sobre este apasionante tema, veremos de qué conjuntos se trata.

hotelinfinitoClick en la imagen

Los números transfinitos: La potencia del continuo; Hablemos del infinito (Parte III)

Aleph
Aleph

La potencia del “continuum”

En entradas anteriores, hemos comprobado como N, Z, Q y otros conjuntos (Pares, primos, triangulares…) poseen la misma potencia: Aleph sub cero. Uno podría empezar a preguntarse, con razón, si todos los conjuntos infinitos de números poseen la misma potencia, pero Cantor, como veremos enseguida, demostró de manera concluyente que no es éste el caso.

El conjunto de los números reales, por ejemplo, como veremos enseguida, posee mayor potencia que, hasta ahora, la única que conocemos: nuestro Aleph sub cero.

Para demostrar esto Cantor utilizó un razonamiento por reductio ad absurdum” (La reducción al absurdo consiste, básicamente, en suponer verdadero lo contrario de lo que deseamos demostrar y a partir de esa premisa llegar a una contradicción) comparando el conjunto de números naturales con el conjunto de los infinitos  números reales comprendidos entre 0 y 1: [0,1].

Nota: Es fácil probar que [0,1] es un conjunto infinito, bastaría encontrar una biyección entre él y uno cualquiera de sus sub-intervalos, lo que está probado, y hacer uso de nuestra definición Dedekind-Cantor de conjunto infinito dada en entradas anteriores.

El razonamiento fue el siguiente:

El argumento de la diagonal

Supongamos que el conjunto de números reales entre 0 y 1 es numerable (Posee la misma potencia que N, aleph sub cero) y supongámoslos expresados todos ellos como decimales que no terminan en una sucesión de ceros, que, por ejemplo 1/3 aparecería como 0,3333…, 1/2 como 0,499999… etc.

Cantor  nos propone considerar la siguiente ordenación de todos los infinitos números reales de [0,1]:

El argumento de la diagonal.
El argumento de la diagonal.

Este famoso argumento se conoce con el nombre de “Argumento de la Diagonal de Cantor”.

“Construyamos un número real”, en la que su primera cifra decimal sea la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En la imagen anterior, nuestro número sería el 0,2496218… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Es fácil prever que el número que acabamos de construir coincide en una cifra decimal, al menos, con cada uno de los de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1.

De nuevo aparece la genialidad del cejudo Cantor y nos propone:

“Hagamos sólo una cosa más…, sugiere Cantor”.

“Sumemos uno a cada cifra decimal del número construido, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0″. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,3507329…,¿y qué?, nos podemos preguntar, seguramente que este número también estará contenido en la lista, pues hemos aceptado como hipótesis que la lista contiene a todos y éste es uno de ellos.

De nuevo la intuición nos precipita. Analicemos la situación con algo de más calma:

Antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de asegurar que nuestro nuevo número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Igual ocurre con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente con todos los elementos de la lista. Así, nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido, es decir, nuestro número no está en la lista.

¡Hemos encontrado la contradicción!

Habíamos supuesto que [0,1] era numerable, es decir, que podríamos ordenar todos sus números (la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1…) lo que, como acabamos de ver es falso, pues el número que hemos construido no se encuentra en la lista.

Dicho de otro modo el intervalo [0,1] es “incontable” en el sentido “cantoriano” más amplio, pues, no sólo no podemos contar el número de elementos que posee en el sentido cuantitativo (“tradicional”), sino que tampoco podemos ponerlo en biyección  con N, es decir, no podemos ordenarlos de ninguna manera. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito que decimos en Matemáticas “incontable”.

En forma de Teorema:

Teorema:  

“El conjunto de números reales del intervalo [0,1] no es numerable, es decir, no se puede poner en correspondencia uno-uno con el conjunto de los números naturales”.

