El Nacimiento de Venus y La divina Proporción

La castración de Urano, fresco de Giorgio Vasari y Cristofano Gherardi, c. 1560 (Sala di Cosimo I, Palazzo Vecchio, Florencia).

Tomo literal de Los Mitos Griegos Vol. I de Robert Graves:

LA CASTRACIÓN DE URANO. Urano engendró a los Titanes en la Madre Tierra después de haber arrojado a sus hijos rebeldes, los Cíclopes, al Tártaro, lugar tenebroso en el mundo subterráneo que se halla a la misma distancia de la tierra que la tierra del cielo; un yunque que cayera tardaría nueve días en llegar a su fondo. En venganza, la Madre Tierra incitó a los Titanes a que atacaran a su padre, y ellos lo hicieron, encabezados por Crono, el más joven de los siete, al que ella armó con una hoz de pedernal. Sorprendieron a Urano mientras dormía y fue con esa hoz de pedernal con lo que le castró el cruel Crono, asiendo sus órganos genitales con la mano izquierda (la que desde entonces ha sido la mano de mal agüero), y luego los arrojó al mar  junto con la hoz, desde el cabo Drépano. Pero algunas gotas de la sangre que fluía de la herida cayeron sobre la Madre Tierra, y ésta dio a luz a las Tres Erinias, furias que vengan los crímenes de parricidio y perjurio y se llaman Alecto, Tisífone y Megera. Las ninfas del fresno, llamadas Melíades, nacieron también de esa sangre. Los Titanes pusieron en libertad a los Cíclopes que estaban en el Tártaro y concedieron la soberanía de la tierra a Crono.

El Nacimiento de Venus -Sandro Botticelli.
El Nacimiento de Venus es un gran temple sobre lienzo que data de aproximadamente 1478, mide 172,5 x 278,5 cm y se encuentra en la Gallería degli Uffizi, en Florencia.

EL NACIMIENTO DE AFRODITA. Afrodita, Diosa del Deseo, surgió desnuda de la espuma del mar y, surcando las olas en una venera, desembarcó primero en la isla de Citera; pero como le pareció una isla muy pequeña, pasó al Peloponeso y más tarde fijó su residencia en Pafos, Chipre, todavía la sede principal de su culto. La hierba y las flores brotaban de la tierra dondequiera que pisaba.

Detalle – El Nacimiento de Venus

En Pafos las Estaciones, hijas de Temis, se apresuraron a vestirla y adornarla. Algunos sostienen que surgió de la espuma que se formó alrededor de los órganos genitales de Urano cuando Crono los arrojó al mar; otros que Zeus la engendró en Dione. hija del Océano y Tetis, la ninfa del mar, o bien del Aire y la Tierra. Pero todos están de acuerdo en que se echa a volar acompañada de palomas y gorriones .

Detalle -Céfiro, El Nacimiento de Venus

Afrodita («nacida de la espuma») es la misma diosa de extenso gobierno que surgió del Caos y bailó sobre el mar y que era adorada en Siria y Palestina como Íshtar o Ashtaroth… (Robert Graves)

El Cuadro

En la segunda mitad del XV la pintura florentina adquiere un carácter refinado,  de sorprendente vivacidad. Los contactos con la pintura flamenca introducen el gusto,  en cierto modo burgués, por lo concreto, aunque interpretado siempre con mayor digni­dad clásica. Surge el gusto por lo doméstico y cotidiano, conforme con la realidad de la burguesía acomodada florentina cuyos trajes, ambientes y costumbres se reproducen en todo tipo de escenas que se convierten, en muchos casos, en cuadros de género. El pintor más famoso de este ambiente es SANDRO BOTICELLI, excelente dibujante y gran colorista, que nos deja figuras de gran belleza, quizás los rostros más bellos del Re­nacimiento.

Detalle -Nacimiento de Venus

En esta obra, no existe preocupación por la perspectiva ni por la creación del espacio, hay un desprecio consciente a lo experimentado anteriormente. La preocupación se centra en la línea, lo curvo, los fondos planos, y la profundidad atmosférica. Prima el dibujo sobre la imitación de la naturaleza. Es una forma de representar lo que hoy se llama “arte intelectualizado”.

Detalle -Nacimiento de Venus

La pintura nos muestra una temática que se relaciona con las doctrinas neoplatónicas. En esta obra, trata de reconstruir una pintura del pintor ateniense Apeles, descrita en una poesía de Poliziano.

Detalle -Nacimiento de Venus

El tema deriva de la literatura homérica, recogida en las “Metamorfosis” de Ovidio, en un episodio en el que se narra como la ninfa Hora tiende su manto a Venus Andrómeda, que surge del mar desnuda sobre una concha, mientras soplan sobre ella el viento del oeste, Céfiros y su amante, la ninfa Cloris.

Detalle -Nacimiento de Venus

En esta obra observamos en el centro, encerrada en un triángulo, la figura de Venus, ligeramente curvada, representando en su silueta la curva praxiteliana, acompañada a su izquierda por Céfiros y Cloris, que dibujan una diagonal, y a la derecha, también en diagonal, la ninfa Hora que traza con el manto con el que se va a recubrir a Venus, otra línea curva, cerrando así la composición por el lado derecho. La figura central, Venus, está directamente inspirada en la Afrodita de Cnido de Praxiteles y en la serie de Venus púdicas helenísticas.

Detalle -Nacimiento de Venus

Un aspecto, quizá más descuidado o inadvertido por los críticos y profesores de arte, sobre esta obra, es su rigor geométrico.

Aquí presento un breve (puede hacerse más amplio) apunte geométrico del cuadro de Sandro Botticelli “El nacimiento de Venus”, donde se comprueba el rigurosísimo uso que hace de la divina proporción, la sección áurea, el rectángulo áureo, la espiral áurea,… Dedicado especialmente a mi hija. Puede verse a pantalla completa HD, es una presentación PowerPoint pasada a vídeo.

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Pedro Olalla: ¿Por qué Grecia?

