Teselas de La Alhambra: Teselaciones Periódicas del Plano

Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo,  no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.
Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo, no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.

En la mitología griega las musas (en griego antiguo μοῦσαι mousai) eran, según los escritores más antiguos, las diosas inspiradoras de la música y, según las nociones posteriores, divinidades que presidían los diferentes tipos de poesía, así como las artes y las ciencias.

La palabra griega μoυσα-ης (mousa-es) significa ‘musa’; μουσειoς-α-oν (mouseios-a-on), ‘concerniente a las musas’; μoυσειoν-oυ (mouseion-ou), ‘templo de las musas’, ‘lugar donde residen las musas’.

Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.
Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.

La palabra μoυσειoν (mouseion) dio origen al latín musivus -a -um, que es el antecedente de mosaico. Se dice que los romanos consideraban tan exquisito el arte de hacer mosaicos que pensaban que solo podían crearlo las musas o los favorecidos por ellas.

Un mosaico (del latín mosaĭcum [opus], ‘[obra] relativa a las Musas, artística’) es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.

Suelo de la Domus Augustana
Suelo de la Domus Augustana

Teselas

La tesela es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες.

Los romanos elaboraban los mosaicos con estas pequeñas piezas llamadas teselas, de ahí que se refiriesen a ellos también como opus o ars tessellatum. Las teselas son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas o materiales de vidrio o cerámicas, muy cuidadas y elaboradas y de distintos tamaños. El artista las disponía sobre la superficie, como un rompecabezas, distribuyendo el color y la forma y aglomerándolas con una masa de conglomerante.

Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.
Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.

En el mundo griego fue muy frecuente y desde muy temprano (desde fines del siglo V a. C.) el pavimento compuesto por guijas de río (piedrecillas que se encuentran en las orillas) de tamaños y de colores distintos. Con estas guijas se hacían dibujos sencillos de temas geométricos. A finales del siglo III a. C., las teselas vinieron a sustituir estos guijarros polícromos.

Los romanos llegaron a dominar el trabajo hecho con las teselas. Las primeras obras se hacían con teselas muy pequeñas y ya en época imperial el tamaño se hizo mayor, de un centímetro cuadrado. El mosaista llamado Sosos de Pérgamo hizo en el mosaico que se conoce con el nombre de Las palomas el trabajo de un gran profesional; este mosaico está compuesto con teselas muy pequeñas: sesenta teselas ocupan el espacio de un centímetro cuadrado.

Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico Villa Romana
Mosaico Villa Romana
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.

Las teselas se colocaban sobre un lecho de conglomerante casi líquido. Era una técnica que puede compararse con el puntillismo de los pintores impresionistas del siglo XIX. Para fabricar un pavimento hecho de mosaico había que seguir una serie de pasos que con el tiempo se fueron perfeccionando. El lugar de fabricación era un taller especial. Allí lo primero que se hacía era diseñar el cuadro y este trabajo tomaba el nombre de emblema, voz tomada del griego que viene a significar “algo que se incrusta en”.

Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.
Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.

Significado y Sinónimos

Tesela: Pieza de los dibujos de un mosaico.

El concepto de teselación no forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE). El término que sí aparece es teselado, referido a aquello que se compone de teselas. Las teselas, a su vez, son los distintos fragmentos que forman parte de un mosaico (obra que se compone a partir de diferentes piezas o trozos).

Teselación: cubrir con teselas pavimentos, bóvedas,… cualquier superficie plana.

Sinónimos: Teselar, azulejar, alicatar, enlosar, embaldosar, solar, adoquinar, empedrar, pavimentar,…

Definición:

Una teselación (mosaico) del plano es una colección de regiones (Teselas, compactos con interior no vacío) llamadas “teselas” tales que:

  • Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.
  • La unión de las teselas cubre totalmente el plano.

Tipos de Teselaciones:

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Un poco de Historia

En 1936 Alan Turing demostró la existencia de problemas o situaciones para los que no existen algoritmos finitos; entre estos problemas, que engrosaron los indecidibles de Gödel, se encuentran algunas cuestiones que plantean las teselaciones Aperiódicas o  No Periódicas. Más recientemente se ha sumado a éstos “indecidibles”, el problema de si las ecuaciones diofánticas, -Sistemas de ecuaciones polinómicas de coeficientes enteros con soluciones enteras- poseen o no tales soluciones. En estos momentos no existe ningún argumento matemático fiable que avale tal cuestión.

Sin embargo, el ambiente geométrico en el que se desarrollan las teselaciones del plano y del espacio están gobernadas por este tipo de ecuaciones y gran número de ellas se encuentran determinadas de forma precisa.

Una teselación se denomina “periódica” si existe una sección finita de la teselación (que puede estar formada por varias teselas) que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas (sin recurrir a giros o reflexiones), crear la teselación completa.

Una teselación es “aperiódica” o no periódica cuando no tiene traslaciones que hagan que coincida consigo misma.

Teselaciones periódicas: Teselaciones poligonales

Si nos planteamos un método eficaz con el que poder construir mosaicos fácilmente nos encontraremos con que un modo sencillo de hacerlo es usando distintos polígonos. No tenemos más que pensar en las típicas baldosas que ocupan los espacios de nuestras cocinas o los suelos. Si el mosaico está formado por un único tipo de polígonos regulares iguales se dice que el mosaico o la teselación es regular y, si está formado por más de un tipo de polígono regular se dice que es semi-regular. Si los polígonos son irregulares, decimos que la teselación es irregular.

Teselaciones Regulares.

Un primer planteamiento en el estudio de cómo teselar periódicamente el plano, sería el de la utilización de teselas poligonales. Diseños con este tipo de teselas aparecen en motivos  ornamentales de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe…). Los mosaicos poligonales planos han sido detalladamente estudiados.

El primer paso, consiste en emplear un único polígono regular.

Encontrar los polígonos regulares que teselan el plano, se reduce a resolver la siguiente ecuación diofántica:

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Siendo x1 el número de polígonos y x2 el número de lados que concurren en un vértice. Las soluciones que se obtienen para esta ecuación son:

X1=6; x2=3, es decir, seis triángulos.

Tese tri

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Nota: Para teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º. (Entendemos 360º por Plano)

Una segunda solución es: X1=4; x2=4, es decir, cuatro cuadrados. Para que un cuadrado tesele el plano será necesario que concurran 4 figuras en un mismo vértice, pues: 360º : 90º = 4

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Por último, una tercera solución es la que viene dada por: X1=3; x2=6, es decir, tres hexágonos.

Como en las figuras anteriores podemos deducir que necesitamos que concurran 3 hexágonos en un vértice para teselar el plano, ya que:  360º/120º=3

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Paseo de Gracia (Gaudí)
Paseo de Gracia (Gaudí)

Vemos que el plano no se puede recubrir con pentágonos regulares puesto que 360º no es divisible por 108º que es la medida de un ángulo interior de un pentágono: 360º = 3 · 108º + 36º.

Tesa pent

En general, tal como se ha mencionado anteriormente, para poder teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º (identificamos el plano con 360º) para que no queden huecos y poder ocupar todo el espacio del mosaico.

El siguiente paso sería plantear teselaciones con más de un polígono regular, a este nuevo tipo de teselaciones les llamamos semi-regulares.

Teselaciones Semi-regulares

 Una Teselación semi-regular consiste en una pavimentación del plano con un mosaico d polígonos regulares de vértices comunes y arbitrario número de lados; conocer el número posible de ellas, se reduce a resolver la ecuación:

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Donde mi es el número de polígonos de xi lados que concurren en un vértice.

Para el caso de sólo dos tipos de polígonos, la ecuación anterior adquiere la forma:

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Que posee el siguiente conjunto de soluciones (Seis):

  • m1=3, m2=2; x1=3, x2=4: Tres triángulos y dos cuadrados.

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  • m1=2, m2=2; x1=3, x2=6: Dos triángulos y dos hexágonos.

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  • m1=4, m2=1; x1=3, x2=6: Cuatro triángulos y un hexágono.

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  • m1=1, m2=2; x1=3, x2=12: Un triángulo y Dos dodecágonos.

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  • m1=1, m2=2; x1=4, x2=8; Un cuadrado y dos octógonos.

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  • m1=2, m2=1; x1=5, x2=10; Dos pentágonos y un decágono.

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Para el caso de tres polígonos se incorporan dos soluciones más:

  • Un triángulo dos cuadrados y un Hexágono

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  • Un cuadrado, un hexágono y un dodecágono:

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mosaicos

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Teselaciones Demi-Regulares

Una teselación demi-regular, también llamada una teselación polimorfa, es un tipo de teselación cuya definición es un tanto problemática. Algunos autores las definen como composiciones ordenadas de las tres regulares y las ocho teselaciones semirregulares, mientras que otros los definen como un mosaico que tiene más de una clase transitividad de vértices (que conduce a un número infinito de posibles teselados).