Llegado a este momento, para extender este resultado al conjunto R de los números reales bastará con establecer una biyección entre este intervalo y los reales, no es difícil encontrar una tal biyección entre [0,1] y R, pongamos de ejemplo:

Biyección entre [0,1] y R
Biyección entre [0,1] y R

Es momento de poder exclamar ¡Hemos encontrado dos infinitos diferentes!, De modo que, ya no es posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: el infinito empieza a dejar de ser la borrosa idea y sin distinción que el apeiron” griego nos proponía, sino que existen de diversos grados o tamaños, unos mayores que otros y, que como veremos más tarde, hasta se pueden ordenar.

Cantor denominó al nuevo infinito encontrado asociado a R, “potencia del continuo”, notado como “c” y posteriormente, como veremos ahora, por Aleph sub uno (ℵ1).

Potencia del continuo.
Potencia del continuo.
La potencia del continuo
La potencia del continuo

Cantor demostró una propiedad bastante sencilla y razonable (aunque, como ya hemos visto, la intuición se debe limitar enormemente en este terreno de lo infinito): Si dos conjuntos son numerables, también lo es el conjunto que se crea al unirlos.  Lo que le permitió explorar en el territorio siempre misterioso de los números irracionales.

Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Números Irracionales.
Números Irracionales.

Este conjunto ya atormentó a los pitagóricos hasta el punto que decidieron esconder su descubrimiento: guardaron en secreto la prueba de que la diagonal del cuadrado y su lado son inconmensurables. Como el conjunto de los números reales (no numerable como hemos visto) es la unión de racionales e irracionales, éstos tienen que ser no numerables ya que si fueran numerables, lo tendría que ser R por ser la unión de ellos y no lo es.

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En la entrada anterior hicimos alusión a la “densidad” de Q, en los términos de que entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que se encuentren siempre podremos encontrar infinitos más, pues bien, el conjunto I de los números irracionales es “infinitamente” más denso que el de los racionales, por poner un ejemplo gráfico:

Podemos emplear, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales.

Como acabamos de decir, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. En otras palabras, en un segmento cualquiera [a,b] de la recta real, por mucho zoom que hagamos para “ampliar su tamaño” siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es “muchísimo” mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría el segmento o la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Racionales irracionales segmento

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre 0 y la potencia del continuo 1 ), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? La respuesta es ¡0!.

Es decir, si eligiéramos un número real al azar, la probabilidad de que sea racional es ¡0!.

Resulta probado, pues, que I es no numerable mientras que ya sabíamos que Q sí lo es. Así que es la extrema densidad de los irracionales (ese conjunto cuya existencia descubrieron los pitagóricos del que se conocían no muchos elementos: los radicales de los números primos, el número Pi, el número áureo Fi, … ), la que asegura que la potencia del continuo es mayor que la de N.

aleph y potencia

“El conjunto de los números irracionales I tiene la potencia del continuo”. G. Cantor.

Pero Cantor iría todavía más lejos, y comienza a cuestionarse la existencia de un posible conjunto que tenga una potencia comprendida entre la potencia de N, 0  y la potencia del continuo, 1 que hemos descubierto hoy. En definitiva, Cantor empezó a conjeturar la conocida y cuestionada Hipótesis del Continuo.

Pero esto lo veremos en la próxima entrada. (haz click para seguir leyendo la Parte IV).

Los números Transfinitos: Hablemos del infinito (Parte II)

Aleph
Aleph

Como decíamos en la entrada anterior, Cantor innova la manera de “contar” o medir el “tamaño” de un conjunto, inaugurando el “orden” como una fantástica y eficaz herramienta.

Cuando un conjunto es finito y posee un reducido número de elementos, conocer su tamaño es bien sencillo, basta contar los elementos que posee, así, por ejemplo, el conjunto V= {a,e,i,o,u} posee cinco elementos y decimos que su “cardinal” es 5, escribimos: card(V)=5.

