Teselas de La Alhambra: Teselaciones Periódicas del Plano

Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo,  no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.
Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo, no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.

En la mitología griega las musas (en griego antiguo μοῦσαι mousai) eran, según los escritores más antiguos, las diosas inspiradoras de la música y, según las nociones posteriores, divinidades que presidían los diferentes tipos de poesía, así como las artes y las ciencias.

La palabra griega μoυσα-ης (mousa-es) significa ‘musa’; μουσειoς-α-oν (mouseios-a-on), ‘concerniente a las musas’; μoυσειoν-oυ (mouseion-ou), ‘templo de las musas’, ‘lugar donde residen las musas’.

Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.
Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.

La palabra μoυσειoν (mouseion) dio origen al latín musivus -a -um, que es el antecedente de mosaico. Se dice que los romanos consideraban tan exquisito el arte de hacer mosaicos que pensaban que solo podían crearlo las musas o los favorecidos por ellas.

Un mosaico (del latín mosaĭcum [opus], ‘[obra] relativa a las Musas, artística’) es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.

Suelo de la Domus Augustana
Suelo de la Domus Augustana

Teselas

La tesela es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες.

Los romanos elaboraban los mosaicos con estas pequeñas piezas llamadas teselas, de ahí que se refiriesen a ellos también como opus o ars tessellatum. Las teselas son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas o materiales de vidrio o cerámicas, muy cuidadas y elaboradas y de distintos tamaños. El artista las disponía sobre la superficie, como un rompecabezas, distribuyendo el color y la forma y aglomerándolas con una masa de conglomerante.

Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.
Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.

En el mundo griego fue muy frecuente y desde muy temprano (desde fines del siglo V a. C.) el pavimento compuesto por guijas de río (piedrecillas que se encuentran en las orillas) de tamaños y de colores distintos. Con estas guijas se hacían dibujos sencillos de temas geométricos. A finales del siglo III a. C., las teselas vinieron a sustituir estos guijarros polícromos.

Los romanos llegaron a dominar el trabajo hecho con las teselas. Las primeras obras se hacían con teselas muy pequeñas y ya en época imperial el tamaño se hizo mayor, de un centímetro cuadrado. El mosaista llamado Sosos de Pérgamo hizo en el mosaico que se conoce con el nombre de Las palomas el trabajo de un gran profesional; este mosaico está compuesto con teselas muy pequeñas: sesenta teselas ocupan el espacio de un centímetro cuadrado.

Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico Villa Romana
Mosaico Villa Romana
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.

Las teselas se colocaban sobre un lecho de conglomerante casi líquido. Era una técnica que puede compararse con el puntillismo de los pintores impresionistas del siglo XIX. Para fabricar un pavimento hecho de mosaico había que seguir una serie de pasos que con el tiempo se fueron perfeccionando. El lugar de fabricación era un taller especial. Allí lo primero que se hacía era diseñar el cuadro y este trabajo tomaba el nombre de emblema, voz tomada del griego que viene a significar “algo que se incrusta en”.

Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.
Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.

Significado y Sinónimos

Tesela: Pieza de los dibujos de un mosaico.

El concepto de teselación no forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE). El término que sí aparece es teselado, referido a aquello que se compone de teselas. Las teselas, a su vez, son los distintos fragmentos que forman parte de un mosaico (obra que se compone a partir de diferentes piezas o trozos).

Teselación: cubrir con teselas pavimentos, bóvedas,… cualquier superficie plana.

Sinónimos: Teselar, azulejar, alicatar, enlosar, embaldosar, solar, adoquinar, empedrar, pavimentar,…

Definición:

Una teselación (mosaico) del plano es una colección de regiones (Teselas, compactos con interior no vacío) llamadas “teselas” tales que:

  • Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.
  • La unión de las teselas cubre totalmente el plano.

Tipos de Teselaciones:

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Un poco de Historia

En 1936 Alan Turing demostró la existencia de problemas o situaciones para los que no existen algoritmos finitos; entre estos problemas, que engrosaron los indecidibles de Gödel, se encuentran algunas cuestiones que plantean las teselaciones Aperiódicas o  No Periódicas. Más recientemente se ha sumado a éstos “indecidibles”, el problema de si las ecuaciones diofánticas, -Sistemas de ecuaciones polinómicas de coeficientes enteros con soluciones enteras- poseen o no tales soluciones. En estos momentos no existe ningún argumento matemático fiable que avale tal cuestión.

Sin embargo, el ambiente geométrico en el que se desarrollan las teselaciones del plano y del espacio están gobernadas por este tipo de ecuaciones y gran número de ellas se encuentran determinadas de forma precisa.

Una teselación se denomina “periódica” si existe una sección finita de la teselación (que puede estar formada por varias teselas) que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas (sin recurrir a giros o reflexiones), crear la teselación completa.

Una teselación es “aperiódica” o no periódica cuando no tiene traslaciones que hagan que coincida consigo misma.

Teselaciones periódicas: Teselaciones poligonales

Si nos planteamos un método eficaz con el que poder construir mosaicos fácilmente nos encontraremos con que un modo sencillo de hacerlo es usando distintos polígonos. No tenemos más que pensar en las típicas baldosas que ocupan los espacios de nuestras cocinas o los suelos. Si el mosaico está formado por un único tipo de polígonos regulares iguales se dice que el mosaico o la teselación es regular y, si está formado por más de un tipo de polígono regular se dice que es semi-regular. Si los polígonos son irregulares, decimos que la teselación es irregular.

Teselaciones Regulares.

Un primer planteamiento en el estudio de cómo teselar periódicamente el plano, sería el de la utilización de teselas poligonales. Diseños con este tipo de teselas aparecen en motivos  ornamentales de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe…). Los mosaicos poligonales planos han sido detalladamente estudiados.

El primer paso, consiste en emplear un único polígono regular.