Pedro Olalla
Pedro Olalla

Pedro Olalla González de la Vega (Oviedo, España, 1966) es escritor, helenista, profesor, traductor, fotógrafo y cineasta, y en estos campos desarrolla su actividad profesional en colaboración con editoriales, universidades e instituciones culturales de diversos países del mundo. Desde hace veintiocho años, mantiene una intensa relación con Grecia, país en el que se inició en el helenismo y en el que, en 1994, fijó su residencia para dedicarse a la investigación, la creación y la didáctica. Nota de su blog personal, que puedes visitar desde aquí: (Haz click)

Con este clip nos deleita, y nos propone una espléndida visión de lo “griego”, hacer más comentarios sobre este conferencia audiovisual, sería casi agredirla, así que prefiero que sean ustedes, los lectores, los que la gocen.

Conferencia audiovisual de Pedro Olalla sobre la importancia del elemento griego en la conformación de la cultura. Pronunciada en la “X Jornada Clásica de Sagunto” (Sagunto, España, 17/11/2012), en un clima marcado por la nueva reforma educativa española, que reduce la presencia de las humanidades y, en especial, el estudio del latín y del griego.

Pensadores Influyentes en la Historia de la Ciencia

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De la página oficial  del MUNCYT (Museo Nacional de Ciencia y Tecnología), tomo:

Una vez más, el MUNCYT se ocupa de acercarnos la historia. Si una de sus misiones, para empujarnos al futuro, radica en la popularización y comprensión de la ciencia que se está creando, que mueve nuestro mundo y que vemos asomar en los medios de comunicación, otros objetivos nos invitan a mirar al pasado, tratando de fortalecer las raíces que sustentan nuestra cultura.

En esta obra, y en la exposición que la acompaña, los expertos han querido seleccionar, con la limitación en número que aconseja toda tarea de este género, el conjunto de libros que podríamos considerar más destacados por su trascendencia en la historia del pensamiento científico. Abarcan un período tan amplio como el de la cultura humana, y el índice de mayor o menor frecuencia a lo largo de los siglos respectivos puede ser un indicador de la presencia de las crisis y revoluciones en el mundo de las ideas. Siempre definiendo un progreso.

Si los libros representan la historia del pensamiento, este proyecto quiere recordarnos que todas la ideas científicas nacen o se hacen en el encuentro con el mundo material, con objetos de nuestro mundo. Cada libro se presenta vinculado a un objeto, en la mayor parte de los casos de la colección del MUNCYT, que nos invita a pensar en clave de historia y a poner personalmente en marcha el proceso de intervención imprescindible para que, al menos mentalmente, se puedan generar conceptos a partir de la percepción de hechos.

En esta entrada recojo los veintiséis retratos realizados por Eulogia Merle de los científicos que forman parte de la exposición ‘Libros inmortales, instrumentos esenciales’, sobre las obras que han cambiado el curso del pensamiento humano, así como una breve biografía de ellos. La muestra se inaugura el 17 de octubre de 2013 en la sede de A Coruña del Museo Nacional de Ciencia y Tecnología (MUNCYT). El catálogo de esta muestra se puede descargar desde la web del MUNCYT.

‘Tratados Hipocráticos’ de Hipócrates de Cos (460-380 a. C.). Nace la medicina como ciencia.
‘Tratados Hipocráticos’ de Hipócrates de Cos (460-380 a. C.). Nace la medicina como ciencia.

Al llamado “Padre de la medicina” le podemos reconocer tres importantes aportaciones: el racionalismo, la observación cuidadosa y la necesidad de unas normas éticas. Según la tradición era médico y nacido en la Isla de Cos, incluso emparentado con Asclepio, dios griego de la medicina. Con certeza poco o nada se sabe de su vida; quizás viajó por toda Grecia realizando observaciones y tratando enfermos, lo que le serviría para compilar toda su experiencia en una serie de escritos de medicina que se le atribuyen y que siglos más tarde dieron forma al Corpus Hippocraticum. Defiende la concepción de la enfermedad como la consecuencia de un desequilibrio entre los humores del cuerpo, teoría que desarrollaría más tarde Galeno y que dominaría hasta la Ilustración. Entre las aportaciones de la medicina hipocrática destacan: la consideración del cuerpo como un todo, el énfasis en la observación minuciosa de los síntomas y la valoración del historial clínico. En el campo de la ética médica se le atribuye el célebre “juramento hipocrático” que compromete a quien lo pronuncia a «entrar en las casas con el único fin de cuidar y curar a los enfermos» y a «mantener el secreto». Murió en la ciudad de Larissa (Tesalia) dejando tras de sí el mayor compendio médico de su época.

‘Física’ de Aristóteles de Estagira (384-322 a. C.). El primer paradigma centrado en el estudio de la naturaleza de las cosas.
‘Física’ de Aristóteles de Estagira (384-322 a. C.). El primer paradigma centrado en el estudio de la naturaleza de las cosas.

Se le conoce como El Estagirita, por haber nacido en la ciudad de Estagira (Tracia). Era hijo del médico del rey de Macedonia. Creció en la corte y al inicio de su juventud marchó a Atenas, para estudiar en la Academia de Platón, donde estuvo durante veinte años. Viajó por el Egeo, y entre otras materias estudió la zoología y botánica de la isla de Lesbos, tras lo cual fue invitado por el rey Filipo II para ser tutor de su hijo, quien años más tarde sería Alejandro Magno. A su vuelta a Atenas estableció su propia escuela en el Liceo. Había cumplido sesenta años cuando se trasladó a la isla de Eubea, donde murió. Destaca como filósofo, conocedor e integrador de múltiples disciplinas. Se le considera el fundador de la lógica deductiva en filosofía. Como científico, escribió sobre física, astronomía, anatomía, embriología, geografía, geología, meteorología y zoología. En la Física plantea tres principios básicos para explicar el movimiento de los cuerpos, distinguiendo entre movimientos naturales y movimientos forzados. Su visión cosmológica propone la delimitación de una región sublunar en la que sitúa a la Tierra, donde los movimientos naturales son verticales y pasajeros, y una supralunar que considera perfecta, donde el movimiento natural es circular y constante.

‘Elementos’ de Euclides (c. 295 a. C.). Comienza la historia de la geometría.
‘Elementos’ de Euclides (c. 295 a. C.). Comienza la historia de la geometría.