Cuando el conjunto es finito pero posee ya un elevado número de elementos, la cuestión se vuelve más tediosa, pongamos otro ejemplo:

Imaginemos que nos encontramos en una (tan desgraciadamente de moda) “Macrofiesta” que reúne a miles de personas, y deseamos saber si hay más chicos que chicas o al contrario. Pues aunque fuese tedioso y llevase tiempo, una primera manera de hacerlo, sería “contar” uno a uno los asistentes a dicha fiesta, pero Cantor hubiera utilizado esta otra manera, a ver qué os parece:

Cantor propondría que se formaran todas las parejas posibles chico/chica; al final del emparejamiento pudiera ocurrir que, o bien quedan chicas sin pareja, en este caso, habría más chicas que chicos, o chicos sin pareja, lo contrario o, de manera excepcional, hubiese el mismo número de chicos que de chicas después del emparejamiento “uno a uno”, “chico/chica”, es decir, no quedara nadie sin pareja (Cuando esto último ocurre, decimos en Matemáticas que existe una “biyección”, en este caso entre el conjunto de chicos y el conjunto de chicas).

Pues bien, esto mismo hizo Cantor con los Naturales y los Pares.

Podemos utilizar este método llamado de Cantor para comparar sus cardinales. Basta con olvidar por un momento eso de que “en el primer conjunto hay elementos que en el segundo no hay…”. Establezcamos una relación de uno a uno, para emparejar a todos de manera ordenada (según el orden natural).

Biyección entre el conjunto de losnúmeros naturales y los números pares.
Biyección entre el conjunto de losnúmeros naturales y los números pares.

Así, al 1 le asociamos el primer par (su doble) 2, al 2 el segundo par 4, al 3 el tercero 6, a cualquier natural “n” su par asociado 2n y “así sucesivamente” (Es de hacer notar, que con este “sucesivamente”, estamos haciendo uso de un proceso recursivo interminable, pues esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito, es decir, estamos haciendo uso del infinito potencial).

De este modo no hay ninguno que se quede solo (sin pareja) en ninguno de los dos conjuntos, luego ambos tienen el mismo cardinal, es decir, poseen el mismo tamaño.

De igual modo podemos hacer con los números impares:

Biyección entre el conjnto de los números naturales y los números impares.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los números impares.

O con los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo):

Biyección entre el conjunto de los números naturales y los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo)
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo)

O con los números triangulares:

Números triangulares
Números triangulares
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los triangulares.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los triangulares.

Hasta aquí todo bien. Hemos visto que todos estos conjuntos infinitos, por paradójico que resulte, tienen el mismo tamaño.

Es momento de ordenar ideas y presentarlas con algo de más rigor:

“Dos conjuntos A y B son equivalentes si es posible ponerlos, por una cierta ley, en una relación mutua tal que a cada elemento de uno de ellos corresponde un elemento, y sólo uno, del otro. (Georg Cantor)”.

Conjuntos Equipotentes

Se dice que los conjuntos A y B tienen igual potencia, que son equipotentes  o que son conjuntos coordinables, si existe una biyección (relación uno a uno) entre ellos, lo que se expresa:

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Así, los conjuntos vistos anteriormente, Naturales, pares, impares, triangulares, primos,… son equipotentes entre sí.

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Cardinal

Dado un conjunto A, a él y a cualquiera de los conjuntos equipotentes con él se le asignará un objeto matemático (“Tamaño”) llamado cardinal o potencia de A, y que escribiremos:

daum_equation_1357736501265 Dos conjuntos son equipotentes si y sólo si tienen el mismo cardinal (la misma potencia), esto es:

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Conjuntos Infinitos Numerables

Son todos aquellos equipotentes a N, es decir: cualquier conjunto infinito que pueda ponerse en biyección con el conjunto de los naturales, se dice Numerable.

Pues bien, según hemos visto, el cardinal de los naturales, los pares, los impares, los primos, los cuadrados, etc. es el mismo y por tanto numerables. A dicho cardinal  Cantor lo representó con el símbolo aleph sub cero.  Así pues, aleph sub cero representa el cardinal de los conjuntos infinitos numerables (aquellos que pueden ponerse en aplicación biyectiva con los números naturales) y es, como veremos, el primero del sistema que llamó Cantor de los números transfinitos.