Encontrar los polígonos regulares que teselan el plano, se reduce a resolver la siguiente ecuación diofántica:

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Siendo x1 el número de polígonos y x2 el número de lados que concurren en un vértice. Las soluciones que se obtienen para esta ecuación son:

X1=6; x2=3, es decir, seis triángulos.

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Nota: Para teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º. (Entendemos 360º por Plano)

Una segunda solución es: X1=4; x2=4, es decir, cuatro cuadrados. Para que un cuadrado tesele el plano será necesario que concurran 4 figuras en un mismo vértice, pues: 360º : 90º = 4

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Por último, una tercera solución es la que viene dada por: X1=3; x2=6, es decir, tres hexágonos.

Como en las figuras anteriores podemos deducir que necesitamos que concurran 3 hexágonos en un vértice para teselar el plano, ya que:  360º/120º=3

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Paseo de Gracia (Gaudí)
Paseo de Gracia (Gaudí)

Vemos que el plano no se puede recubrir con pentágonos regulares puesto que 360º no es divisible por 108º que es la medida de un ángulo interior de un pentágono: 360º = 3 · 108º + 36º.

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En general, tal como se ha mencionado anteriormente, para poder teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º (identificamos el plano con 360º) para que no queden huecos y poder ocupar todo el espacio del mosaico.

El siguiente paso sería plantear teselaciones con más de un polígono regular, a este nuevo tipo de teselaciones les llamamos semi-regulares.

Teselaciones Semi-regulares

 Una Teselación semi-regular consiste en una pavimentación del plano con un mosaico d polígonos regulares de vértices comunes y arbitrario número de lados; conocer el número posible de ellas, se reduce a resolver la ecuación:

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Donde mi es el número de polígonos de xi lados que concurren en un vértice.

Para el caso de sólo dos tipos de polígonos, la ecuación anterior adquiere la forma:

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Que posee el siguiente conjunto de soluciones (Seis):

  • m1=3, m2=2; x1=3, x2=4: Tres triángulos y dos cuadrados.

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  • m1=2, m2=2; x1=3, x2=6: Dos triángulos y dos hexágonos.

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  • m1=4, m2=1; x1=3, x2=6: Cuatro triángulos y un hexágono.

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  • m1=1, m2=2; x1=3, x2=12: Un triángulo y Dos dodecágonos.

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  • m1=1, m2=2; x1=4, x2=8; Un cuadrado y dos octógonos.

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  • m1=2, m2=1; x1=5, x2=10; Dos pentágonos y un decágono.

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Para el caso de tres polígonos se incorporan dos soluciones más:

  • Un triángulo dos cuadrados y un Hexágono

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  • Un cuadrado, un hexágono y un dodecágono:

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mosaicos

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Teselaciones Demi-Regulares

Una teselación demi-regular, también llamada una teselación polimorfa, es un tipo de teselación cuya definición es un tanto problemática. Algunos autores las definen como composiciones ordenadas de las tres regulares y las ocho teselaciones semirregulares, mientras que otros los definen como un mosaico que tiene más de una clase transitividad de vértices (que conduce a un número infinito de posibles teselados).

El número de mosaicos demi-regular comúnmente se da como 14 (Critchlow 1970; Ghyka 1977;  Williams 1979; Steinhaus 1999). Sin embargo, no todas las fuentes aparentemente dan el mismo resultado. Por lo tanto, es necesario tener precaución al tratar de determinar qué se entiende por “teselación demi-regular.”

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Los 20 teselados de la ilustración anterior fueron descubiertos por primera vez, por Krötenheerdt en 1969; Grünbaum y Shephard en 1986 estructurarían estos teselados con más precisión.

Cuando sólo usamos los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Algunos de ellos son:

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Más tamaños   Branco e Azul   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Teselaciones Irregulares

 Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselen el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.

Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo, para tal efecto veamos dos ejemplos de la distribución del pentágono:

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Teselación de El Cairo

Hay algunos polígonos especiales que dan lugar a mosaicos muy vistosos como el Mosaico del Cairo, que recibe su nombre por estar presente con frecuencia en los pavimentos de esa  ciudad egipcia y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre.

El pentágono posee aquí 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°

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Ver clip

La Teselación pentagonal de El Cairo, puede considerarse también hexagonal.

Pavimento en El Cairo
Pavimento en El Cairo

Los teselados de la Alhambra y Escher

Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.

Siempre había sido un enigma saber cuántas formas había para rellenar el plano con las teselas al estilo de la Alhambra. Se conocía como el problema del teselado o del friso. Había conjeturas pero no fue hasta 1910 que Ludwig Bieberbach primero demostró que el número de formas de solucionarlo era finito y posteriormente que solo había diecisiete formas simples de hacerlo.

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Lacerías en la Alhambra

Existen en la naturaleza diecisiete grupos cristalográficos planos, que se corresponde con el problema de las teselas. Pero un tema curioso es que hasta hace muy poco tan solo se habían identificado trece de ellos. Recientemente han aparecido los cuatro que faltaban.

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En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás  no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas(teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

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El arte desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana.

Más tamaños   Decoración Geométrica   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.

La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos  cristalográficos planos.

Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.
Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.

Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Las cinco Teselas que más se repiten en los mosaicos de La Alhambra se llaman “el hueso”, “el pez volador”, ”el avión” , “la pajarita”, “el pétalo” y aunque no es propiamente una tesela “el sello de Salomón” es de las ornamentaciones más frecuentes.

Sello de Salomón
Sello de Salomón
El Avión (Construcción)
El Avión (Construcción)

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El Avión o El Sombrero (Construcción)
El Avión o El Sombrero (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El Hueso (Construcción)
El Hueso (Construcción)
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Escher en relieve

ver clip

Todo lo relatado en este artículo se refiere a teselaciones periódicas del plano. En una próxima entrada sobre teselaciones, completaremos el tema tratando las Teselaciones NO periódicas. Queda pendiente.