Es difícil precisar datos de la biografía del más destacado matemático de la antigüedad grecolatina, considerado el Padre de la Geometría. Solo se conocen con certeza dos hechos indiscutibles: vivió en una época intermedia entre los discípulos de Platón y los de Arquímedes, y formó una gran escuela de matemáticas en Alejandría. Según el filósofo bizantino Proclo, Euclides enseñó en esta ciudad del delta del Nilo durante el mandato de Ptolomeo I Sóter, es decir, entre los años 323 y 285 a. C. Murió en torno al año 270 a. C. Su fama radica en ser el autor de los Elementos, un tratado de geometría que ha servido de libro de texto en la materia hasta comienzos del siglo XX.

Está compuesto por trece libros que tratan de geometría en dos y tres dimensiones, proporciones y teoría de números. Presenta toda la geometría basándose en teoremas que pueden derivarse a partir de cinco axiomas o postulados muy simples que se aceptan como verdaderos.

‘Sobre los cuerpos flotantes’ de Arquímedes de Siracusa (c. 287-212 a. C.). Ideas que integran ingeniería, mecánica y matemáticas.
‘Sobre los cuerpos flotantes’ de Arquímedes de Siracusa (c. 287-212 a. C.). Ideas que integran ingeniería, mecánica y matemáticas.

Aunque resulte paradójico, por exceso de referencias –y datos discrepantes se conocen escasos detalles que sean fidedignos de la vida del renombrado matemático e ingeniero de la antigua Grecia. La biografía escrita por su amigo Heracleides no ha llegado a nuestros días, y hemos de limitarnos a historias posteriores, como las de Plutarco, Tito Livio y otros. Sabemos que visitó Alejandría, estudiando con los sucesores de Euclides, pero la mayor parte de su vida transcurrió en la ciudad-estado de Siracusa, en la isla de Sicilia, donde estaba relacionado con su rey, Hierón II. Allí compuso la mayor parte de su obra, hasta su muerte en el saqueo romano de la ciudad después de una histórica defensa. Se le atribuyen diversos ingenios mecánicos, como el llamado tornillo sin fin, la polea compuesta, o el espejo ustorio. Entre sus importantes trabajos matemáticos destacan los relacionados con el análisis de problemas hidrostáticos como Sobre los cuerpos flotantes, que contiene en su proposición séptima el celebérrimo Principio que vinculamos a su nombre. Se dice que las figuras de la esfera y el cilindro fueron grabadas en su tumba.

‘Historia natural’ de Plinio Segundo (23-79 d. C.). La más detallada enciclopedia de las maravillas del mundo conocido.
‘Historia natural’ de Plinio Segundo (23-79 d. C.). La más detallada enciclopedia de las maravillas del mundo conocido.

Conocido también como Plinio el Viejo, nació en Comum (la actual ciudad de Como, en Italia) en el seno de una próspera familia, miembro de la clase social de los caballeros romanos. En Roma estudió botánica, filosofía y retórica. A los veintitrés años inició su carrera militar en Germania y durante años dedicó su vida al ejército. Regresó a la capital del Imperio y se dedicó al estudio y cultivo de las letras, recibiendo importantes cargos de confianza. Fue procurador en Galia e Hispania. Los investigadores señalan que en sus últimos años solía dirigirse cotidianamente al palacio de Vespasiano quizá en calidad de consejero privado. A él se le atribuyen varias obras entre las que destaca su Historia Natural –presentada a Tito en el año 77 y publicada por su sobrino en el año 79-, un compendio enciclopédico que reúne gran parte del saber de su época en treinta y siete libros, cada uno dedicado a un área de conocimiento: cosmología, astronomía, geografía, zoología, botánica, agricultura, medicina y minerales. La muerte le sobrevino mientras trataba de socorrer a los ciudadanos en la erupción del Vesubio.

‘Almagesto’ de Claudio Ptolomeo (siglo II). La búsqueda de orden cósmico a través de la geometría y el número.
‘Almagesto’ de Claudio Ptolomeo (siglo II). La búsqueda de orden cósmico a través de la geometría y el número.

El hecho de que ninguno de los biógrafos griegos posteriores le dedique literatura hace suponer a los estudiosos que este ciudadano romano, probablemente de origen griego, tuvo una existencia pacífica dedicada al estudio. Por sus observaciones se estima que trabajó en Alejandría, entre los años 125 y 141 d.C. y que después de esta fecha redactó su obra Gran composición matemática de la astronomía, más conocida por su título árabe Almagesto. Dedicó su vida a la matemática, la astronomía, la geografía y la astrología. A partir de las ideas aristotélicas y de sus observaciones construyó un modelo geométrico del mundo que servía para explicar con alto grado de precisión los movimientos aparentes (vistos desde la Tierra) de los antiguos planetas o estrellas que cambian de constelación, es decir el Sol, la Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno; era un sistema geocéntrico, según el cual la Tierra se encuentra inmóvil en el centro del universo. Por todo ello, el sistema podía usarse para predecir eclipses. Sus ideas influyeron en astrónomos y matemáticos hasta el siglo XVI.

‘Sobre el movimiento de las esferas celestes’ de Nicolás Copérnico (1473-1543). La revolución del heliocentrismo entra en escena.
‘Sobre el movimiento de las esferas celestes’ de Nicolás Copérnico (1473-1543). La revolución del heliocentrismo entra en escena.

Nació en Polonia en el seno de una adinerada familia. Quedó huérfano y bajo la tutela de su tío, obispo de Warmia. Ingresó en la Universidad de Cracovia y años más tarde en Bolonia estudió derecho canónico, recibió la influencia del humanismo italiano comenzando a mostrar interés por la astronomía. En Padua completó sus estudios con los de medicina, doctorándose en derecho canónico por la Universidad de Ferrara, regresó a su país y se incorporó a la corte episcopal. En 1513 escribió el Commentariolus –manuscrito que circuló sin que se supiera su autoría-, donde esbozaba su nuevo sistema astronómico. Fue invitado a reformar el calendario juliano. Los últimos años de su vida los dedicó a la redacción de su gran obra, De Revolutionibus Orbium Coelestium, donde defendía la hipótesis heliocéntrica. Su discípulo Rheticus llevó en 1542 una copia del manuscrito a la imprenta, publicándose en 1543. Falleció en Frombork y su teoría fue condenada por la Iglesia en 1616. Permaneció en el Índice de libros prohibidos hasta 1758.