El número de mosaicos demi-regular comúnmente se da como 14 (Critchlow 1970; Ghyka 1977;  Williams 1979; Steinhaus 1999). Sin embargo, no todas las fuentes aparentemente dan el mismo resultado. Por lo tanto, es necesario tener precaución al tratar de determinar qué se entiende por “teselación demi-regular.”

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Los 20 teselados de la ilustración anterior fueron descubiertos por primera vez, por Krötenheerdt en 1969; Grünbaum y Shephard en 1986 estructurarían estos teselados con más precisión.

Cuando sólo usamos los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Algunos de ellos son:

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Más tamaños   Branco e Azul   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Teselaciones Irregulares

 Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselen el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.

Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo, para tal efecto veamos dos ejemplos de la distribución del pentágono:

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Teselación de El Cairo

Hay algunos polígonos especiales que dan lugar a mosaicos muy vistosos como el Mosaico del Cairo, que recibe su nombre por estar presente con frecuencia en los pavimentos de esa  ciudad egipcia y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre.

El pentágono posee aquí 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°

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Ver clip

La Teselación pentagonal de El Cairo, puede considerarse también hexagonal.

Pavimento en El Cairo
Pavimento en El Cairo

Los teselados de la Alhambra y Escher

Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.

Siempre había sido un enigma saber cuántas formas había para rellenar el plano con las teselas al estilo de la Alhambra. Se conocía como el problema del teselado o del friso. Había conjeturas pero no fue hasta 1910 que Ludwig Bieberbach primero demostró que el número de formas de solucionarlo era finito y posteriormente que solo había diecisiete formas simples de hacerlo.

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Lacerías en la Alhambra

Existen en la naturaleza diecisiete grupos cristalográficos planos, que se corresponde con el problema de las teselas. Pero un tema curioso es que hasta hace muy poco tan solo se habían identificado trece de ellos. Recientemente han aparecido los cuatro que faltaban.

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En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás  no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas(teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

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El arte desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana.

Más tamaños   Decoración Geométrica   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.

La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos  cristalográficos planos.

Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.
Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.

Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Las cinco Teselas que más se repiten en los mosaicos de La Alhambra se llaman “el hueso”, “el pez volador”, ”el avión” , “la pajarita”, “el pétalo” y aunque no es propiamente una tesela “el sello de Salomón” es de las ornamentaciones más frecuentes.

Sello de Salomón
Sello de Salomón
El Avión (Construcción)
El Avión (Construcción)

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El Avión o El Sombrero (Construcción)
El Avión o El Sombrero (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El Hueso (Construcción)
El Hueso (Construcción)
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Escher en relieve

ver clip

Todo lo relatado en este artículo se refiere a teselaciones periódicas del plano. En una próxima entrada sobre teselaciones, completaremos el tema tratando las Teselaciones NO periódicas. Queda pendiente.

Variaciones (2)

Ars Qubica y las teselaciones

Ayer llegó a mis ojos la primicia en Vimeo de “Ars Qubica”, la última creación del admirado y genial infógrafo aragonés Cristóbal Vila, un espléndido trabajo sobre el “arte” de la teselación; en él podemos recrearnos en las formas geométricas de conocidos monumentos como la fachada mudéjar de la Seo de Zaragoza o las baldosas hexagonales de Gaudí que pavimentan el suelo del Paseo de Gracia en Barcelona. Una maravillosa obra de divulgación que como en otros trabajos de este genial diseñador (véase Inspirations o Nature by number) buscan mejorar la percepción de las matemáticas en la sociedad. Penrosetilingp1 Ars Qubica busca que las matemáticas conecten con cualquier persona a través del arte y por supuesto que lo consigue. En otra ocasión estudiaremos en este blog con detalle el inagotable mundo de las teselaciones periódicas como las del genial Escher o aperiódicas como las de Penrose, pero ahora se impone disfrutar de este prodigioso vídeo que espero disfruten.

Colección de iluminaciones sobre astronomía matemática y ciencias naturales; Siglo IX.

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Descripción

En esta entrada, presento las iluminaciones que se destacan en el manuscrito de textos sobre astronomía matemática y ciencias naturales que data de comienzos del siglo IX. Las iluminaciones consisten principalmente en contenido astronómico y se basan en los modelos de la Antigüedad tardía. Entre ellas, están las ocupaciones de los 12 meses, las iluminaciones medievales más antiguas de este tipo que sobreviven; un mapa astronómico; las constelaciones; y los 12 vientos. El manuscrito se copió en Salzburgo, al parecer de un ejemplar del norte de Francia, y es probable que haya pertenecido al monasterio benedictino de San Emerano en Ratisbona, Baviera, durante la Edad Media.

Fecha de creación: 818 d. C.; Europa Austria Salzburgo

Idioma: Latín; Tema: Ciencia naturales y matemáticas

Ciencia Astronomía y ciencias afines.

ILUMINACIONES:

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Ritos de Amor y Matemáticas

Rites d’Amour et de Maths es un cortometraje sobre “el amor, la muerte y las matemáticas” que ha sido co-producida, co-dirigida e interpretada por el matemático estadounidense, de origen ruso, Edward Frenkel. Contrariamente a lo que pueda uno imaginarse, Edward Frenkel es un matemático serio, no es un aficionado de las matemáticas, ni alguien que estudió matemáticas pero luego se dedicó a otras cosas. Es un matemático serio, con una investigación potente, con prestigio internacional como matemático y varios premios por su investigación. Frenkel fue el primero en recibir el premio Hermann Weyl en 2002. Y entre otros galardones ha recibido también el Packard Fellowship in Science and Engineering y el Chaire d’Excellence from Fondation Sciences Mathématiques de Paris.

Edward Frenkel nació en Rusia en 1968, y su investigación, como matemático, se centra en la teoría de representaciones, la geometría algebraica y la física matemática. Realizó su doctorado en la Universidad de Harvard, donde también fue profesor, aunque desde 1997 trabaja en la Universidad de California en Berkeley. Ha escrito dos libros y una cantidad importante de artículos sobre su investigación, ha impartido conferencias, ha dirigido 5 tesis doctorales y toda una serie de actividades de investigación.

La película se basa en un cuento del propio Mishima y se creía perdida hasta que hace poco los negativos aparecieron en el desván de su casa. La historia se inspira en la insurrección, en 1936, de veintiún oficiales contra el gobierno que ellos consideraban traidor. El propósito de la insurrección fracasó y dos oficiales se suicidaron, los demás fueron ejecutados (como efectivamente sucede en la historia real, en 1936).

Primero os propongo un Tryler de la película y luego la película completa en la que se inspira.

Original:

http://video.google.es/videoplay?docid=3698925898723543158&hl=es

Eclipses: Breve descripción

Eclipse solar anular; Jakarta 26 de Enero de 2009
—El eclipse (del griego Έκλειψις (Ekleipsis), que quiere decir ‘desaparición’, ‘abandono’) es un suceso en el que la luz procedente de un cuerpo celeste es bloqueada por otro, normalmente llamado ”cuerpo eclipsante”.
—Normalmente se habla de eclipses del Sol y de la Luna, que ocurren solamente cuando el Sol y la Luna se alinean con la Tierra de una manera determinada. Esto ocurre durante algunas Lunas nuevas y Lunas llenas.
India, eclipse.
Eclipses solares (Tipos)

Parcial: la Luna no cubre por completo el disco solar que aparece como un creciente.

Eclipse parcial

Total: desde una franja (banda de totalidad) en la superficie de la Tierra, la Luna cubre totalmente el Sol. Fuera de la banda de totalidad el eclipse es parcial. Se verá un eclipse total para los observadores situados en la Tierra que se encuentren dentro del cono de sombra lunar, cuyo diámetro máximo sobre la superficie de nuestro planeta no superará los 270 km.

Gran parte de la corona solar se hace visible cuando la Luna pasa entre el sol y la tierra durante un eclipse solar total, visto por encima de Varanasi, India, miércoles, 22 de julio de 2009.

Anular: ocurre cuando la Luna se encuentra cerca del apogeo y su diámetro angular es menor que el solar, de manera que en la fase máxima, permanece visible un anillo del disco del Sol.

Eclipse anular

Eclipses de Luna

Sucede cuando la Tierra se interpone entre el Sol y la Luna, provocando que esta última entre en el cono de sombra de la Tierra y en consecuencia se oscurezca. Para que el eclipse ocurra los tres cuerpos celestes, la Tierra, el Sol y la Luna, deben estar exactamente alineados o muy cerca de estarlo, de tal modo que la Tierra bloquee los rayos solares que llegan al satélite. Es por esto que los eclipses lunares sólo pueden ocurrir en la fase de luna llena.