Variaciones (2)

Ars Qubica y las teselaciones

Ayer llegó a mis ojos la primicia en Vimeo de “Ars Qubica”, la última creación del admirado y genial infógrafo aragonés Cristóbal Vila, un espléndido trabajo sobre el “arte” de la teselación; en él podemos recrearnos en las formas geométricas de conocidos monumentos como la fachada mudéjar de la Seo de Zaragoza o las baldosas hexagonales de Gaudí que pavimentan el suelo del Paseo de Gracia en Barcelona. Una maravillosa obra de divulgación que como en otros trabajos de este genial diseñador (véase Inspirations o Nature by number) buscan mejorar la percepción de las matemáticas en la sociedad. Penrosetilingp1 Ars Qubica busca que las matemáticas conecten con cualquier persona a través del arte y por supuesto que lo consigue. En otra ocasión estudiaremos en este blog con detalle el inagotable mundo de las teselaciones periódicas como las del genial Escher o aperiódicas como las de Penrose, pero ahora se impone disfrutar de este prodigioso vídeo que espero disfruten.

Colección de iluminaciones sobre astronomía matemática y ciencias naturales; Siglo IX.

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Descripción

En esta entrada, presento las iluminaciones que se destacan en el manuscrito de textos sobre astronomía matemática y ciencias naturales que data de comienzos del siglo IX. Las iluminaciones consisten principalmente en contenido astronómico y se basan en los modelos de la Antigüedad tardía. Entre ellas, están las ocupaciones de los 12 meses, las iluminaciones medievales más antiguas de este tipo que sobreviven; un mapa astronómico; las constelaciones; y los 12 vientos. El manuscrito se copió en Salzburgo, al parecer de un ejemplar del norte de Francia, y es probable que haya pertenecido al monasterio benedictino de San Emerano en Ratisbona, Baviera, durante la Edad Media.

Fecha de creación: 818 d. C.; Europa Austria Salzburgo

Idioma: Latín; Tema: Ciencia naturales y matemáticas

Ciencia Astronomía y ciencias afines.

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Andrómeda: Mito, Astronomía y Arte.

Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.

Andrómeda:  El mito.

El mito de la desafortunada reina Casiopea, esposa del rey Cefeo de Jope, se centra en la historia de su hija Andrómeda. Tanto Casiopea como su hija eran muy bellas. Sin embargo, la reina cometió un pecado de orgullo al asegurar que ambas eran más bellas que las ninfas del mar, las Nereidas. Éstas eran las 50 hermosas y bondadosas hijas de Nereo, el viejo sabio del mar. Ofendidas por las afirmaciones de Casiopea, las ninfas fueron a quejarse de ello a Poseidón, su protector y dios de los mares. Iracundo, Poseidón agitó las aguas con su tridente inundando las tierras de la costa de Palestina, y llamó al monstruo marino Cetus para que acudiera desde las profundidades. Cefeo consultó al oráculo de Amón para saber cómo podría guardar su reino, y le contestó que sus dominios sólo podrían salvarse de las acometidas del monstruo si sacrificaba a su hija Andrómeda a Cetus. Era imposible hacer frente a la presión del pueblo y, de acuerdo con la decisión tomada en el oráculo, Andrómeda fue encadenada a las rocas en las costas de Jope.

Cuando Cetus se acercó a Andrómeda, Perseo entró en la escena trágica.

Mientras Andrómeda yacía encadenada e indefensa en las rocas, Perseo se acercó volando cuando regresaba de su misión de matar a la Gorgona Medusa. Algunos dicen que llevaba las sandalias aladas que había recibido de Atenea, la diosa del intelecto y delos héroes. Sin embargo, según otras versiones, Perseo montaba a Pegado, el caballo alado. Cuando se acercaba a las rocas, Perseo quedó cautivado de la belleza virginal de Andrómeda, y se ofreció a luchar contra Cetus el monstruo marino a cambio de la mano de la virgen. Confundiendo a Cetus con el reflejo de su sombra en la superficie marina, Perseo dio muerte al monstruo y rescató a Andrómeda y así Perseo obtuvo la mano de Andrómeda en matrimonio. Cuando se celebraba el matrimonio de ambos hizo su aparición Fineo, un celoso antiguo pretendiente de Andrómeda, conjurado con Casiopea que lanzó a doscientos guerreros contra la feliz pareja. Perseo, al verse acosado, sacó la cabeza de la medusa de su zurrón y petrificó a todos los asaltantes.

Pero tras el mito griego que acabamos de enmarcar, Andrómeda cuenta con un origen más oscuro y complejo. Una pista de ello está en el nombre de Andrómeda, que significa “gobernadora de los hombres”: tal como cuenta el poeta latino Malino (siglo I d.C.), “el vencedor de la medusa fue vencido ante la mirada de Andrómeda”. Quizá no sea una figura tan pasiva e inocente, y está mucho más cerca de la diosa Afrodita como representante del deseo femenino. Éste es el desarrollo de la leyenda de Andrómeda a partir de sus raíces mesopotámicas. En tiempos antiguos esta constelación se había dedicado a Astarté (conocida con el nombre de Isthar por los babilonios), la diosa egipcia del amor y de la guerra. Astarté cuya iconografía la representa como diosa marina con una gran voracidad sexual, fue venerada en varios templos situados en las antiguas tierras de Palestina. Las mismas tierras donde se intentó sacrificar a Andrómeda. Andrómeda como su madre Casiopea y el propio Perseo fueron puestos en una región del cielo, Andrómeda conforma lo que llamamos la Constelación de Andrómeda.

Tercera ilustración de una serie de tres mapas ilustrados con las estrellas catalogadas de la época, por: Alexander Jamieson. Año 1822. United States Naval Observatory Library.
Tercera ilustración de una serie de tres mapas ilustrados con las estrellas catalogadas de la época, por: Alexander Jamieson. Año 1822. United States Naval Observatory Library.