‘De la estructura del cuerpo humano’ de Andrés Vesalio (1514-1564). El nacimiento de la anatomía moderna.
‘De la estructura del cuerpo humano’ de Andrés Vesalio (1514-1564). El nacimiento de la anatomía moderna.

Andries van Wesel – o Andreas Vesalius, su nombre latino-, nacido en Bruselas, es considerado unánimemente como el padre de la anatomía moderna. Se formó en las universidades de Lovaina, París y finalmente Padua, donde obtuvo el título de doctor en medicina magna cum laude, y fue profesor. Aplicando el método científico de observación y disección de cadáveres superó las premisas de Galeno basadas en el estudio de animales, y no de seres humanos, imperantes durante más de mil años. Solo unos pocos pioneros, como Leonardo da Vinci, a quien podemos considerar el fundador de la ilustración anatómica pocos decenios antes, se habían atrevido a realizar disecciones humanas y a hacerlo público. Una vez publicada en 1543 su obra fundamental, De humani corporis fabrica –que detalla y esclarece la anatomía humana-, Vesalio renunció a sus investigaciones en Padua por la práctica de la medicina al servicio del emperador Carlos V, y más tarde de su hijo Felipe II, en los Países Bajos y España. Al regreso de un viaje de peregrinación a Jerusalén naufragó en la isla griega de Zante, donde murió en extrañas circunstancias a los 50 años.

‘Astronomía nueva’ de Johannes Kepler (1571-1630). Las leyes matemáticas pasan a gobernar el cielo.
‘Astronomía nueva’ de Johannes Kepler (1571-1630). Las leyes matemáticas pasan a gobernar el cielo.

El científico que abrió la senda de la astronomía moderna nació en Weil der Stadt, en la actual Alemania. La miopía y la visión doble que padeció desde niño a causa de la viruela no le impidieron desvelar las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Formado en teología en la universidad de Tubinga, su profesor de astronomía, Michael Mastlin, pronto se apercibió de su inusual capacidad intelectual ilustrándole sobre la teoría heliocéntrica de Copérnico. Su itinerante vida transcurrió principalmente entre las ciudades de Graz, Praga y Linz. Fue en la segunda donde, asalariado por el astrónomo Tycho Brahe y más tarde como Matemático Imperial bajo la protección de Rodolfo II, desarrolló sus grandes obras, como las Tabulae Rudolphinae y Astronomia Nova (1609). Es en esta última donde expuso dos de las tres leyes fundamentales que describen el movimiento de los planetas: la tercera la plasmó en Harmonices mundi Libri V (1619). Kepler fue el primer científico en demandar explicaciones físicas a los fenómenos celestes.

‘Diálogos sobre los sistemas del mundo’ de Galileo Galilei (1564-1642). Órdago por la racionalidad a modo de lección de física.
‘Diálogos sobre los sistemas del mundo’ de Galileo Galilei (1564-1642). Órdago por la racionalidad a modo de lección de física.

Uno de los máximos exponentes de la Revolución Científica, nació en Pisa, en una familia perteneciente a la baja nobleza. Inició la carrera de medicina, pero pronto la abandonó y reorientó sus estudios hacia la física y las matemáticas. Inspirado por el trabajo de Arquímedes, comenzó a realizar experiencias, y de esta primera época son sus descubrimientos sobre caída de los cuerpos, convencido de que la naturaleza le permitía contrastar las ideas de Aristóteles y de que las ideas podían defenderse libremente con razonamientos basados en la experiencia. El fallecimiento de su padre, músico, le obligó a hacerse cargo de su familia. En el invierno de 1609 utilizó un telescopio fabricado por él mismo y por primera vez lo dirigió hacia los cielos, donde se encontró con revolucionarias observaciones –como la existencia de satélites en Júpiter- y las describió en el Sidereus Nuncius. La interpretación de las mismas le llevaron a convencerse de la validez del modelo heliocéntrico de Copérnico. En 1632 publicó Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico, e Copernicano, donde defendía la cosmología copernicana en forma de un diálogo razonado. El libro fue prohibido por el Papa, y fue condenado por herejía. Tras abjurar de sus ideas, arrodillado ante los cardenales de la Inquisición, fue condenado a arresto domiciliario.

‘Disertación anatómica sobre el movimiento del corazón’ de William Harvey (1578-1637). La sangre se mueve en circuito cerrado por el cuerpo humano.
‘Disertación anatómica sobre el movimiento del corazón’ de William Harvey (1578-1637). La sangre se mueve en circuito cerrado por el cuerpo humano.

Nacido en Kent, Inglaterra, estudió medicina en Cambridge y completó su formación en la universidad de Padua. Ejerció la medicina en Londres y fue elegido como uno de los médicos del rey Jaime I así como de su sucesor, Carlos I. Entre sus amistades se contaban Francis Bacon y Thomas Hobbes. La publicación de su obra Exercitatio Anatomica de Motu Cordis et Sanguinis in Animalibus (1628) -donde anunció el descubrimiento de la circulación de la sangre en el cuerpo humano- le otorgó un lugar de primer orden en la historia de la ciencia y la medicina. Si bien otros ya habían avanzado respecto a las ideas de Galeno sobre la función y anatomía del corazón, las arterias, venas y pulmones, fue Harvey quien, tras multitud de experimentos cuantitativos, llegó a la conclusión de que el flujo de sangre por el cuerpo se realizaba en un circuito cerrado, donde el papel de bombeo correspondía a un órgano maravilloso, el corazón, que él denominó “sol del microcosmos”.

‘Discurso del método’ de René Descartes (1596-1650). La filosofía, camino hacia la certeza.
‘Discurso del método’ de René Descartes (1596-1650). La filosofía, camino hacia la certeza.

Filósofo, matemático y físico francés, considerado el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, nació en el pueblo francés de La Haye en el seno de una familia de la baja nobleza. Se licenció en derecho por la Universidad de Poitiers y partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado durante un corto periodo de tiempo. Regresó a Francia y vendió sus posesiones para garantizarse una vida independiente. Entre 1619 y 1628 viajó y residió en varias zonas de Europa, en las que estableció contacto con prestigiosos científicos. Después de años de estudio, desarrolló un método universal de razonamiento deductivo basado en las matemáticas, en el que proponía una duda metódica, que sometiese a juicio todos los conocimientos, y que quedó formulada en su obra Discours de la méthode (1637). Su filosofía empezó a ser conocida, lo cual le acarreó amenazas de persecución religiosa. En 1649 se desplazó a Estocolmo, donde murió a consecuencia de una neumonía.