Eclipse de Luna

A diferencia de los eclipses solares, que pueden ser vistos solo desde una, relativamente, pequeña parte de la Tierra, un eclipse lunar puede ser visto desde cualquier parte de la Tierra en la que sea de noche. Además, los eclipses lunares duran varias horas, mientras que los solares solo se prolongan por unos minutos.

Vídeo: Eclipses

por: C.R. Ipiéns

Verano 2012

Una representación moderna del mundo, hecha por Philippus Eckebrecht

El Mundo por Philippus Eckebrecht (click para ampliar)

Aunque tiene fecha de 1630, esta «imagen moderna del mundo», de Philippus Eckebrecht parece ser una reimpresión posterior. Está dedicada a Leopoldo I, emperador del Sacro Imperio Romano, que llegó al trono en 1658. El mapa se creó originalmente a instancias del astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) para reflejar su nuevo cálculo de longitud y latitud sobre la base de la observación planetaria. Las tablas astronómicas de Kepler, publicadas por primera vez en 1627, fueron mucho más precisas que cualquier tabla anterior. El diseño del mapa, enmarcado por el águila de dos cabezas del Sacro Imperio Romano, refleja la manera en que la ciencia del siglo XVII se utilizaba con fines políticos. El foco del hemisferio central es Europa, que se ubica sobre el cuerpo del águila, mientras que las alas del águila abarcan todo el globo terráqueo. El simbolismo imperial se utilizó en los mapas de la época de los Habsburgo y fue una alusión a las guerras en el oeste con Francia y en el este con el Imperio otomano. El meridiano central atraviesa la isla danesa que albergó el observatorio del mentor de Kepler, el astrónomo Tycho Brahe, del siglo XVI. Cuando Kepler sucedió a Brahe como matemático imperial en Praga bajo el reinado de Rodolfo II, se basó en los datos de Brahe para finalizar sus propios cálculos, conocidos como las Tablas Rudolfinas.

El libro de las estrellas fijas de ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi. Colección de imágenes.

Colección de imágenes de El libro de las estrellas fijas de ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi.

El astrónomo ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi, conocido comúnmente como al-Sufi, nació en Persia (actual Irán) en 903 d.C. y murió en 986. Trabajó en Isfahán y en Bagdad, y es conocido por su traducción del griego al árabe de Almagest del antiguo astrónomo Ptolomeo. La obra más famosa de Al-Sufi es Kitab suwar al-kawakib (Libro de las constelaciones de las estrellas fijas), que publicó alrededor del 964. En este trabajo, al-Sufi describe las 48 constelaciones establecidas por Ptolomeo y añade críticas y correcciones propias.

Para cada una de las constelaciones, ofrece los nombres indígenas árabes para sus estrellas, los dibujos de las constelaciones y un cuadro de estrellas que muestra su localización y magnitud. El texto tiene descripciones y cuadros de una pequeña nube, en realidad la galaxia de Andrómeda. La menciona delante de la boca de un Gran Pez, una constelación árabe. Parece que esta nube era comúnmente conocida entre los astrónomos de Isfahán muy probablemente antes del año 905.

Posiblemente también está catalogado, como una estrella nebulosa, el cúmulo estelar de Ómicron Velorum, así como un objeto nebuloso adicional en Vulpecula, un asterismo hoy conocido como Cúmulo de Al Sufi, Cúmulo de Brocchi o Collinder 399. Además, se menciona la Gran Nube de Magallanes como Al Bakr, el Buey Blanco de los árabes del sur, ya que esta galaxia es visible desde el sur de Arabia, aunque no desde latitudes más septentrionales.

El libro de Al-Sufi estimuló aún más trabajo sobre astronomía en el mundo árabe e islámico y ejerció una enorme influencia en el desarrollo de la ciencia en Europa. El trabajo fue copiado y traducido con frecuencia. Esta copia, de las colecciones de la Biblioteca del Congreso, se produjo en algún lugar de Asia central o sur, hacia 1730, y es una copia exacta de un manuscrito, hoy perdido, preparado para Ulug Beg de Samarcanda (actual Uzbekistán) en 1417 [820 AH]. La Biblioteca Nacional de Francia tiene un manuscrito de Kitab suwar al-kawakib que fue preparado para Ulug Beg en 1436.

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Vídeo: El libro de las estrellas fijas, de Al-Sufi

Por: C.R. Ipiéns

Andrómeda: Mito, Astronomía y Arte.

Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.

Andrómeda:  El mito.

El mito de la desafortunada reina Casiopea, esposa del rey Cefeo de Jope, se centra en la historia de su hija Andrómeda. Tanto Casiopea como su hija eran muy bellas. Sin embargo, la reina cometió un pecado de orgullo al asegurar que ambas eran más bellas que las ninfas del mar, las Nereidas. Éstas eran las 50 hermosas y bondadosas hijas de Nereo, el viejo sabio del mar. Ofendidas por las afirmaciones de Casiopea, las ninfas fueron a quejarse de ello a Poseidón, su protector y dios de los mares. Iracundo, Poseidón agitó las aguas con su tridente inundando las tierras de la costa de Palestina, y llamó al monstruo marino Cetus para que acudiera desde las profundidades. Cefeo consultó al oráculo de Amón para saber cómo podría guardar su reino, y le contestó que sus dominios sólo podrían salvarse de las acometidas del monstruo si sacrificaba a su hija Andrómeda a Cetus. Era imposible hacer frente a la presión del pueblo y, de acuerdo con la decisión tomada en el oráculo, Andrómeda fue encadenada a las rocas en las costas de Jope.

Cuando Cetus se acercó a Andrómeda, Perseo entró en la escena trágica.

Mientras Andrómeda yacía encadenada e indefensa en las rocas, Perseo se acercó volando cuando regresaba de su misión de matar a la Gorgona Medusa. Algunos dicen que llevaba las sandalias aladas que había recibido de Atenea, la diosa del intelecto y delos héroes. Sin embargo, según otras versiones, Perseo montaba a Pegado, el caballo alado. Cuando se acercaba a las rocas, Perseo quedó cautivado de la belleza virginal de Andrómeda, y se ofreció a luchar contra Cetus el monstruo marino a cambio de la mano de la virgen. Confundiendo a Cetus con el reflejo de su sombra en la superficie marina, Perseo dio muerte al monstruo y rescató a Andrómeda y así Perseo obtuvo la mano de Andrómeda en matrimonio. Cuando se celebraba el matrimonio de ambos hizo su aparición Fineo, un celoso antiguo pretendiente de Andrómeda, conjurado con Casiopea que lanzó a doscientos guerreros contra la feliz pareja. Perseo, al verse acosado, sacó la cabeza de la medusa de su zurrón y petrificó a todos los asaltantes.

Pero tras el mito griego que acabamos de enmarcar, Andrómeda cuenta con un origen más oscuro y complejo. Una pista de ello está en el nombre de Andrómeda, que significa “gobernadora de los hombres”: tal como cuenta el poeta latino Malino (siglo I d.C.), “el vencedor de la medusa fue vencido ante la mirada de Andrómeda”. Quizá no sea una figura tan pasiva e inocente, y está mucho más cerca de la diosa Afrodita como representante del deseo femenino. Éste es el desarrollo de la leyenda de Andrómeda a partir de sus raíces mesopotámicas. En tiempos antiguos esta constelación se había dedicado a Astarté (conocida con el nombre de Isthar por los babilonios), la diosa egipcia del amor y de la guerra. Astarté cuya iconografía la representa como diosa marina con una gran voracidad sexual, fue venerada en varios templos situados en las antiguas tierras de Palestina. Las mismas tierras donde se intentó sacrificar a Andrómeda. Andrómeda como su madre Casiopea y el propio Perseo fueron puestos en una región del cielo, Andrómeda conforma lo que llamamos la Constelación de Andrómeda.

Tercera ilustración de una serie de tres mapas ilustrados con las estrellas catalogadas de la época, por: Alexander Jamieson. Año 1822. United States Naval Observatory Library.
Tercera ilustración de una serie de tres mapas ilustrados con las estrellas catalogadas de la época, por: Alexander Jamieson. Año 1822. United States Naval Observatory Library.

Nota importante:

No debemos confundir el término Constelación con el de Galaxia:

  • Una galaxia es un conjunto de varias estrellas, nubes de gas, planetas, polvo cósmico, materia oscura, y quizá energía oscura, unido gravitatoriamente. Resumiendo, puede decirse que una galaxia es una colección de estrellas mantenidas juntas por su mutua atracción. En otras palabras, todas las estrellas en una galaxia se mantienen unidas por la gravedad de todas las otras estrellas (así como la invisible y misteriosa materia oscura). Existen atendiendo a su forma distintos tipos de galaxias:

Galaxias Elípticas

Llamadas así porque tienen una forma elipsoidal (o de huevo) y una apariencia suave, casi sin rasgos distintivos.