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Así, hemos descubierto un increíble y, matemáticamente hablando, un maravilloso hallazgo: Hemos encontrado partes propias (el conjunto de pares es distinto de los naturales y está incluido en él; decimos en matemáticas que es una parte propia de N) de un todo, que poseen el mismo “tamaño” que el todo por paradójico que resulte. Nuestro primer infinito:

Primer número Transfinito.
Primer número Transfinito.

Pero esto no es más que el comienzo, subamos un peldaño más en esta escalera del infinito.

Sistemas numéricos2

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Cantor siguió haciéndose preguntas algo más amplias: ¿Son todos los infinitos iguales?, es decir, ¿todos los conjuntos infinitos son numerables?

Hasta ahora hemos comparado tamaños entre N y algunas de sus partes, ¿qué ocurrirá si comparamos N con otros conjuntos en los que está contenido?

De otro modo  ¿qué sucede con los números enteros (es decir, los naturales positivos junto con los negativos y el cero, o con los racionales (enteros y fraccionarios), o con el todopoderoso R de los números reales? que son conjuntos que contienen a N o, por decirlo de algún modo,  “más amplios” que N. ¿Son estos conjuntos numerables? O, lo que es lo mismo, ¿pueden ponerse en biyección con N?, ¿poseen por cardinal también a Aleph sub cero?.

La respuesta como veremos enseguida es variada.

Comencemos por comparar el infinito del conjunto Z (del griego Zhalem) de los números enteros, con nuestro Aleph sub cero de los Naturales.

Naturales y Enteros
Naturales y Enteros

Si confiáramos de nuevo en la intuición, al contener Z a N, podríamos en principio pensar que Z posee un cardinal mayor que el de N; pues de nuevo Cantor nos prueba que no, es exactamente igual.

Para probarlo y según lo dicho anteriormente, bastaría encontrar una biyección que pusiera en relación a N con Z para poder asegurar que Z es otro conjunto infinito numerable, es decir con el mismo cardinal que N: aleph sub cero.

Pues aquí va una tal biyección que nos resuelve la situación:

Biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números enteros.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números enteros.

Donde:

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Podemos así asegurar que N y Z son equipotentes, es decir, poseen el mismo cardinal, nuestro primer transfinito aleph sub cero.

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Pero Cantor nos sube un peldaño más en esta imparable escalera que nos sube al infinito, preguntándose:

¿Qué ocurrirá con Q (Racionales: Enteros mas fraccionarios)?, ¿será también Q un conjunto infinito numerable?, es decir, ¿del mismo tamaño que N?.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Ya hemos comprobado que no debemos llevarnos de la intuición ni dar respuestas precipitadas pues acabamos de ver como hay tantos naturales como pares, o tantos como primos, o como cuadrados, enteros, etc. a pesar de que no todos los naturales son pares, primos o cuadrados… ni todos los enteros son naturales.

Densidad en Q.

“Entre dos números racionales cualesquiera (por muy próximos entre sí que se encuentren en la recta real) existen una cantidad infinita de números racionales”.

Esta propiedad (arquimediana) de los racionales en matemáticas la llamamos densidad, podemos decir que Q es denso en el conjunto de los reales que lo contiene.

No es difícil imaginar la densidad,  basta considerar dos números racionales como extremos de un segmento. El punto medio de ese segmento será también racional, y genera dos segmentos que, a su vez, se pueden subdividir infinitamente (de nuevo el infinito potencial).

Pero vayamos a la cuestión, nos preguntábamos sobre el tamaño de Q, su cardinalidad, de si es o no un conjunto infinito numerable.

Para ello Cantor de nuevo se plantea si es posible ordenar todas las fracciones según el orden natural, y aquí vuelve a brillar su genio y nos presenta la siguiente ordenación de Q.

Comenzamos colocando todos los números racionales en una tabla, y aprovechando que una fracción no es más que una pareja de enteros que ocupan su numerador y su denominador respectivamente, los dispone del siguiente modo: cada fila tiene un mismo número natural en el numerador, y cada columna un mismo número en el denominador:

Diagrama que contiene a los racionales ordenados.
Diagrama que contiene a los racionales ordenados.