‘Micrografía’ de Robert Hooke (1635-1703). El microscopio como herramienta de investigación.
‘Micrografía’ de Robert Hooke (1635-1703). El microscopio como herramienta de investigación.

Está considerado el científico experimental más importante del siglo XVII. Estudiante en Oxford, su carrera científica despegó como discípulo de Robert Boyle estudiando la relación entre la presión y el volumen de un gas. Participó en la investigación sobre el problema marítimo de la longitud y presentó multitud de experimentos a lo largo de quince años en la Royal Society de Londres, en cuya fundación había participado. En 1665 publicó Micrographia, una de las obras maestras de la ciencia de esta centuria, profusamente ilustrada con detalladísimos dibujos al microscopio, cuyo impacto rivalizó con Sidereus Nuncius de Galileo. Tras el gran incendio de Londres de 1666 fue nombrado, en calidad de arquitecto, uno de los tres supervisores de la reconstrucción de la ciudad. Su sencilla aproximación a la ley de la elasticidad, que lleva su nombre, así como el acercamiento a la ley de la gravitación universal Newton, su gran rival, se sirvió de algunas de las deducciones de Hooke- constituyen otras de sus grandes contribuciones. Fue también inventor de aparatos mecánicos e instrumentos científicos de medida.

‘Principios matemáticos de la filosofía natural’ de Isaac Newton (1642-1727). Una síntesis de la mecánica, para Cielos y Tierra.
‘Principios matemáticos de la filosofía natural’ de Isaac Newton (1642-1727). Una síntesis de la mecánica, para Cielos y Tierra.

La mañana del día de Navidad en Inglaterra, 4 de enero en el resto de Europa, nació un niño prematuro al que los médicos desahuciaron. El abandono de su madre marcó su carácter introvertido, silencioso e irascible que le haría mantener grandes enfrentamientos con científicos de su época. Desde niño aprendió sobre todo de sus lecturas. Alentado por sus tíos ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas; en esta época desarrolló la mayor parte de sus investigaciones. La llegada de la peste negra a Londres y su retiro en el campo lo alejaron momentáneamente de sus obligaciones como profesor, lo que le proporcionó un tiempo de estudio que culminó en 1687 con la publicación de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, obra en la que recoge los principios básicos de la dinámica, enunciando sus tres famosas leyes de la gravitación universal, y explicando con las mismas tanto el movimiento de los planetas según las leyes de Kepler como la caída acelerada de los cuerpos en la Tierra. Así se culminó la gran Revolución que destronó de la cultura la dualidad aristotélica entre cielos y tierra. Fue honrado con funerales de Estado, y sepultado en la Abadía de Westminster.

‘Sistema natural’ de Carlos Linneo (1707-1778). El punto de partida formal de la nomenclatura biológica.
‘Sistema natural’ de Carlos Linneo (1707-1778). El punto de partida formal de la nomenclatura biológica.

Naturalista y médico sueco, la vida de Carl von Linné se enmarca en una época fértil en exploraciones científicas, tanto en Europa como en América: las novedades y descubrimientos en el mundo natural apremiaron a la búsqueda de un sistema para su organización. Si bien estudió medicina, su temprano interés por la botánica –estudiando las montañas escandinavas y Laponia- decantó su trabajo hacia el desarrollo de un innovador sistema de clasificación de los seres vivos: una nueva nomenclatura binomial heredera de la lógica aristotélica que plasmaría en su obra capital, Systema Naturae (1735). Profesor de medicina y botánica en la universidad de Uppsala, su herbario se nutrió de las semillas y plantas enviadas desde remotos lugares del planeta por sus discípulos, muchos de los cuales perecieron en estas misiones. Linneo alcanzó fama mundial a través de sus minuciosas descripciones taxonómicas, principalmente del mundo vegetal.

‘Enciclopedia’ de Denis Diderot (1713-1784)y Jean Le Rond D’Alembert (1717- 1783). Una condensación del saber humano, entre los mayores best sellers de la historia.
‘Enciclopedia’ de Denis Diderot (1713-1784)y Jean Le Rond D’Alembert (1717- 1783). Una condensación del saber humano, entre los mayores best sellers de la historia.

Las vidas del filósofo y escritor Diderot y del científico y pensador D´Alembert, ambos franceses, se cruzaron en París en el año 1746, momento en el que recibieron el encargo del editor Le Breton para trabajar en el proyecto común de Encyclopèdie. El primero, licenciado en artes en la Universidad de París en 1732, procedía de una familia acomodada; destaca en él su amor al trabajo y su honradez, desechó la idea de sus padres de ser religioso y se dedicó a una vida bohemia y centrada en el trabajo. Fue quien se hizo cargo de la dirección en solitario del proyecto enciclopédico cuando D´Alembert abandonó la empresa debido a la continua campaña –contraria al proyecto- de los reaccionarios. Éste destacó por sus trabajos científicos en física y matemáticas, que le llevaron a formar parte de la Académie des Sciences con sólo veinticinco años. Encyclopèdie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, editada entre 1751 y 1772 se convirtió en el símbolo del proyecto de la Ilustración al contener la síntesis de los principales conocimientos de la época pero “ni las vidas de los santos ni la genealogía de las casas nobles, sino la genealogía de las ciencias más valiosas para quienes pueden pensar”.

‘Tratado elemental de química’ de Antoine Lavoisier (1743-1794). La partida de nacimiento de la ciencia química, con la colaboración de su esposa Marie Anne.
‘Tratado elemental de química’ de Antoine Lavoisier (1743-1794). La partida de nacimiento de la ciencia química, con la colaboración de su esposa Marie Anne.