Las galaxias elípticas son generalmente grandes, con cientos de millones a trillones de estrellas. Las mayores galaxias en el universo son las galaxias elípticas. Son el resultado de muchas colisiones entre galaxias más pequeñas, y todas estas colisiones han destruido la delicada estructura espiral que vemos en nuestra propia galaxia.

Generalmente son viejas. Las galaxias elípticas se ven más rojas que las galaxias espirales como la Vía Láctea. Eso es debido a que contienen viejas estrellas rojas y tienen tasas muy bajas de formación de estrellas. Todo el gas y polvo disponible se ha gastado ya en el pasado, y ahora todo lo que queda son estas viejas estrellas rojas. También tienen grandes poblaciones de cúmulos globulares de estrellas.

Las galaxias elípticas generalmente se encuentran en los lugares más violentos del universo, tales como el corazón de los cúmulos de galaxias y en grupos compactos de galaxias. En estos lugares, las galaxias elípticas han tenido una vida acelerada, con muchas fusiones de galaxias y varios períodos de formación de estrellas. Estas constantes fusiones y colisiones aumentan su tamaño y gasta todo el gas disponible para la formación de estrellas.

La más pequeña enana de las galaxias elípticas no es más grande que un cúmulo globular y puede contener solamente 10 millones de estrellas. Las mayores galaxias elípticas pueden tener más de 10 trillones de estrellas. La galaxia más grande conocida en el universo, M87, es una galaxia elíptica.

Messier 87 Hubble.(M87)
Messier 87 Hubble. (M87)

Galaxias Espirales

Cuando se piensa en una galaxia, generalmente se piensa en una galaxia espiral. Ya sabes, con su protuberancia central y sus envolventes brazos en espiral desde el centro hacia fuera. De hecho, nuestra propia Vía Láctea es una galaxia espiral, y hay muchas otras en todo el universo. Pero ¿ha pensado alguna vez en cómo se producen esas hermosas formas?

Una galaxia espiral tiene la forma de un disco plano con un abultamiento más grueso en el centro. Brillantes brazos espirales que iniciándose desde el centro  se enrollan hacia el exterior como un molinillo. Todas las galaxias en espiral giran, pero muy lentamente; nuestra propia Vía Láctea completa una sola revolución una vez cada 250 millones de años aproximadamente.

Los brazos espirales son en realidad las ondas de densidad que se mueven alrededor del disco de la galaxia espiral. Como la onda de densidad pasa a través de una región, las masas se reúnen, y se obtienen brillantes focos de formación de estrellas. A continuación, la onda de densidad se mueve, y estimula a otra región para comenzar la formación de estrellas.

La protuberancia central, en el centro de una galaxia espiral contiene estrellas viejas, similar a una galaxia elíptica. Y en el centro mismo, siempre hay un agujero negro supermasivo que posee millones de veces la masa del Sol.

Las galaxias espirales también están rodeadas de un vasto halo esferoidal de estrellas. Estas estrellas podrían no haberse formado en la galaxia, sino que fueron robadas a través de sucesivas fusiones con otras galaxias. Este halo galáctico también contiene muchos cúmulos globulares de estrellas.

Los astrónomos piensan que las galaxias en espiral han sido lentamente construidas en el transcurso del tiempo a través de la fusión de galaxias más pequeñas. Al reunirse estas pequeñas galaxias, el total de su impulso conjunto hace que la galaxia fusionada gire. Esta rotación aplana hacia afuera la galaxia y establece los brazos espirales en movimiento.

Nuestra galaxia, la Vía Láctea, es espiral, con una clasificación en la secuencia de Hubble Sbc (posiblemente SBbc; ver galaxia espiral barrada).

Panorámica nocturna de la Vía Láctea vista desde la plataforma de Paranal, Chile, hogar del telescopio gigante del ESO.
Panorámica nocturna de la Vía Láctea vista desde la plataforma de Paranal, Chile, hogar del telescopio gigante del ESO.
Recreación artística hecha por la NASA de la Vía Láctea.
Recreación artística hecha por la NASA de la Vía Láctea.
Mapa de la Vía Láctea
Mapa de la Vía Láctea

Galaxias Lenticulares

Una galaxia lenticular es un tipo de galaxia intermedia entre una galaxia elíptica y una galaxia espiral que en la Secuencia de Hubble se clasifica como S0. Las galaxias lenticulares son con forma de disco, (al igual que las galaxias espirales) que han consumido o perdido gran parte o toda su materia interestelar (como las galaxias elípticas), y por tanto carecen de brazos espirales, aunque a veces existe cierta cantidad de materia interestelar, sobre todo polvo. Constituyen solo el 3% de las galaxias del universo.

La Galaxia del Sombrero (también conocida como Objeto Messier 104, Messier 104, o NGC 4594), es una galaxia lenticular de la constelación de Virgo a una distancia de 28 millones de años luz. Fue descubierta por Pierre Méchain en 1781. Tiene un núcleo grande y brillante, una inusual protuberancia central, y una destacada banda de polvo en el disco galáctico. Desde la Tierra, es vista de canto, lo que le proporciona una apariencia de sombrero sobre un quinto del diámetro de la Luna llena.
La Galaxia del Sombrero (también conocida como Objeto Messier 104, Messier 104, o NGC 4594), es una galaxia lenticular de la constelación de Virgo a una distancia de 28 millones de años luz. Fue descubierta por Pierre Méchain en 1781. Tiene un núcleo grande y brillante, una inusual protuberancia central, y una destacada banda de polvo en el disco galáctico. Desde la Tierra, es vista de canto, lo que le proporciona una apariencia de sombrero sobre un quinto del diámetro de la Luna llena.

Galaxias Irregulares

 La mayoría de las galaxias se pueden clasificar según su forma. Nuestra propia Vía Láctea es una galaxia espiral, por ejemplo, y las más grandes galaxias en el universo son las galaxias elípticas. Pero algunas galaxias desafían su catalogación. Estas son las galaxias irregulares, y cada una es única en cuanto a su forma, edad y estructura.

Las galaxias irregulares son a menudo caóticas en su forma, sin ningún abultamiento central ni brazos espirales. A pesar de que solían tener una forma más familiar, en una espectacular colisión con otra galaxia se distorsionó su forma.

Los astrónomos mantienen dos clasificaciones de galaxias irregulares. galaxias Irr-I que tienen alguna estructura, pero aun así son lo suficientemente distorsionadas para que no puedan ser clasificadas como espiral, elípticas o de forma lenticular. Y galaxias Irr-II que no tienen ninguna estructura.

La cercana Nube de Magallanes se ha considerado alguna vez que sea una galaxia irregular. A pesar de que los astrónomos han detectado una débil forma de espiral.

Sólo hay una galaxia irregular en el catálogo de objetos Messier, y es la M82; también conocida como Galaxia del Cigarro. Está ubicada en la constelación de la Osa Mayor a alrededor de 12 millones de años luz de distancia, y es famosa por sus enormes cantidades de estrellas en formación. De hecho, con la luz infrarroja, M82 es la galaxia más brillante en el cielo. Incluso en la luz visible, es 5 veces más brillante que la Vía Láctea.

Galaxia del cigarro (M82)
Galaxia del cigarro (M82)
Otro ejemplo de galaxia lenticular es Centaurus A, que se encuentra en la constelación de Centauro, en el extremo norte de la Vía Láctea. Rodea la Cruz del Sur y es visible solamente en el Hemisferio Sur.
Otro ejemplo de galaxia lenticular es Centaurus A, que se encuentra en la constelación de Centauro, en el extremo norte de la Vía Láctea. Rodea la Cruz del Sur y es visible solamente en el Hemisferio Sur.
  • Constelaciones

Una Constelación es un conjunto de estrellas que, mediante trazos imaginarios e imaginados por el hombre sobre la aparente superficie celeste, forman un dibujo que evoca una determinada figura, como la de un animal, un personaje mitológico, etc.

Una constelación, en astronomía, es un conjunto de estrellas cuya posición en el cielo nocturno es aparentemente invariable. Cada constelación tiene su propia historia y las estrellas que componen la constelación tienen su propio nombre.

Algunas constelaciones fueron ideadas hace muchos siglos por los pueblos que habitaban las regiones del Medio Oriente y el Mediterráneo. Otras, las que están más al sur, recibieron su nombre de los europeos en tiempos más recientes al explorar estos lugares hasta entonces desconocidos por ellos, aunque los pueblos que habitaban las regiones australes ya habían nombrado sus propias constelaciones de acuerdo a sus creencias.