O en forma de biyección:

Biyección entre N y Q
Biyección entre N y Q

De nuevo quedamos fascinados ante el resultado: El conjunto Q de los números racionales ES INFINITO NUMERABLE, es decir, posee por cardinal nuestro aleph sub cero, el mismo cardinal que N y Z. Así, N, Z y Q posee la misma potencia.

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Pero sigamos subiendo nuestra escalera infinita, el incansable Cantor se enfrenta ahora al “Continuum”, el conjunto de los números reales, el que contiene a todos los anteriores y algunos más: los “famosos” números Irracionales, que tanto dieron que hacer a los Pitagóricos.

¿Cuál será el cardinal de R?, es decir, ¿Cuál será la Potencia del “continuum”?

La respuesta la daremos en nuestra siguiente entrada. (Haz click para leer la tercera parte).

Los números Transfinitos: Hablemos del Infinito. (Parte I)

Importante: Este artículo y los que le suceden, sin perder la compostura matemática (rigor en lo que se dice), tiene como principal, y diría, que único objetivo acercar la idea de infinito con sencillez, divulgando, pero sin caer en la vulgaridad, al mayor número de lectores posibles, tengan o no formación matemática. Espero, sea “entendible”. Dicho esto, comenzamos.

El Aleph

“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.
“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.

Zenon de Elea

Aquiles y la Tortuga
Aquiles y la Tortuga

Aporía del Estadio

El argumento es así: Un atleta debe correr la distancia de un estadio (El estadio era una unidad de longitud griega, que tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros). Para llegar al final el atleta debe correr la primera mitad y para ello ha de correr previamente la mitad de esa mitad y así sucesivamente, de modo ilimitado, resultando que ni siquiera puede empezar a correr porque tendría que correr un conjunto ilimitado de distancias, siendo cada una la mitad de la siguiente. Esta aporía estaba dirigida contra los matemáticos que consideraban el espacio como una magnitud ilimitadamente divisible, porque Zenón pensaba que eso producía contradicciones al razonar.

Aporía de Aquiles y la Tortuga.

El argumento dice: Aquiles, el de los pies ligeros, corre para alcanzar a una tortuga que se halla a cierta distancia. Aquiles nunca la alcanza, porque cuando llega a donde estaba originariamente la tortuga ésta ha avanzado un trecho y cuando Aquiles corre ese trecho la tortuga ha avanzado otro trecho y así sucesivamente, de modo ilimitado.
Esta aporía es semejante a la del estadio, con la diferencia de que ahora se trata de la relación entre dos objetos móviles. Zenón está poniendo de relieve una contradicción que resulta de pensar el espacio como si fuera una magnitud ilimitadamente divisible. Notemos que en ambas aporías la divisibilidad ilimitada del espacio en relación a un movimiento entraña también la divisibilidad ilimitada del tiempo, algo con lo que Zenón tampoco estaba de acuerdo.

En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 - 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 - 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.
En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 – 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 – 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.

Desde los días del viejo Zenón y sus paradojas o aporías , los hombres no han cesado de hablar del infinito, tanto en teología, en filosofía o en matemáticas. Lo más frecuente era que en las discusiones sobre el infinito los ejemplos que se citaran fueran cosas tales como un poder ilimitado o una magnitud indefinidamente grande.

Busto de Aristóteles en Roma.
Busto de Aristóteles en Roma.

Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual“La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.

Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal en Matemáticas.

Si se entiende como infinito el concepto dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que “no tiene fin, término ni límite”. Sin embargo, esta concepción puede no ajustarse a algunas nociones matemáticas en donde la idea de no tener fin, no tener límite o no tener término no es tan clara. Por ejemplo, se sabe que el intervalo [0, 1] (Conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 ambos inclusive) es un conjunto infinito pero no es cierto que no tiene  fin ni límite en el sentido de que es un conjunto acotado.