El padre de la química moderna nació en París durante el Siglo de las Luces, recibiendo una exquisita educación en materia científica y humanística. En 1764 se graduó en derecho, aunque él orientaba sus trabajos hacia materias científicas; dos años más tarde obtuvo la medalla de oro de la Académie des Sciences, fue admitido como miembro y la dirigió en 1785. Su más estrecha colaboradora fue su esposa, quien incluso tradujo al inglés los artículos del científico. En 1789, fundó Annales de Chimie. La expansión de sus ideas se vio favorecida con la publicación en 1789 de su obra Traité Élémentaire de Chimie en el que cabe destacar la formulación de un primer enunciado de la ley de la conservación de la materia, el primer enunciado cuantitativo de la ciencia química. Durante el Terror, fue acusado de traición debido a su posición en la Ferme Générale; tras un juicio al uso, un tribunal revolucionario lo condenó a la guillotina. Todos sus bienes fueron confiscados -incluyendo los cuadernos de notas y el laboratorio- pero su mujer logró salvar mucha documentación.

‘Principios de geología’ de Charles Lyell (1797-1875). Una obra clave en la fundación de la geología moderna.
‘Principios de geología’ de Charles Lyell (1797-1875). Una obra clave en la fundación de la geología moderna.

Heredero de una familia de terratenientes escoceses, recibió una amplia educación humanística y científica basada en la lectura, la observación de la naturaleza e innumerables viajes. Desde temprana edad su interés se decantó por la geología, disciplina que Lyell consagraría como una nueva ciencia, sometiéndola a rigurosos razonamientos. Sus observaciones en numerosos viajes le encaminaron a la tesis de que los cambios geológicos ocurridos en el pasado no eran fruto de catástrofes, sino de procesos ordinarios como los que suceden actualmente y que actuaban gradualmente en un periodo de tiempo largo. Esta teoría uniformista la fundamentará a lo largo de los volúmenes profusamente ilustrados de Principles of Geology (1830), cuyo primer tomo Darwin llevó consigo durante su travesía en el Beagle, y que inspiró sus ideas para desarrollar la teoría de la evolución. Lyell, asimismo, animó a Darwin, tras su regreso, a la publicación de The Origin of Species. A su muerte, fue enterrado en la Abadía de Westminster.

‘El origen de las especies’ de Charles Darwin (1809-1882). La teoría que revolucionó la biología: las especies evolucionan por selección natural.
‘El origen de las especies’ de Charles Darwin (1809-1882). La teoría que revolucionó la biología: las especies evolucionan por selección natural.

Nació en Inglaterra en el seno de una familia acomodada, hijo y nieto de prestigiosos médicos. Desde niño dio muestras de interés por la historia natural, en especial por el coleccionismo. Por decisión de su padre estudió medicina, pero prefería cazar y observar la naturaleza. Abandonó los estudios y por recomendación paterna ingresó en el Christ’s College de Cambridge para dedicarse a los estudios eclesiásticos. Allí contactó con el reverendo Henslow, un botánico y entomólogo que le proporcionó la oportunidad de embarcarse con el naturalista Robert Fitzroy en un viaje alrededor del mundo a bordo del Beagle. Cuando regresó, descartó la idea de una vida religiosa, se casó y tuvo diez hijos. Ya estaba convencido de que la selección era la clave del éxito humano en la obtención de mejoras útiles. En 1856 Lyell le aconsejó que trabajara en el completo desarrollo de sus ideas acerca de la evolución de las especies. Emprendió la redacción de su obra On the Origin of Species, que publicaría en 1859 y que supondría toda una revolución en su época. Está sepultado en la Abadía de Westminster.

‘Introducción al estudio de la medicina experimental’ de Claude Bernard (1813-1878). La biblia de la fisiología, la medicina se iguala a las ciencias experimentales.
‘Introducción al estudio de la medicina experimental’ de Claude Bernard (1813-1878). La biblia de la fisiología, la medicina se iguala a las ciencias experimentales.

Científico y fisiólogo francés, nació en una humilde familia de viticultores de Beaujolais, y comenzó trabajando de mancebo en una farmacia. Estudió en la facultad de medicina de París, interesándose más tarde por la biología y la filosofía; tardó en encontrar su verdadera vocación: la experimentación fisiológica. Su métodode investigación se fundamentó en la vivisección animal y en el cuestionamiento de toda teoría o doctrina establecida. Sus descubrimientos sobre el papel del páncreas en la digestión, la función glucogénica del hígado, el sistema nervioso simpático o las sustancias tóxicas y medicinales le condujeron a los más altos reconocimientos en Francia y Europa antes de su muerte, acaecida en 1878 por una enfermedad renal. Introduction à l’étude de la médecine expérimentale (1865), su obra fundamental, desborda el puro ámbito científico incidiendo en el filosófico. Bernard defendió un “racionalismo experimental” por el cual la medicina se constituiría en auténtica ciencia cuando se sustentara sobre el método experimental de la fisiología.

‘Un tratado sobre electricidad y magnetismo’ de James Clerk Maxwell (1831-1879). La síntesis electromagnética, unificación de luz, electricidad y magnetismo.
‘Un tratado sobre electricidad y magnetismo’ de James Clerk Maxwell (1831-1879). La síntesis electromagnética, unificación de luz, electricidad y magnetismo.

Su indiscutible influencia se proyecta hasta nuestros días. El propio Albert Einstein elevó el genio de este físico escocés a la altura de las contribuciones de Isaac Newton. Hijo único de una acomodada familia de clase media, dotado de una gran curiosidad y de extraordinaria inteligencia, presentó su primer artículo científico con solo quince años. Formado en las universidades de Edimburgo y Cambridge, fue en esta última donde sus excepcionales capacidades fueron reconocidas. En 1873 publicó su obra A Treatise on Electricity and Magnetism. Desarrolló las ecuaciones que rigen el comportamiento de las fuerzas eléctricas y magnéticas, llamadas en su honor “ecuaciones de Maxwell”, que sentaron las bases de la electrodinámica y sirvieron de inspiración a teorías posteriores como la relatividad y la cuántica. Dedujo que la luz es en sí misma una onda electromagnética, uno de los hallazgos esenciales de la física. Ocupó la cátedra de Física Experimental de la Universidad de Cambridge, siendo fundador y primer director del célebre Laboratorio Cavendish asociado a dicho puesto.

‘Textura del sistema nervioso del hombre y los vertebrados’ de Santiago Ramón y Cajal (1852-1934). El origen de la neurociencia y obra cumbre de la ciencia española.
‘Textura del sistema nervioso del hombre y los vertebrados’ de Santiago Ramón y Cajal (1852-1934). El origen de la neurociencia y obra cumbre de la ciencia española.