Se acostumbra a separar las constelaciones en dos grupos, dependiendo el hemisferio celeste dónde se encuentren: Constelaciones septentrionales, las ubicadas al norte del ecuador celeste y las Constelaciones australes, al sur.

A partir de 1928, la Unión Astronómica Internacional (UAI) decidió reagrupar oficialmente la esfera celeste en 88 constelaciones con límites precisos, tal que todo punto en el cielo quedara dentro de los límites de una figura. Antes de dicho año, eran reconocidas otras constelaciones menores que luego cayeron en el olvido; muchas, ya no se recuerdan. El trabajo de delimitación definitiva de las constelaciones fue llevado a cabo fundamentalmente por el astrónomo belga Eugène Joseph Delporte y publicado por la UAI en 1930.

Constelaciones antiguas:

Placa tallada en el templo de Hator de Dendera (Egipto), alrededor del 50 AC, que representa las constelaciones zodiacales.
Placa tallada en el templo de Hator de Dendera (Egipto), alrededor del 50 AC, que representa las constelaciones zodiacales.

Ver en este mismo blog, “El cielo egipcio”

Debido al tiempo transcurrido y a la falta de registros históricos, es difícil conocer el origen preciso de las constelaciones más antiguas del mundo occidental. Tal parece que Leo (el león), Taurus (el toro), y Escorpio (el escorpión), existían desde antiguo en la cultura de Mesopotamia, unos 4000 años antes de la era cristiana, aunque no recibían esos nombres necesariamente.

Se cree que el interés de estos antiguos pueblos por la disposición de las estrellas tuvo motivos fundamentalmente prácticos, usualmente con propósitos agrícolas, de viaje y religiosos: como ayuda para medir el tiempo y las estaciones y para servir de orientación a navegantes y mercaderes cuando realizaban travesías durante la noche, ya fuese por mar o por el desierto. Así, imaginando figuras con las cuales relacionar los grupos de estrellas (y creando leyendas e historias de lo que representaban —ver mitología, astrología—) les sería más fácil y seguro recordar las rutas a seguir.

De las 88 constelaciones adoptadas por la UAI, casi la mitad provienen de la imaginación de los astrónomos griegos. Homero menciona a Orión en la Odisea (obra que data del siglo IX a. C.). En el Antiguo Egipto era conocido como Sahu mil años antes. El Zodíaco (Puede verse en este blog El Zodiaco), dividido en doce constelaciones, surgió en Babilonia durante el reinado de Nabucodonosor II siglo VI a. C., vinculado a las doce lunaciones anuales. Lo adoptará la cultura griega, dándole a las constelaciones los actuales nombres.

La compilación exhaustiva de constelaciones más antigua conocida se remonta a Claudio Ptolomeo, quien en el siglo II a. C. presentó un catálogo de 1022 estrellas, agrupadas en 48 constelaciones, en su obra Almagesto (Ver en este mismo Blog Ptolomeo y el Almagesto); la obra fue escrita en griego, con el título Ἡ μεγάλη Σύνταξις (He Megále Síntaxis: ‘el gran tratado’). Dicho trabajo, que será la base de muchos resúmenes astronómicos occidentales posteriores, hasta finales de la Edad Media, sólo incluía las estrellas visibles desde Alejandría, lugar desde donde Ptolomeo llevó a cabo sus observaciones.

Pardies, Ignace Gaston, 1636-1673.
Pardies, Ignace Gaston, 1636-1673.
Abd al-Rahman al-Sufi (903–986)
Abd al-Rahman al-Sufi (903–986)

Puede verse en este Blog, El libro de las estrellas fijas de: ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi.

Lista de las 88 constelaciones actuales, puede encontrarse en el siguiente enlace: Constelaciones .

La constelación de Andrómeda.

Atlas Coelestis. 1776.  John Flamsteed
Atlas Coelestis. 1776. John Flamsteed

La figura encadenada de Andrómeda se ve desde cualquier latitud hasta llegar a los 37ºS. Está situada al este de la constelación que representa a su salvador Perseus, aunque se localiza mejor a partir de la llamativa W de Casiopea, situada al norte. La cabeza de Andrómeda cuya figura parece caer, se superpone a Pegasus a la altura del diafragma del caballo, y la brillante estrella que la forma, Alpheratz, comparte el ángulo nororiental del cuadrado de Pegaso. Esta constelación alcanza su punto de culminación de medianoche en la segunda semana de octubre.

Andrómeda y el Triángulo.
Andrómeda y el Triángulo.
La constelación de Andrómeda, región del cielo contenida en la línea a trazos.
La constelación de Andrómeda, región del cielo contenida en la línea a trazos.

Como elementos más notables de esta constelación, podemos significar las estrellas principales Alpheratz, Mirach y Almach, y la galaxia que lleva el mismo nombre de la constelación: Andrómeda.

La Galaxia de Andrómeda (M31) es una galaxia espiral a aproximadamente 2,5 millones de años luz, en la Constelación de Andrómeda. La imagen también muestra las galaxias elípticas M32 y M110, así como NGC 206 (una brillante nube estelar en la Galaxia de Andrómeda) y la estrella Ni Andromedae.
La Galaxia de Andrómeda (M31) es una galaxia espiral a aproximadamente 2,5 millones de años luz, en la Constelación de Andrómeda. La imagen también muestra las galaxias elípticas M32 y M110, así como NGC 206 (una brillante nube estelar en la Galaxia de Andrómeda) y la estrella Ni Andromedae.

Para ver la mayoría de las galaxias, se necesita al menos un telescopio pequeño. No obstante la enorme galaxia de Andrómeda, o Messier 31, se puede ver a simple vista; si se sabe dónde mirar. La galaxia de Andrómeda se encuentra en la constelación Andrómeda.

Andrómeda es la galaxia más grande en el Grupo Local, que incluye la Vía Láctea, la galaxia Triangulo (Messier 33), y docenas de pequeñas galaxias enanas e irregulares. Una estimación reciente dio a Andrómeda 700 billones de masas solares. Nuestra Vía Láctea es sólo un 80% de la masa de Andrómeda.

La galaxia de Andrómeda fue observada por primera vez por los astrónomos persas, hace miles de años, posteriormente, en 1764 fue catalogada por Charles Messier clasificándola como M31. En el año 1912, los astrónomos calcularon su velocidad en 300 kilómetros por segundo, moviéndose hacia el Sol. Edwin Hubble calculó por primera vez la distancia a Andrómeda, detectando Cepheus variables en la galaxia. Sus medidas dieron 450 kpc (1 kpc = 3.08567758 × 1019 metros), o 2,5 millones de años-luz de distancia; así está en el exterior de la galaxia de la Vía Láctea.

Estimaciones recientes han calculado que la galaxia de Andrómeda es de unos 220.000 años-luz de diámetro, casi el doble de la estimación de diámetro de la Vía Láctea.

Mientras que otras galaxias se están alejando de nosotros, Andrómeda está en curso de colisión con la Vía Láctea. Nuestras dos galaxias colisionarán la una con la otra en aproximadamente 2,5 mil millones de años, comenzándose entonces a formar una galaxia elíptica gigante. Se sabe que tiene 14 galaxias enanas en órbita, en diversas etapas de fusión.

Andrómeda en el Arte.

El mito de Andrómeda como el de Venus, Afrodita, e innumerables ejemplos más, han sido motivo artístico a lo largo de la historia del arte. Aquí presento a modo de colección las distintas representaciones que ha tenido Andrómeda fundamentalmente en la Historia de la Pintura. Pasamos a presentarla.