Nota importante:

No debemos confundir el término Constelación con el de Galaxia:

  • Una galaxia es un conjunto de varias estrellas, nubes de gas, planetas, polvo cósmico, materia oscura, y quizá energía oscura, unido gravitatoriamente. Resumiendo, puede decirse que una galaxia es una colección de estrellas mantenidas juntas por su mutua atracción. En otras palabras, todas las estrellas en una galaxia se mantienen unidas por la gravedad de todas las otras estrellas (así como la invisible y misteriosa materia oscura). Existen atendiendo a su forma distintos tipos de galaxias:

Galaxias Elípticas

Llamadas así porque tienen una forma elipsoidal (o de huevo) y una apariencia suave, casi sin rasgos distintivos.

Las galaxias elípticas son generalmente grandes, con cientos de millones a trillones de estrellas. Las mayores galaxias en el universo son las galaxias elípticas. Son el resultado de muchas colisiones entre galaxias más pequeñas, y todas estas colisiones han destruido la delicada estructura espiral que vemos en nuestra propia galaxia.

Generalmente son viejas. Las galaxias elípticas se ven más rojas que las galaxias espirales como la Vía Láctea. Eso es debido a que contienen viejas estrellas rojas y tienen tasas muy bajas de formación de estrellas. Todo el gas y polvo disponible se ha gastado ya en el pasado, y ahora todo lo que queda son estas viejas estrellas rojas. También tienen grandes poblaciones de cúmulos globulares de estrellas.

Las galaxias elípticas generalmente se encuentran en los lugares más violentos del universo, tales como el corazón de los cúmulos de galaxias y en grupos compactos de galaxias. En estos lugares, las galaxias elípticas han tenido una vida acelerada, con muchas fusiones de galaxias y varios períodos de formación de estrellas. Estas constantes fusiones y colisiones aumentan su tamaño y gasta todo el gas disponible para la formación de estrellas.

La más pequeña enana de las galaxias elípticas no es más grande que un cúmulo globular y puede contener solamente 10 millones de estrellas. Las mayores galaxias elípticas pueden tener más de 10 trillones de estrellas. La galaxia más grande conocida en el universo, M87, es una galaxia elíptica.

Messier 87 Hubble.(M87)
Messier 87 Hubble. (M87)

Galaxias Espirales

Cuando se piensa en una galaxia, generalmente se piensa en una galaxia espiral. Ya sabes, con su protuberancia central y sus envolventes brazos en espiral desde el centro hacia fuera. De hecho, nuestra propia Vía Láctea es una galaxia espiral, y hay muchas otras en todo el universo. Pero ¿ha pensado alguna vez en cómo se producen esas hermosas formas?

Una galaxia espiral tiene la forma de un disco plano con un abultamiento más grueso en el centro. Brillantes brazos espirales que iniciándose desde el centro  se enrollan hacia el exterior como un molinillo. Todas las galaxias en espiral giran, pero muy lentamente; nuestra propia Vía Láctea completa una sola revolución una vez cada 250 millones de años aproximadamente.

Los brazos espirales son en realidad las ondas de densidad que se mueven alrededor del disco de la galaxia espiral. Como la onda de densidad pasa a través de una región, las masas se reúnen, y se obtienen brillantes focos de formación de estrellas. A continuación, la onda de densidad se mueve, y estimula a otra región para comenzar la formación de estrellas.

La protuberancia central, en el centro de una galaxia espiral contiene estrellas viejas, similar a una galaxia elíptica. Y en el centro mismo, siempre hay un agujero negro supermasivo que posee millones de veces la masa del Sol.

Las galaxias espirales también están rodeadas de un vasto halo esferoidal de estrellas. Estas estrellas podrían no haberse formado en la galaxia, sino que fueron robadas a través de sucesivas fusiones con otras galaxias. Este halo galáctico también contiene muchos cúmulos globulares de estrellas.

Los astrónomos piensan que las galaxias en espiral han sido lentamente construidas en el transcurso del tiempo a través de la fusión de galaxias más pequeñas. Al reunirse estas pequeñas galaxias, el total de su impulso conjunto hace que la galaxia fusionada gire. Esta rotación aplana hacia afuera la galaxia y establece los brazos espirales en movimiento.

Nuestra galaxia, la Vía Láctea, es espiral, con una clasificación en la secuencia de Hubble Sbc (posiblemente SBbc; ver galaxia espiral barrada).

Panorámica nocturna de la Vía Láctea vista desde la plataforma de Paranal, Chile, hogar del telescopio gigante del ESO.
Panorámica nocturna de la Vía Láctea vista desde la plataforma de Paranal, Chile, hogar del telescopio gigante del ESO.
Recreación artística hecha por la NASA de la Vía Láctea.
Recreación artística hecha por la NASA de la Vía Láctea.
Mapa de la Vía Láctea
Mapa de la Vía Láctea

Galaxias Lenticulares

Una galaxia lenticular es un tipo de galaxia intermedia entre una galaxia elíptica y una galaxia espiral que en la Secuencia de Hubble se clasifica como S0. Las galaxias lenticulares son con forma de disco, (al igual que las galaxias espirales) que han consumido o perdido gran parte o toda su materia interestelar (como las galaxias elípticas), y por tanto carecen de brazos espirales, aunque a veces existe cierta cantidad de materia interestelar, sobre todo polvo. Constituyen solo el 3% de las galaxias del universo.