Por otra parte, el infinito actual se refiere a un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristóteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)
Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)

En el transcurso del tiempo, la atención sobre el infinito se centró en los infinitos elementos de una colección concreta, de lo que nos avisa Galileo con su famosa paradoja “Paradoja de Galileo”, que aparece en su libro “Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias” o más comúnmente:  “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. La paradoja comienza con la afirmación de que un número natural es un cuadrado perfecto o no lo es. Un cuadrado perfecto no es más que el cuadrado de un número entero. Ahora, si a cada natural lo multiplicamos por si mismo vamos a obtener un cuadrado, que también será un natural.

Esto significa que hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es paradójico porque no todos los naturales son cuadrados. De hecho, a medida que avanzamos en la recta encontramos que aumenta la cantidad de números entre dos cuadrados. Esto insinúa que el todo no tiene porqué ser mayor que cualquiera de sus partes por separado.

Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)
Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)

Karl Weierstrass: «Un matemático no es digno de ese nombre si no es un poco poeta».

Cauchy y Weierstrass (Profesor de Cantor) pensaban que sólo podían resultar paradojas los intentos de identificar un “infinito completo” o “actual” en la matemática, creyendo que lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño no representaban más que las correspondientes potencialidades de Aristóteles, es decir, el carácter esencialmente incompleto del proceso en cuestión.

Aunque se encontraban bajo la influencia del análisis de Weierstrass, dos de sus discípulos Dedekind y Cantor llegaron, sin embargo, a una conclusión digamos opuesta.

Paradojas de Bolzano

Bernard Bolzano
Bernard Bolzano

En 1851 se publicaron “Las Paradojas del Infinito” de Bernard Bolzano. En esta obra analiza la siguiente serie:

Paradoja Bolzano5

Dedekind
Dedekind

El primero de ellos, Dedekind vio en las paradojas de Bolzano,  no algo anómalo, sino justamente una propiedad universal de los conjuntos infinitos, que Dedekind adoptó como una definición precisa:

“Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito”

En una terminología más actual, un conjunto A se dice infinito, si existe un subconjunto propio de A  tal que los elementos de se pueden poner en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los elementos de A.

Nota:

Esta definición <<positiva de un conjunto infinito completo>> no debe confundirse con la proposición que se expresa a veces utilizando el símbolo de Wallis:

daum_equation_1357593504671

esta expresión significa únicamente que no existe ningún número real, <<por grande que sea>> que multiplicado por 0 proporcione 1.

Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.
Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6 de enero de 1918)

Cantor reconoció, lo mismo que Dedekind, la propiedad fundamental de los conjuntos infinitos, pero se dio cuenta además de que no todos los conjuntos infinitos son del <<mismo tamaño>>, cosa que no parecía haber pensado Dedekind.

Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.

Puede ser el momento de comenzar un paseo, desde el inicio hasta el final, de las ideas que rondaban las cejas de Cantor.

Comenzamos:

Una situación ingenua con la que a veces abordamos a nuestros alumnos:

De todos es conocido que los números naturales (en lo sucesivo N), son los llamados enteros positivos, y llamados así pues nos permiten contar los objetos de manera natural: 1,2,3,…,n,.., una primera clasificación de estos podría ser en Pares e Impares, pues bien, Cantor nos propone una primera e “ingenua” cuestión: Si el conjunto de números naturales (N) lo consideramos como un todo, es claro que el conjunto de los números pares  (P) es una parte de dicho todo, ahí va la “ingenua” pregunta ¿qué conjunto de los dos posee más elementos?.

A esta cuestión, los alumnos abrumadoramente y cegados por la intuición responden con un convencimiento absoluto: N, que además de los pares contiene a los impares, y aunque, en principio, el lector no lo crea la respuesta es errónea.

Existen tantos números pares como naturales. Veamos cómo nos lo explica Cantor.

Pero esta respuesta y más sorpresas sobre el infinito la dejamos para la próxima entrada (Haz click para seguir leyendo la segunda parte).