Rubens, Pedro Pablo; Jordaens, Jacob, Perseo liberando a Andrómeda, 1639 – 1641. Óleo sobre Lienzo. 267 cm x 162 cm. Escuela Flamenca
Rubens, Pedro Pablo; Jordaens, Jacob, Perseo liberando a Andrómeda, 1639 – 1641. Óleo sobre Lienzo. 267 cm x 162 cm. Escuela Flamenca

Andrómeda y Perseo es el último cuadro de Rubens, dejándolo sin acabar al sorprenderle la muerte -mientras lo ejecutaba- el 30 de mayo de 1640. Se pensó en Van Dyck para que continuara con todos los encargos que le había hecho Felipe IV, pero la falta de entendimiento entre el artista y el cardenal-infante Don Fernando motivó que quien acabase la obra fuera Jacob Jordaens, el tercero en discordia de la Edad de Oro del Barroco flamenco.Rubens eligió el momento en que Andrómeda es liberada por Perseo, habiéndose superado el momento de la tensión por la lucha entre el monstruo y el héroe. Andrómeda quiso disputar a las Nereidas el premio de la hermosura y fue atada a una roca donde iba a ser devorada por un monstruo marino cuando fue salvada por Perseo. En la escena se aprecia un cierto aire de temor por la lucha, aunque la felicidad de la pareja inunda la imagen. Los dos amorcillos que aparecen en la parte superior y Pegaso, el caballo alado de Perseo, completan la composición. La bella figura de Andrómeda se recorta sobre un fondo grisáceo; el ritmo gracioso de su cuerpo nos pone de manifiesto el canon estético de Rubens, recogiendo la moda de la época al mostrarnos imágenes de mujeres entradas en carnes, rubias y con poco pecho. La armadura negra de Perseo contrasta con el color nacarado de su futura esposa. Algunos autores piensan que Rubens utilizó como modelo para Andrómeda a su mujer, Hélène Fourment, como también hizo para otras figuras femeninas, como las Tres Gracias.

Peter Paul Rubens (1577–1640). Andrómeda. 1638. Gemäldegalerie, Berlin
Peter Paul Rubens (1577–1640). Andrómeda. 1638. Gemäldegalerie, Berlin
Peter Paul Rubens, 1607.Perseo liberando a Andrómeda. 100 cm × 139 cm. Óleo sobre tabla.
Peter Paul Rubens, 1607.Perseo liberando a Andrómeda. 100 cm × 139 cm. Óleo sobre tabla.
Edward Poynter, 1869. Andrómeda. Óleo sobre lienzo, 49.53 × 33 cm.
Edward Poynter, 1869. Andrómeda. Óleo sobre lienzo, 49.53 × 33 cm.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda encadenada a una roca de Gustave Doré (1832-1883). Óleo sobre lienzo, 172.7 × 256.5 cm. Año 1869.
Andrómeda y Perseo por Pierre Mignard (1612–1695), Año 1679. Óleo sobre lienzo, 150x198cm. Museo del Louvre, París.
Andrómeda y Perseo por Pierre Mignard (1612–1695), Año 1679. Óleo sobre lienzo, 150x198cm. Museo del Louvre, París.
Paolo Veronese (1528–1588). Perseo rescatando a Andromeda, 1576-1578. Óleo sobre lienzo, 260 × 211 cm.Museum of Fine Arts.
Paolo Veronese (1528–1588). Perseo rescatando a Andromeda, 1576-1578. Óleo sobre lienzo, 260 × 211 cm.Museum of Fine Arts.
Giorgio Vasari, Perseus en Andromeda, 1570, Olieverf op paneel, 127x109 cm, Palazzo Vecchio, Florence
Giorgio Vasari, Perseus en Andromeda, 1570, Olieverf op paneel, 127×109 cm, Palazzo Vecchio, Florence
Theodoor van Thulden (1606–1669). Perseus Frees Andromeda. 17th century
Theodoor van Thulden (1606–1669). Perseus Frees Andromeda. 17th century
Charles-André van Loo (1705–1765). Perseo y Andrómeda, entre 1735 y 1740. Óleo sobre lienzo, 73x92cm. Museo Hermitage.
Charles-André van Loo (1705–1765). Perseo y Andrómeda, entre 1735 y 1740. Óleo sobre lienzo, 73x92cm. Museo Hermitage.
Eugène Delacroix (1798–1863). Perseo y Andrómeda.1853.
Eugène Delacroix (1798–1863). Perseo y Andrómeda.1853.
Domenico Fetti (1588–1623). Perseo liberando a Andrómeda.1621/1622. Óleo sobre 0,5 x 72,5 cm. Kunsthistorisches Museum
Domenico Fetti (1588–1623). Perseo liberando a Andrómeda.1621/1622. Óleo sobre 0,5 x 72,5 cm. Kunsthistorisches Museum,
Henri-Pierre Picou (1824–1895). Andromeda encadenada a las rocas, 1874. Óleo sobre lienzo. 120.3 × 84.8 cm. Dahesh Museum of Art
Henri-Pierre Picou (1824–1895). Andromeda encadenada a las rocas, 1874. Óleo sobre lienzo. 120.3 × 84.8 cm. Dahesh Museum of Art.
Guido Reni (1575–1642), Andromeda.
Guido Reni (1575–1642), Andromeda.
Frederic Leighton (1830–1896), Perseo y Andrómeda. 1891. Óleo sobre lienzo. 235 × 129.2 cm. Walker Art Gallery
Frederic Leighton (1830–1896), Perseo y Andrómeda. 1891. Óleo sobre lienzo. 235 × 129.2 cm. Walker Art Gallery
Filippo Falciatore, Perseo rescatando a Andrómeda. 1736. Óleo sobre tabla. Museo Duca di Martina.
Filippo Falciatore, Perseo rescatando a Andrómeda. 1736. Óleo sobre tabla. Museo Duca di Martina.
Gustave-Claude-Etienne Courtois (1852–1923) Perseo liberando a Andrómeda. 1913. Óleo sobre lienzo.
Gustave-Claude-Etienne Courtois (1852–1923) Perseo liberando a Andrómeda. 1913. Óleo sobre lienzo.
Gustave Moreau (1826–1898) Perseo y Andrómeda,1870. Óleo sobre lienzo. Bristol City Museum and Art Gallery.
Gustave Moreau (1826–1898) Perseo y Andrómeda,1870. Óleo sobre lienzo. Bristol City Museum and Art Gallery.
Pieza de porcelana siglo XIX. Anónima.
Pieza de porcelana siglo XIX. Anónima.
Giuseppe Cesari (1568–1640), Perseo liberando a Andrómeda, 1594-1598. oil on slate52 × 38.5 cm.  Gemäldegalerie, Berlin
Giuseppe Cesari (1568–1640), Perseo liberando a Andrómeda, 1594-1598. oil on slate 52 × 38.5 cm. Gemäldegalerie, Berlin.

Compendio de cosmografía por Pedro de Medina (1493–1567)

Presentación y título
Presentación y título. Autor: Medina, Pedro de, 1493-1567 Grabador: Zutman, Lambert, circa 1510-1567 Fecha de creación: Alrededor de 1500 d. C. – 1600 d. C.
  • Pedro de Medina (1493–1567) fue un cartógrafo, autor y fundador de las ciencias marinas. Vivió en Sevilla, el centro de la empresa náutica española y punto de partida de los barcos hacia el Nuevo Mundo. Trabajó en el entorno de laCasa de Contratación, la agencia gubernamental española que controlaba la exploración y colonización, aunque nunca estuvo empleado en ella. En 1545 Medina publicó su obra más importante, El arte de navegar, una visión general de lo que se sabía hasta el momento en la materia. El libro tuvo difusión internacional y muy pronto se tradujo a varios idiomas europeos. Medina también escribió libros de historia y filosofía, entre los que están el Libro de las grandezas y cosas memorables de España, elLibro de la verdad y la Crónica de los excelentes señores duques de Medina SidoniaSuma de Cosmographia (Compendio de cosmografía) se considera un extracto de El arte de navegar, y contiene información sobre astrología y navegación, escrita para una audiencia no especializada. El manuscrito de tamaño folio, en pergamino, contiene 11 bellas figuras astronómicas con el texto que las acompaña. Las ilustraciones están dibujadas con cuidado e iluminadas en oro y colores vivos; las iniciales de las páginas de texto están resaltadas con recuadros dorados. Un exquisito mapamundi a doble página, iluminado en rojo, azul, verde, siena y oro, representa el mundo conocido y refleja el estado del conocimiento geográfico en España y Portugal en ese momento. La línea de demarcación entre los dominios de España y Portugal, establecida en 1494 en el Tratado de Tordesillas, tiene un lugar destacado en el mapa.
    Mapa Mundi
    Mapa Mundi
    Composición del mundo
    Composición del mundo
    Esfera del mundo
    Esfera del mundo
    Altura del Polo
    Altura del Polo
    Entrada del Sol en los signos
    Entrada del Sol en los signos
    Diferencias de la altura del Sol
    Diferencias de la altura del Sol
    Declinación del Sol
    Declinación del Sol
    Reglas de la altura del Sol
    Reglas de la altura del Sol
    Cuenta de la Luna
    Cuenta de la Luna
    De cómo vienen las mareas.
    De cómo vienen las mareas.
    De la guía de navegar.
    De la guía de navegar.
    Reloj del Norte
    Reloj del Norte

    El libro completo con los textos puede bajarse en formato PDF en la siguiente dirección:

    http://www.wdl.org/es/item/7337/zoom/#ddc=5&languages=spa

De los cielos: Mitos, Arte y Etimologías.