La Galaxia del Sombrero (también conocida como Objeto Messier 104, Messier 104, o NGC 4594), es una galaxia lenticular de la constelación de Virgo a una distancia de 28 millones de años luz. Fue descubierta por Pierre Méchain en 1781. Tiene un núcleo grande y brillante, una inusual protuberancia central, y una destacada banda de polvo en el disco galáctico. Desde la Tierra, es vista de canto, lo que le proporciona una apariencia de sombrero sobre un quinto del diámetro de la Luna llena.
La Galaxia del Sombrero (también conocida como Objeto Messier 104, Messier 104, o NGC 4594), es una galaxia lenticular de la constelación de Virgo a una distancia de 28 millones de años luz. Fue descubierta por Pierre Méchain en 1781. Tiene un núcleo grande y brillante, una inusual protuberancia central, y una destacada banda de polvo en el disco galáctico. Desde la Tierra, es vista de canto, lo que le proporciona una apariencia de sombrero sobre un quinto del diámetro de la Luna llena.

Galaxias Irregulares

 La mayoría de las galaxias se pueden clasificar según su forma. Nuestra propia Vía Láctea es una galaxia espiral, por ejemplo, y las más grandes galaxias en el universo son las galaxias elípticas. Pero algunas galaxias desafían su catalogación. Estas son las galaxias irregulares, y cada una es única en cuanto a su forma, edad y estructura.

Las galaxias irregulares son a menudo caóticas en su forma, sin ningún abultamiento central ni brazos espirales. A pesar de que solían tener una forma más familiar, en una espectacular colisión con otra galaxia se distorsionó su forma.

Los astrónomos mantienen dos clasificaciones de galaxias irregulares. galaxias Irr-I que tienen alguna estructura, pero aun así son lo suficientemente distorsionadas para que no puedan ser clasificadas como espiral, elípticas o de forma lenticular. Y galaxias Irr-II que no tienen ninguna estructura.

La cercana Nube de Magallanes se ha considerado alguna vez que sea una galaxia irregular. A pesar de que los astrónomos han detectado una débil forma de espiral.

Sólo hay una galaxia irregular en el catálogo de objetos Messier, y es la M82; también conocida como Galaxia del Cigarro. Está ubicada en la constelación de la Osa Mayor a alrededor de 12 millones de años luz de distancia, y es famosa por sus enormes cantidades de estrellas en formación. De hecho, con la luz infrarroja, M82 es la galaxia más brillante en el cielo. Incluso en la luz visible, es 5 veces más brillante que la Vía Láctea.

Galaxia del cigarro (M82)
Galaxia del cigarro (M82)
Otro ejemplo de galaxia lenticular es Centaurus A, que se encuentra en la constelación de Centauro, en el extremo norte de la Vía Láctea. Rodea la Cruz del Sur y es visible solamente en el Hemisferio Sur.
Otro ejemplo de galaxia lenticular es Centaurus A, que se encuentra en la constelación de Centauro, en el extremo norte de la Vía Láctea. Rodea la Cruz del Sur y es visible solamente en el Hemisferio Sur.
  • Constelaciones

Una Constelación es un conjunto de estrellas que, mediante trazos imaginarios e imaginados por el hombre sobre la aparente superficie celeste, forman un dibujo que evoca una determinada figura, como la de un animal, un personaje mitológico, etc.

Una constelación, en astronomía, es un conjunto de estrellas cuya posición en el cielo nocturno es aparentemente invariable. Cada constelación tiene su propia historia y las estrellas que componen la constelación tienen su propio nombre.

Algunas constelaciones fueron ideadas hace muchos siglos por los pueblos que habitaban las regiones del Medio Oriente y el Mediterráneo. Otras, las que están más al sur, recibieron su nombre de los europeos en tiempos más recientes al explorar estos lugares hasta entonces desconocidos por ellos, aunque los pueblos que habitaban las regiones australes ya habían nombrado sus propias constelaciones de acuerdo a sus creencias.

Se acostumbra a separar las constelaciones en dos grupos, dependiendo el hemisferio celeste dónde se encuentren: Constelaciones septentrionales, las ubicadas al norte del ecuador celeste y las Constelaciones australes, al sur.

A partir de 1928, la Unión Astronómica Internacional (UAI) decidió reagrupar oficialmente la esfera celeste en 88 constelaciones con límites precisos, tal que todo punto en el cielo quedara dentro de los límites de una figura. Antes de dicho año, eran reconocidas otras constelaciones menores que luego cayeron en el olvido; muchas, ya no se recuerdan. El trabajo de delimitación definitiva de las constelaciones fue llevado a cabo fundamentalmente por el astrónomo belga Eugène Joseph Delporte y publicado por la UAI en 1930.

Constelaciones antiguas:

Placa tallada en el templo de Hator de Dendera (Egipto), alrededor del 50 AC, que representa las constelaciones zodiacales.
Placa tallada en el templo de Hator de Dendera (Egipto), alrededor del 50 AC, que representa las constelaciones zodiacales.

Ver en este mismo blog, “El cielo egipcio”

Debido al tiempo transcurrido y a la falta de registros históricos, es difícil conocer el origen preciso de las constelaciones más antiguas del mundo occidental. Tal parece que Leo (el león), Taurus (el toro), y Escorpio (el escorpión), existían desde antiguo en la cultura de Mesopotamia, unos 4000 años antes de la era cristiana, aunque no recibían esos nombres necesariamente.

Se cree que el interés de estos antiguos pueblos por la disposición de las estrellas tuvo motivos fundamentalmente prácticos, usualmente con propósitos agrícolas, de viaje y religiosos: como ayuda para medir el tiempo y las estaciones y para servir de orientación a navegantes y mercaderes cuando realizaban travesías durante la noche, ya fuese por mar o por el desierto. Así, imaginando figuras con las cuales relacionar los grupos de estrellas (y creando leyendas e historias de lo que representaban —ver mitología, astrología—) les sería más fácil y seguro recordar las rutas a seguir.