El gran pionero de la exploración del cerebro y el sistema nervioso estudió medicina en la universidad de Zaragoza, especializándose en anatomía. Catedrático en las universidades de Barcelona y Madrid, su trabajo fue reconocido con el Premio Nobel de Fisiología en 1906, junto con Camillo Golgi -cuyo método de tintura mediante cromato de plata, así como el desarrollo industrial de la óptica y la química de colorantes que impulsaron la microscopía, facilitaron la investigación de Cajal de los tejidos nerviosos-. Con la publicación de su obra, capital en la historia de la medicina, Textura del sistema nervioso del hombre y de los vertebrados (1904), estableció los fundamentos citológicos e histológicos de la neurología moderna, así como la estructura y función del sistema nervioso. Dueño de una biblioteca de ocho mil volúmenes, autor literario y pionero de la fotografía, su biografía remite a una inagotable curiosidad intelectual y científica.

‘Tratado de radioactividad’ de Marie Curie (1867-1934). Se desvelan los secretos de los átomos más activos.
‘Tratado de radioactividad’ de Marie Curie (1867-1934). Se desvelan los secretos de los átomos más activos.

Maria Sklodowska, más conocida como Marie Curie, física y química nacida en Varsovia y luego nacionalizada francesa, es una de las figuras científicas más insignes del siglo XX. En 1891 se trasladó a París para estudiar en la Sorbona, y se casó con Pierre Curie cuatro años después. Junto con él, halló dos nuevos elementos químicos, el polonio y el radio, y denominó radiactividad al fenómeno -descubierto por Becquerel- de la extraña emisión de unos rayos invisibles, de gran poder de penetración, por parte de ciertos elementos como el uranio. Obtuvo el Premio Nobel en dos ocasiones: de Física en 1903, compartido con Pierre y con Becquerel, y de Química en 1911. En 1910 había publicado Traité de radioactivité, una recopilación de los nuevosconocimientos, cuatro años después de haber fallecido Pierre. En la I Guerra Mundial auxilió a los aliados instruyendo en el manejo de aparatos de rayos X. Murió de anemia aplásica a los 66 años, posiblemente a causa de la exposición continuada a la radiación. En 1995 sus restos mortales fueron trasladados al Panteón de París, convirtiéndose en la primera mujer en alcanzar este honor.

‘Teoría de la relatividad especial y general’ de Albert Einstein (1879-1955). Un nuevo paradigma del universo.
‘Teoría de la relatividad especial y general’ de Albert Einstein (1879-1955). Un nuevo paradigma del universo.

Nació en Alemania en el seno de una emprendedora familia judía. Se le atribuye un carácter tímido, retraído, paciente y metódico. Aunque incómodo con el sistema escolar, en general sacaba buenas notas, destacando sobre todo en ciencias naturales. En 1905, su año glorioso, en cuatro trabajos publicados en los Annalen der Physik, sentó las bases de la teoría de la relatividad especial y presentaba por primera vez la posibilidad de transformar masa en energía que se expresa con la famosa ecuación E=mc². En 1917 publica su obra Über die spezielle und die allgemeine Relativitästheorie: Gemeinverständlich donde divulga sus ideas sobre la teoría de la relatividad y a ello hace referencia la última palabra del título: Gemeinverständlich (comprensible para todos) . El Premio Nobel de Física le llegó por sus trabajos “sobre el movimiento browniano y su interpretación del efecto fotoeléctrico”, otro de los publicados en 1905. La I Guerra Mundial lo separó de su familia y se manifestó abiertamente antibelicista. Tras el acceso de Hitler al poder se trasladó a Estados Unidos, donde pasó los últimos años de su vida en el Instituto de Estudios Superiores de Princeton, ciudad en la que murió.

‘Principios de mecánica cuántica’ de Paul Dirac (1902-1984). Una nueva dimensión para la física.
‘Principios de mecánica cuántica’ de Paul Dirac (1902-1984). Una nueva dimensión para la física.

Nacido en Bristol, Inglaterra, de carácter introvertido, desde muy joven mostró una sobresaliente capacidad para la ciencia y las matemáticas. Conciso y profundo, se entregó a una presentación técnica precisa y clara -“matemáticamente bella”- de sus trabajos. Realizó la mayor parte de su carrera en Cambridge: solamente diez años después de su llegada a la universidad fue galardonado, junto con Erwin Schrödinger, con el Premio Nobel de Física de 1933 “por el descubrimiento de nuevas teorías atómicas productivas.” Su obra maestra, The principles of quantum mechanics (1930), continúa siendo la referencia de texto sobre la materia. La tecnología actual es en buena medida heredera de estas investigaciones. Su destreza matemática le hizo ganar la cátedra Lucasiana de la universidad de Cambridge que en su día ocupara Newton. Fue uno de los fundadores de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica, siendo considerado por algunos como el físico más relevante del siglo XX.

‘La teoría del gen’ de Thomas Hunt Morgan (1866-1945). El encuentro entre la genética y la evolución.
‘La teoría del gen’ de Thomas Hunt Morgan (1866-1945). El encuentro entre la genética y la evolución.

El biólogo que desarrolló la teoría de los genes nació en Lexington (Kentucky). Desde niño mostró gran interés en la historia natural, y pasó varios veranos realizando trabajos de biología y geología en las montañas. Tras doctorarse en la Universidad John Hopkins en 1890 comenzó a estudiar el desarrollo embrionario de la mosca de la fruta (Drosophila melanogaster), que luego se convertiría en el objeto preferido para sus investigaciones en genética. En 1894 fue profesor de biología en Pennsylvania y diez años más tarde profesor de zoología experimental en Nueva York, donde continuó trabajando –junto a sus alumnos- sobre la herencia mendeliana. En 1910 descubrió que algunos caracteres se heredan ligados al sexo. Fruto de sus investigaciones escribió su obra The theory of the gene (1926). Desde 1928 hasta su muerte dirigió los laboratorios de ciencias biológicas en el Instituto de Tecnología de California. En 1933 recibió el Premio Nobel de Fisiología y Medicina por la demostración de que los cromosomas son los portadores de los genes, lo que ayudó a convertir la biología en una ciencia experimental.