En estas nuevas entradas iré recogiendo alguna unidades de trabajo que realicé con mis alumnos en el IES Pablo Picasso de Málaga durante el Curso Académico 2011/2012, donde desarrollamos el Proyecto Analema. Esta es una de dichas unidades, espero sea de su agrado. il_fullxfull.240845012 Nota: Lamento que no puedan observarse las animaciones, es una presentación PowerPoint.

Lo más asombroso del Universo

Maravillosa reflexión sobre el ser humano y el universo. ¡¡Excelente!!

     Carina Nebula

Para no caer en el reduccionismo banal, atomizante y físico al que la sociedad de hoy nos conduce impidiéndonos gozar de la generosa y maravillosa amplitud del significado de nuestro ser. No sólo formamos parte del Universo, sino que además, el Universo forma parte de nosotros.

C.R. Ipiéns. Mayo 2014.

Espero sea de vuestro agrado.

 

Dalí y La Divina Proporción

Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)
Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)

Según Carme Ruiz -Jefa de Conservación y Restauración de la Fundació Dalí-

“Salvador Dalí era un hombre de muchas inquietudes. Una de ellas era el mundo científico, tal como nos muestran tanto su obra como el legado de su vida. En su biblioteca encontramos un centenar de libros, con anotaciones y comentarios en los márgenes, sobre diferentes aspectos científicos: física, mecánica cuántica, origen de la vida, evolución, matemática… Sabemos que al final de sus días estaba muy interesado en la obra de Stephen Hawking La historia del tiempo, además de en la teoría de las catástrofes del matemático René Thom, con quien mantenía una gran amistad. Pero no sólo encontramos estos libros, sino muchas revistas científicas que le hacían estar continuamente al día y a las cuales estuvo suscrito hasta el momento de su muerte. De esta forma, a través de su obra podemos realizar un recorrido histórico por los acontecimientos científicos de este siglo, al menos por los que le impresionaron especialmente”.

Es Matila Ghyka que entonces enseñaba en la Universidad de San Diego, quien pone en conocimiento de Dalí  La Divina proporción mediante Luca Paccioli y su uso en el arte. En estos dos cuadros que presento se hace un uso absolutamente intencionado de todos los elementos áureos: La divina proporción, el Rectángulo Áureo, El pentágono o Pentalfa que contiene a Fi, la Espiral áurea,…

Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.
Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Esta obra se puede considerar como un homenaje exclusivo al rectángulo de oro y a la espiral áurea. Por otro lado, ese “anexo inexplicable” del título del cuadro y que sale del asa de la taza, obligando a prolongar el dibujo hacia arriba, es, en realidad, totalmente explicable: las dimensiones del cuadro (50 × 31 centímetros) están en proporción áurea, siendo tal anexo el elemento que justifica dichas dimensiones.

Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán - 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán – 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Leda Atómica
Leda Atómica

Leda atómica es un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí pintado en 1949. Está hecho mediante la técnica del óleo sobre lienzo, es de estilo surrealista y sus medidas son 61.1 x 45.3 cm. Se conserva en la Fundación Gala-Salvador Dalí, en Figueras, España.

Dalí escribió sobre el cuadro:

“La Leda atómica es el cuadro clave de nuestra vida. Todo está suspendido en el espacio, sin que ninguna cosa toque a otra. El propio mar se eleva a distancia de la tierra”.

Gala, la esposa de Dalí es representada como Leda, quien, según la leyenda, fue seducida por el dios griego Zeus transformado en cisne y dio a luz el huevo del que nacieron los dioscuros, Cástor y Pólux y las hermanas Helena y Clitemnestra.

Dalí quiere personificarse como el cisne pero a la vez, relaciona a Cástor y Pólux como dos almas gemelas analógicamente iguales a Gala y él mismo.

Leda está sentada sobre un alto pedestal, con los pies sobre pequeños pedestales flotantes, mientras acaricia al cisne volador. Todo en el cuadro flota, incluso el mar flota sobre la arena y nada tiene contacto con ninguna cosa, siguiendo la teoría física intra-atómica.

Entre los objetos que flotan están una escuadra de madera, un libro rojo que bien puede ser una Biblia, tres gotas concentradas de agua y un cascarón de huevo, símbolo de la vida, muy importante para Dalí.

Es importante mencionar el realismo con que es pintada Gala, de forma casi fotográfica. Al igual que el cisne, los cuadros de Dalí mostraban desde esa etapa un realismo increíble y muy elaborado.

La versión definitiva fue precedida de varios estudios a tinta china y de una pintura al óleo del mismo tema que no llegó a terminar. Con la ayuda de un matemático rumano a quien había conocido en California, el príncipe Matila Ghyka, Dalí realizó complicados cálculos teóricos durante tres meses que dieron lugar a la peculiar composición del cuadro. La pintura sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que el espectador no la aprecia a simple vista. En el boceto de 1947 se advierte la precisión del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico, el cual es una estrella de cinco puntas (Pentalfas). El triángulo central que encierra la figura de Leda es también áureo.

Espero que este clip sea de su agrado. Visionarlo en HD y en pantalla completa es una opción aconsejable.

 

Vídeo: Dalí y La Divina Proporción.

Autor: C. R. Ipiéns.

El Universo: Ideas claras.

Carina Nebula M-4 desde Hubble

En este post propongo un mapa conceptual que quisiera ir desarrollando en este blog, con calma pero sin pausa. En él, aparecen los items imprescindibles para un conocimiento más o menos amplio -suficiente- del universo que conocemos hoy. Será siempre, como es obvio, ampliable y si acaso en algún momento corregible. Espero que este post y los venideros sirvan de información general y de acercamiento al conocimiento del funcionamiento del cosmos.
Este clip de vídeo, sirvió de presentación para el desarrollo de un “minicurso” de Astronomía a mis alumnos, al final de él aparece un mapaconceptual, que creo interesante y que será base para desarrollar otras entradas.

Ver a pantalla completa en HD 720pp

Continuum: [Trailer]

CONTINUUM es el despertar de nuestro planeta.

Eclipse
Eclipse

Traduzco “malamente” de la página oficial:

Es un documental que cuenta la historia de nuestra interconexión con los demás, el planeta y el universo.

Esperamos que este documental ayude a cambiar la manera en que pensamos como especie – a dejar de vernos separados unos de otros, de el planeta y del cosmos – y nos anima a trabajar juntos para transformar nuestra crisis planetaria. Tejiendo juntos perspectivas e ideas de algunos de los teóricos y pensadores esenciales en la actualidad, en los campos de la cosmología, el ecologismo, la sostenibilidad, la teoría social, la antropología y la dinámica de sistemas, Continuum cuenta la historia de dónde venimos, donde estamos ahora, y cuáles son las posibilidades de nuestro futuro.

Espero que sea de su agrado. Dejo aquí el enlace a la página oficial: http://www.continuumthemovie.com/

OVERVIEW: (Panorama)

La Tierra, Hemisferio Este
La Tierra, Hemisferio Este

Colgado ayer en Vimeo, este descomunal documento gráfico se hace imprescindible para los amantes de este frágil planeta que nos da la vida.
En el 40 aniversario de la mítica fotografía del “Blue Marble”, famosa toma de la Tierra desde el espacio, Colectivo Planetario presenta una breve película documental donde los astronautas comentan como se alteró su conciencia al ver la Tierra desde el exterior – una experiencia que altera, sin duda, la perspectiva que tenemos de ella y de nuestra vida.
Las características comunes de la experiencia son un sentimiento de admiración por el planeta, una profunda comprensión de la interconexión de toda la vida y un renovado sentido de responsabilidad por el cuidado del medio ambiente.

La Tierra, Hemisferio Oeste
La Tierra, Hemisferio Oeste

“Visión general” es un cortometraje que explora este fenómeno a través de entrevistas con cinco astronautas que han experimentado el efecto general. La película también cuenta con puntos de vista de los comentaristas y pensadores sobre las implicaciones y la importancia de este conocimiento para la sociedad, y nuestra relación con el medio ambiente.
REPARTO
• EDGAR MITCHELL – astronauta del Apolo 14 y fundador del Instituto de Ciencias Noetic
• Ron Garan – astronauta ISS y fundador de la organización humanitaria Fragile Oasis
• Nicole Stott – astronauta Shuttle y la ISS y miembro de Fragile Oasis
HOFFMAN • JEFF – astronauta de traslado y senior profesor en el MIT
• SHANE Kimbrough – Traslados / ISS astronauta y teniente coronel en el Ejército de los EE.UU.
• FRANK WHITE – teórico espacio y autor del libro ‘El efecto general’
• DAVID LOY-filósofo y autor
• DAVID BEAVER – filósofo y co-fundador La vista general de Instituto
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CREW
Producido por: GUY REID, STEVE KENNEDY, CHRISTOPHER FERSTAD
Director: GUY REID
Editor: Steve Kennedy
Director de Fotografía: CHRISTOPHER FERSTAD
Música Original: TRAJES DE HUMANOS
mezclador de doblaje: MODIFICACIÓN MORRISON
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INFORMACIÓN TÉCNICA
Rodado con Canon 5D Mk II.
metraje adicional de la NASA / ESA archivos
Duración: 19 minutos
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Colectivo Planetario: planetarycollective.com /
Micrositio Descripción: overviewthemovie.com /
Trajes Humanos (partitura original): humansuits.com /
Para más información:
El Instituto Resumen: overviewinstitute.org /
Oasis Frágil: fragileoasis.org /

Espero sea de su agrado
Opción ver en HD pantalla completa.