De las 88 constelaciones adoptadas por la UAI, casi la mitad provienen de la imaginación de los astrónomos griegos. Homero menciona a Orión en la Odisea (obra que data del siglo IX a. C.). En el Antiguo Egipto era conocido como Sahu mil años antes. El Zodíaco (Puede verse en este blog El Zodiaco), dividido en doce constelaciones, surgió en Babilonia durante el reinado de Nabucodonosor II siglo VI a. C., vinculado a las doce lunaciones anuales. Lo adoptará la cultura griega, dándole a las constelaciones los actuales nombres.

La compilación exhaustiva de constelaciones más antigua conocida se remonta a Claudio Ptolomeo, quien en el siglo II a. C. presentó un catálogo de 1022 estrellas, agrupadas en 48 constelaciones, en su obra Almagesto (Ver en este mismo Blog Ptolomeo y el Almagesto); la obra fue escrita en griego, con el título Ἡ μεγάλη Σύνταξις (He Megále Síntaxis: ‘el gran tratado’). Dicho trabajo, que será la base de muchos resúmenes astronómicos occidentales posteriores, hasta finales de la Edad Media, sólo incluía las estrellas visibles desde Alejandría, lugar desde donde Ptolomeo llevó a cabo sus observaciones.

Pardies, Ignace Gaston, 1636-1673.
Pardies, Ignace Gaston, 1636-1673.
Abd al-Rahman al-Sufi (903–986)
Abd al-Rahman al-Sufi (903–986)

Puede verse en este Blog, El libro de las estrellas fijas de: ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi.

Lista de las 88 constelaciones actuales, puede encontrarse en el siguiente enlace: Constelaciones .

La constelación de Andrómeda.

Atlas Coelestis. 1776.  John Flamsteed
Atlas Coelestis. 1776. John Flamsteed

La figura encadenada de Andrómeda se ve desde cualquier latitud hasta llegar a los 37ºS. Está situada al este de la constelación que representa a su salvador Perseus, aunque se localiza mejor a partir de la llamativa W de Casiopea, situada al norte. La cabeza de Andrómeda cuya figura parece caer, se superpone a Pegasus a la altura del diafragma del caballo, y la brillante estrella que la forma, Alpheratz, comparte el ángulo nororiental del cuadrado de Pegaso. Esta constelación alcanza su punto de culminación de medianoche en la segunda semana de octubre.

Andrómeda y el Triángulo.
Andrómeda y el Triángulo.
La constelación de Andrómeda, región del cielo contenida en la línea a trazos.
La constelación de Andrómeda, región del cielo contenida en la línea a trazos.

Como elementos más notables de esta constelación, podemos significar las estrellas principales Alpheratz, Mirach y Almach, y la galaxia que lleva el mismo nombre de la constelación: Andrómeda.

La Galaxia de Andrómeda (M31) es una galaxia espiral a aproximadamente 2,5 millones de años luz, en la Constelación de Andrómeda. La imagen también muestra las galaxias elípticas M32 y M110, así como NGC 206 (una brillante nube estelar en la Galaxia de Andrómeda) y la estrella Ni Andromedae.
La Galaxia de Andrómeda (M31) es una galaxia espiral a aproximadamente 2,5 millones de años luz, en la Constelación de Andrómeda. La imagen también muestra las galaxias elípticas M32 y M110, así como NGC 206 (una brillante nube estelar en la Galaxia de Andrómeda) y la estrella Ni Andromedae.

Para ver la mayoría de las galaxias, se necesita al menos un telescopio pequeño. No obstante la enorme galaxia de Andrómeda, o Messier 31, se puede ver a simple vista; si se sabe dónde mirar. La galaxia de Andrómeda se encuentra en la constelación Andrómeda.

Andrómeda es la galaxia más grande en el Grupo Local, que incluye la Vía Láctea, la galaxia Triangulo (Messier 33), y docenas de pequeñas galaxias enanas e irregulares. Una estimación reciente dio a Andrómeda 700 billones de masas solares. Nuestra Vía Láctea es sólo un 80% de la masa de Andrómeda.

La galaxia de Andrómeda fue observada por primera vez por los astrónomos persas, hace miles de años, posteriormente, en 1764 fue catalogada por Charles Messier clasificándola como M31. En el año 1912, los astrónomos calcularon su velocidad en 300 kilómetros por segundo, moviéndose hacia el Sol. Edwin Hubble calculó por primera vez la distancia a Andrómeda, detectando Cepheus variables en la galaxia. Sus medidas dieron 450 kpc (1 kpc = 3.08567758 × 1019 metros), o 2,5 millones de años-luz de distancia; así está en el exterior de la galaxia de la Vía Láctea.

Estimaciones recientes han calculado que la galaxia de Andrómeda es de unos 220.000 años-luz de diámetro, casi el doble de la estimación de diámetro de la Vía Láctea.

Mientras que otras galaxias se están alejando de nosotros, Andrómeda está en curso de colisión con la Vía Láctea. Nuestras dos galaxias colisionarán la una con la otra en aproximadamente 2,5 mil millones de años, comenzándose entonces a formar una galaxia elíptica gigante. Se sabe que tiene 14 galaxias enanas en órbita, en diversas etapas de fusión.

Andrómeda en el Arte.

El mito de Andrómeda como el de Venus, Afrodita, e innumerables ejemplos más, han sido motivo artístico a lo largo de la historia del arte. Aquí presento a modo de colección las distintas representaciones que ha tenido Andrómeda fundamentalmente en la Historia de la Pintura. Pasamos a presentarla.