Tercer Problema de Apolonio

Solución al Tercer problema de Apolonio. Cso tres rectas secantes dos a dos.
Solución al Tercer problema de Apolonio. Caso tres rectas secantes dos a dos.

En esta entrada presento un breve apunte geométrico del Tercer problema de Apolonio, sigue de la entrada anterior.

En este tercer problema se resuelve el caso de tangencia entre una circunferencia y tres rectas dadas, se generan tres situaciones distintas, dependiendo de la posición relativa de las rectas. Cuatro soluciones para el caso en que las rectas son secantes dos a dos, dos soluciones para el caso que dos de las rectas san paralelas y la otra secante a ambas y no ha y solución para el caso de las tres rectas paralelas.

El clip es una presentación PowerPoint pasada a vídeo, recomendable ver en HD a pantalla completa.

Los Problemas de Apolonio (1 y 2); Tangencias: Apolonio de Perga

En recuerdo de Edmond Halley, el gran  admirador de la obra de Apolonio, en el año del acercamiento de su cometa.

D. Miguel de Guzmán; Insigne Matemático Español.

Así dedicaba el inolvidable y egregio profesor D. Miguel de Guzmán un artículo sobre Apolonio escrito en 1986. Sirva esta entrada como mi humilde tributo a D. Miguel de Guzmán, quien glosaba la figura de éste irrepetible geómetra, en los términos que siguen: (Tomo literal de su artículo)
“De los tres grandes matemáticos del helenismo, Euclides, Arquímedes y Apolonio, este último ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. Aunque del personaje Euclides no sabemos casi nada, su obra fue pronto el paradigma de la sistematización del saber matemático, la obra de los fundamentos, y conservó este halo por siempre. Arquímedes, por su genio polifacético y por las leyendas creadas alrededor de su persona, coronadas con la historia de su muerte, es sin duda, de entre los tres, la figura más conocida universalmente”.

Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia.

Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710.

La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía).

Ágora en Perga, actual Antalya es una ciudad situada en la costa mediterránea del suroeste de Turquía.

Estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio».

Cónicas de Apolonio

La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado El Geómetra en la Antigüedad. Sobre porciones más o menos extensas de su obra escribieron comentarios Pappus (IV d.de C.) Serenus Antissensis (IV), Hyppathia (V), Eutoquio (VI), Abalphat de Ispahan (X), Abdomelek de Chiraz (XIII),…

Secciones Cónicas

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente por vía de la matemática árabe. Vitelio, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de óptica, que en el fondo es un comentario al tratado de óptica del árabe Al-Hazen, que residió en la península ibérica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas proposiciones geométricas de Apolonio.

Siendo “Las cónicas” su obra más conocida, Apolonio escribió unas cuantas obras más que se difundieron bastante en su entorno, una buena parte relativa a geometría, otras a campos de la física donde sus profundos conocimientos geométricos más pudieron aportar, como es el caso del estudio de la reflexión sobre espejos curvos, otras de astronomía, campo este en el que Apolonio ejerció una notable influencia, viniendo citado explícitamente por Tolomeo, autor del Almagesto (ca.140 d.de C.) como responsable de un importante teorema en la teoría de epiciclos. Pero parece cierto que las otras obras matemáticas de las que nos han llegado noticias fueron de interés más bien puntual, a juzgar por el tipo de problemas que trataban. He aquí una descripción sucinta de  dos de ellas: Sobre la sección de la razón (logou apotomh) y Tangencias.

La única obra, aparte de las Cónicas, que ha sobrevivido hasta nosotros, tiene por título Sobre la sección de la razón (logou apotomh) que fue conservada en árabe y traducida por Halley al latín en 1706. Halley había hecho el esfuerzo de aprender árabe a fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio.

La obra que en esta entrada tratamos es “Las tangencias”.

La obra titulada Tangencias,  se hizo especialmente famosa a lo largo de la historia por contener lo que se vino a llamar el Problema de Apolonio.

Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, se pide hallar una circunferencia que sea tangente a ellos (pase por ellos en el caso de puntos). El caso más complicado, dadas tres circunferencias hallar otra tangente a las tres, es el mencionado problema de Apolonio. No conociéndose exactamente la solución de Apolonio, esta cuestión interesó vivamente a muchos matemáticos famosos, entre ellos Vieta, Descartes, Newton, Euler, Poncelet,…

Conocemos como “problemas de Apolonio”, al siguiente problema de tangencias:

Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, punto, recta o circunferencia, construir la/las  circunferencias que sean tangentes a los tres (en el caso de puntos, que pase por ellos).

Llamaremos

P:  que pase por un punto.

R:  que sea tangente a una recta.

C:  que sea tangente a una circunferencia.

Se obtienen los siguientes 10  casos:

1.- PPP    Construir una circunferencia que pase por tres puntos dados.

2.- PPR    Dados dos puntos y una recta, construir la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

3.- RRR    Construir una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

4.- PPC    Dados dos puntos y una circunferencia, hallar la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la circunferencia.

5.- PRR    Dado un punto y dos rectas, construir la circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos rectas.

6.- PRC   Dado un punto, una recta, y una circunferencia, hallar la circunferencia que sea tangente a la recta y circunferencia dadas y pase por el punto.

7.- PCC   Hallar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias dadas y pase por un punto.

8.- RRC   Construir la circunferencia que sea tangente a dos rectas y una circunferencia dadas.

9.- RCC   Construir una circunferencia tangente a otras dos circunferencias y una recta.

10.- CCC Construir una circunferencia que sea tangente a tres circunferencias dadas.

Solución al problema 10 (CCC) de Apolonio.

Se habla a veces, del Problema de Apolonio, suele referirse en este caso al ultimo de los enunciados, esto es, construir una circunferencia tangente a otras tres circunferencias dadas. Este es el más complicado de los 10 anteriores, y del que no se conoce la solución que dio el propio Apolonio.

En esta entrada damos solución gráfica a los dos primeros problemas de Apolonio, siendo ésta una de una serie en construcción donde se tratará la solución de los diez problemas propuestos por Apolonio en su “Tangencias”.

Ver el vídeo a pantalla completa con 720p HD, es una opción.