Rubens, Pedro Pablo; Jordaens, Jacob, Perseo liberando a Andrómeda, 1639 – 1641. Óleo sobre Lienzo. 267 cm x 162 cm. Escuela Flamenca
Rubens, Pedro Pablo; Jordaens, Jacob, Perseo liberando a Andrómeda, 1639 – 1641. Óleo sobre Lienzo. 267 cm x 162 cm. Escuela Flamenca

Andrómeda y Perseo es el último cuadro de Rubens, dejándolo sin acabar al sorprenderle la muerte -mientras lo ejecutaba- el 30 de mayo de 1640. Se pensó en Van Dyck para que continuara con todos los encargos que le había hecho Felipe IV, pero la falta de entendimiento entre el artista y el cardenal-infante Don Fernando motivó que quien acabase la obra fuera Jacob Jordaens, el tercero en discordia de la Edad de Oro del Barroco flamenco.Rubens eligió el momento en que Andrómeda es liberada por Perseo, habiéndose superado el momento de la tensión por la lucha entre el monstruo y el héroe. Andrómeda quiso disputar a las Nereidas el premio de la hermosura y fue atada a una roca donde iba a ser devorada por un monstruo marino cuando fue salvada por Perseo. En la escena se aprecia un cierto aire de temor por la lucha, aunque la felicidad de la pareja inunda la imagen. Los dos amorcillos que aparecen en la parte superior y Pegaso, el caballo alado de Perseo, completan la composición. La bella figura de Andrómeda se recorta sobre un fondo grisáceo; el ritmo gracioso de su cuerpo nos pone de manifiesto el canon estético de Rubens, recogiendo la moda de la época al mostrarnos imágenes de mujeres entradas en carnes, rubias y con poco pecho. La armadura negra de Perseo contrasta con el color nacarado de su futura esposa. Algunos autores piensan que Rubens utilizó como modelo para Andrómeda a su mujer, Hélène Fourment, como también hizo para otras figuras femeninas, como las Tres Gracias.

Peter Paul Rubens (1577–1640). Andrómeda. 1638. Gemäldegalerie, Berlin
Peter Paul Rubens (1577–1640). Andrómeda. 1638. Gemäldegalerie, Berlin
Peter Paul Rubens, 1607.Perseo liberando a Andrómeda. 100 cm × 139 cm. Óleo sobre tabla.
Peter Paul Rubens, 1607.Perseo liberando a Andrómeda. 100 cm × 139 cm. Óleo sobre tabla.
Edward Poynter, 1869. Andrómeda. Óleo sobre lienzo, 49.53 × 33 cm.
Edward Poynter, 1869. Andrómeda. Óleo sobre lienzo, 49.53 × 33 cm.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda y Perseo por Pierre Mignard (1612–1695), Año 1679. Óleo sobre lienzo, 150x198cm. Museo del Louvre, París.
Andrómeda y Perseo por Pierre Mignard (1612–1695), Año 1679. Óleo sobre lienzo, 150x198cm. Museo del Louvre, París.
Paolo Veronese (1528–1588). Perseo rescatando a Andromeda, 1576-1578. Óleo sobre lienzo, 260 × 211 cm.Museum of Fine Arts.
Paolo Veronese (1528–1588). Perseo rescatando a Andromeda, 1576-1578. Óleo sobre lienzo, 260 × 211 cm.Museum of Fine Arts.
Giorgio Vasari, Perseus en Andromeda, 1570, Olieverf op paneel, 127x109 cm, Palazzo Vecchio, Florence
Giorgio Vasari, Perseus en Andromeda, 1570, Olieverf op paneel, 127×109 cm, Palazzo Vecchio, Florence
Theodoor van Thulden (1606–1669). Perseus Frees Andromeda. 17th century
Theodoor van Thulden (1606–1669). Perseus Frees Andromeda. 17th century
Charles-André van Loo (1705–1765). Perseo y Andrómeda, entre 1735 y 1740. Óleo sobre lienzo, 73x92cm. Museo Hermitage.
Charles-André van Loo (1705–1765). Perseo y Andrómeda, entre 1735 y 1740. Óleo sobre lienzo, 73x92cm. Museo Hermitage.
Eugène Delacroix (1798–1863). Perseo y Andrómeda.1853.
Eugène Delacroix (1798–1863). Perseo y Andrómeda.1853.
Domenico Fetti (1588–1623). Perseo liberando a Andrómeda.1621/1622. Óleo sobre 0,5 x 72,5 cm. Kunsthistorisches Museum
Domenico Fetti (1588–1623). Perseo liberando a Andrómeda.1621/1622. Óleo sobre 0,5 x 72,5 cm. Kunsthistorisches Museum,
Henri-Pierre Picou (1824–1895). Andromeda encadenada a las rocas, 1874. Óleo sobre lienzo. 120.3 × 84.8 cm. Dahesh Museum of Art
Henri-Pierre Picou (1824–1895). Andromeda encadenada a las rocas, 1874. Óleo sobre lienzo. 120.3 × 84.8 cm. Dahesh Museum of Art.
Guido Reni (1575–1642), Andromeda.
Guido Reni (1575–1642), Andromeda.
Frederic Leighton (1830–1896), Perseo y Andrómeda. 1891. Óleo sobre lienzo. 235 × 129.2 cm. Walker Art Gallery
Frederic Leighton (1830–1896), Perseo y Andrómeda. 1891. Óleo sobre lienzo. 235 × 129.2 cm. Walker Art Gallery
Filippo Falciatore, Perseo rescatando a Andrómeda. 1736. Óleo sobre tabla. Museo Duca di Martina.
Filippo Falciatore, Perseo rescatando a Andrómeda. 1736. Óleo sobre tabla. Museo Duca di Martina.
Gustave-Claude-Etienne Courtois (1852–1923) Perseo liberando a Andrómeda. 1913. Óleo sobre lienzo.
Gustave-Claude-Etienne Courtois (1852–1923) Perseo liberando a Andrómeda. 1913. Óleo sobre lienzo.
Gustave Moreau (1826–1898) Perseo y Andrómeda,1870. Óleo sobre lienzo. Bristol City Museum and Art Gallery.
Gustave Moreau (1826–1898) Perseo y Andrómeda,1870. Óleo sobre lienzo. Bristol City Museum and Art Gallery.
Pieza de porcelana siglo XIX. Anónima.
Pieza de porcelana siglo XIX. Anónima.
Giuseppe Cesari (1568–1640), Perseo liberando a Andrómeda, 1594-1598. oil on slate52 × 38.5 cm.  Gemäldegalerie, Berlin
Giuseppe Cesari (1568–1640), Perseo liberando a Andrómeda, 1594-1598. oil on slate 52 × 38.5 cm. Gemäldegalerie, Berlin.

Los Problemas de Apolonio (1 y 2); Tangencias: Apolonio de Perga

En recuerdo de Edmond Halley, el gran  admirador de la obra de Apolonio, en el año del acercamiento de su cometa.

D. Miguel de Guzmán; Insigne Matemático Español.

Así dedicaba el inolvidable y egregio profesor D. Miguel de Guzmán un artículo sobre Apolonio escrito en 1986. Sirva esta entrada como mi humilde tributo a D. Miguel de Guzmán, quien glosaba la figura de éste irrepetible geómetra, en los términos que siguen: (Tomo literal de su artículo)
“De los tres grandes matemáticos del helenismo, Euclides, Arquímedes y Apolonio, este último ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. Aunque del personaje Euclides no sabemos casi nada, su obra fue pronto el paradigma de la sistematización del saber matemático, la obra de los fundamentos, y conservó este halo por siempre. Arquímedes, por su genio polifacético y por las leyendas creadas alrededor de su persona, coronadas con la historia de su muerte, es sin duda, de entre los tres, la figura más conocida universalmente”.

Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia.

Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710.

La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía).

Ágora en Perga, actual Antalya es una ciudad situada en la costa mediterránea del suroeste de Turquía.

Estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio».

Cónicas de Apolonio

La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado El Geómetra en la Antigüedad. Sobre porciones más o menos extensas de su obra escribieron comentarios Pappus (IV d.de C.) Serenus Antissensis (IV), Hyppathia (V), Eutoquio (VI), Abalphat de Ispahan (X), Abdomelek de Chiraz (XIII),…

Secciones Cónicas

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente por vía de la matemática árabe. Vitelio, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de óptica, que en el fondo es un comentario al tratado de óptica del árabe Al-Hazen, que residió en la península ibérica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas proposiciones geométricas de Apolonio.

Siendo “Las cónicas” su obra más conocida, Apolonio escribió unas cuantas obras más que se difundieron bastante en su entorno, una buena parte relativa a geometría, otras a campos de la física donde sus profundos conocimientos geométricos más pudieron aportar, como es el caso del estudio de la reflexión sobre espejos curvos, otras de astronomía, campo este en el que Apolonio ejerció una notable influencia, viniendo citado explícitamente por Tolomeo, autor del Almagesto (ca.140 d.de C.) como responsable de un importante teorema en la teoría de epiciclos. Pero parece cierto que las otras obras matemáticas de las que nos han llegado noticias fueron de interés más bien puntual, a juzgar por el tipo de problemas que trataban. He aquí una descripción sucinta de  dos de ellas: Sobre la sección de la razón (logou apotomh) y Tangencias.

La única obra, aparte de las Cónicas, que ha sobrevivido hasta nosotros, tiene por título Sobre la sección de la razón (logou apotomh) que fue conservada en árabe y traducida por Halley al latín en 1706. Halley había hecho el esfuerzo de aprender árabe a fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio.

La obra que en esta entrada tratamos es “Las tangencias”.

La obra titulada Tangencias,  se hizo especialmente famosa a lo largo de la historia por contener lo que se vino a llamar el Problema de Apolonio.

Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, se pide hallar una circunferencia que sea tangente a ellos (pase por ellos en el caso de puntos). El caso más complicado, dadas tres circunferencias hallar otra tangente a las tres, es el mencionado problema de Apolonio. No conociéndose exactamente la solución de Apolonio, esta cuestión interesó vivamente a muchos matemáticos famosos, entre ellos Vieta, Descartes, Newton, Euler, Poncelet,…

Conocemos como “problemas de Apolonio”, al siguiente problema de tangencias:

Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, punto, recta o circunferencia, construir la/las  circunferencias que sean tangentes a los tres (en el caso de puntos, que pase por ellos).

Llamaremos

P:  que pase por un punto.

R:  que sea tangente a una recta.

C:  que sea tangente a una circunferencia.

Se obtienen los siguientes 10  casos:

1.- PPP    Construir una circunferencia que pase por tres puntos dados.

2.- PPR    Dados dos puntos y una recta, construir la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

3.- RRR    Construir una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

4.- PPC    Dados dos puntos y una circunferencia, hallar la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la circunferencia.

5.- PRR    Dado un punto y dos rectas, construir la circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos rectas.

6.- PRC   Dado un punto, una recta, y una circunferencia, hallar la circunferencia que sea tangente a la recta y circunferencia dadas y pase por el punto.

7.- PCC   Hallar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias dadas y pase por un punto.

8.- RRC   Construir la circunferencia que sea tangente a dos rectas y una circunferencia dadas.

9.- RCC   Construir una circunferencia tangente a otras dos circunferencias y una recta.

10.- CCC Construir una circunferencia que sea tangente a tres circunferencias dadas.

Solución al problema 10 (CCC) de Apolonio.

Se habla a veces, del Problema de Apolonio, suele referirse en este caso al ultimo de los enunciados, esto es, construir una circunferencia tangente a otras tres circunferencias dadas. Este es el más complicado de los 10 anteriores, y del que no se conoce la solución que dio el propio Apolonio.

En esta entrada damos solución gráfica a los dos primeros problemas de Apolonio, siendo ésta una de una serie en construcción donde se tratará la solución de los diez problemas propuestos por Apolonio en su “Tangencias”.

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