OVERVIEW from Planetary Collective on Vimeo.

Este otro clip es un resumen del anterior. Puede verse con subtítulos en español en: Further Up Yonder

Inspirations: Cristóbal Vila

No se hace necesario -creo- presentar de nuevo a uno de los mejores diseñadores y animadores 3D del mundo, Cristóbal Vila; para ello pueden consultarse otras entradas que hacen referencia a su biografía y obra ya expuestas en este blog.

En este trabajo, se nos presenta un maravilloso recorrido iconográfico de la Historia de las Matemáticas; Partiendo del ajedrez y pasando por poliedros, teselas, curvas (cicloide) o personajes como Pascal, Escher, Möbius, Fibonacci; Pintores y cuadros como Durero, Leonardo, Velázquez, Vermer, Hokusai y su gran ola, La alhambra, Los embajadores, y un largo etcétera.

El mismo en su página web, describe este trabajo del siguiente modo:

Cuando comencé a idear esta animación tenía la intención de darle vida a un gran y extenso bodegón, recorriéndolo de un modo similar a aquella fantástica intro creada para los títulos de crédito de la películaDelicatessen.

Pero me faltaba el motivo, los protagonistas de la acción. Así que volví a mirar hacia esa enorme e inagotable fuente de inspiración que es Escher y traté de imaginar cómo podría ser su lugar de trabajo, de qué cosas se rodearía un artista como él, tan profundamente interesado por la ciencia en general y las matemáticas en particular. Todo ello, eso sí, de una forma completamente imaginaria, libre e inventada.

Y aquí tenéis el resultado de ese proceso, acompañado del precioso tema “Lost Song” compuesto por el músico islandés Ólafur Arnalds. Espero que os guste.

Cristóbal Vila, febrero 2012, Zaragoza, España.

Isfahán: Cristóbal Vila

Isfahán o Ispahán, (en persa اصفهان Esfahān) localizada a 340 km al sur de Teherán, es la capital de la provincia de Isfahán y la tercera ciudad más grande de Irán (después de Teherán y Mashhad). Isfahán tiene una población de 1.540.000 habitantes (2000).

Isfahan, Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO

Isfahán, una de las ciudades más bellas del Oriente, situada en el centro de Irán, posee una extensa variedad de magníficos monumentos históricos de distintas épocas. A lo largo de la historia, ha sido uno de los principales centros de las rutas comerciales de Irán.

Desde la época de los  Aqueménidas (550 adC -331 adC), Isfahán fue una de las ciudades preferidas por los reyes, y ya en el siglo V adC la convirtieron en una de sus residencias estivales.

El amor real por la ciudad se mostró especialmente con el monarca safávida Sha Abbas (1587-1629), al que se deben numerosas obras de sabor artístico e histórico. Viajeros de aquella lejana época describieron a Isfahán como la ciudad más próspera y moderna del mundo con cerca de un millón de habitantes. Desde entonces, y pese a la pérdida de la capitalidad, la ciudad ha seguido siendo una atrayente urbe que ha seducido a poetas, músicos y viajeros.

Aquí presento una obra del incomparable artista gráfico Cristóbal Vila, su Isfahan personal. En su web sobre este trabajo, nos escribe:

“…Este trabajo está inspirado en diferentes obras de la Arquitectura Persa. Se trata de una reproducción libre, ya que no he reproducido un único y conocido edificio. He tomado ideas y conceptos de distintas fuentes, especialmente de diferentes templos de la ciudad de Isfahan. La cúpula principal está basada en la estructura de la “Moder É Ahah” y las columnas y bóvedas están inspiradas en la “Mezquita del Imán”, pero la ornamentación está inventada. Pido escusas a los especialistas en Arte Islámico en caso de haber cometido algún grave error de concepto.”

Aquí, su magnífico trabajo; A deleitarse. (VER en HD)

De padres españoles, nació en 1966 en Suiza pero a los pocos años se trasladó a vivir a Zaragoza. Estudió en la Facultad de Bellas Artes de Sant Jordi(Barcelona) desde 1986 a 1990, especializándose en Diseño Gráfico e Industrial. Profesionalmente, después de estar los últimos años en empresas de grafismo y publicidad entre Barcelona y Zaragoza, ha complementado su actividad laboral trabajando en solitario para su despacho de Etérea Estudios, como ‘artista y creador independiente’, según comenta en su web.

Nature by Numbers: Cristóbal Vila

Nautilus
Nautilus

No hace tanto tiempo, trabajando las olvidadas y denostadas construcciones geométricas con regla y compás, y como ejercicio, recorrí la construcción de la “sección áurea”, el “rectángulo áureo”, la “espiral inscrita”,… retomando viejos apuntes y viejas lecturas, estuve  indagando en “mi” Carl B. Boyer qué había sobre el tema, encontré sobre Leonardo da Vinci leves referencias y si una alusión explícita a Luca Paccioli y a dos de sus publicaciones una edición de Euclides que no ofrece nada destacable y otra obra con el impresionante título de “De divina proportione, en la que se estudian los polígonos y poliedros regulares y la razón que se conocería más tarde como “la sección áurea”., o más lacónicamente como dirían los griegos: “la sección”.

Espirá áurea
Espirá áurea

En las navidades de 2008 estructuré el trabajo en tres partes diferenciadas -pero íntimamente relacionadas-: “Fi y las Matemáticas”, “Fi y el Arte” y “Fi y la Naturaleza”, y lo utilicé como experiencia docente en un grupo de alumnos, con un grado muy alto de satisfacción, consiguiendo de ellos un acercamiento a las Matemáticas que, de otra manera, seguro no hubiese conseguido.

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Hace aproximadamente dos años de esto, cuando, siguiendo los trabajos de infografía y diseño del admirado Cristóbal Vila, navegando por las inescrutables y a veces dudosas aguas de la web, encontré un trabajo formidable en su portafolio http://www.etereaestudios.com/, una magistral y maravillosa visión del asunto.

No se me antoja mejor prólogo para este blog que este trabajo: “Nature by numbers. The movie” de Cristóbal Vila.

Que lo gocen.

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.

La Divina Proporción: Parte I

En este clip avanzo una primera parte de un trabajo dividido en tres, que realicé allá por 2008 y que poco a poco iré posteando sobre la divina proporción.

Se presentan algunas consideraciones históricas de la “sección áurea” (Número de Oro) en la antigua Grecia, así como algunas construcciones concernientes a la propia “sección”, el rectángulo áureo, la espiral áurea, la espiral triangular, etc. Aconsejable visionarlo a pantalla completa, es una opción.

En siguientes post presentaremos la divina proporción en el Arte y en la Naturaleza.
Puede verse en pantalla completa y en HD. Es una presentación PowerPoint que he pasado a vídeo.

Eratóstenes y la medición de la Tierra

El mundo según Eratóstenes

Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. Alejandría, 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen cirenaico.

Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días.

El principal motivo de su celebridad es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra.

Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos.

Sin embargo, Eratóstenes observó que en Alejandría, ese mismo día, los obeliscos sí producían sombra. Eso sólo es posible si La Tierra era redonda, pues el Sol está tan lejos como para considerar que sus rayos inciden paralelamente sobre La Tierra.

Con toda esta información, Eratóstenes sólo tenía que medir dos elementos: la sombra de un gnomon u obelisco en Alejandría, el mismo día  del solsticio de verano y a la misma hora en el que en Siena no se proyectaba ninguna sombra y la distancia entre Alejandría y Siena. Con estos datos y teniendo en cuenta que prácticamente ambas ciudades se encuentran en la misma longitud (3º de longitud las diferencian realmente) podría calcularse la circunferencia terrestre.

En este clip intento animar cómo lo hizo. Verlo a pantalla completa en HD es una opción.

La medida obtenida hoy en día con toda la parafernalia tecnológica actual es de 39.942 km, el obtuvo una medida de 39.375 km. Único calificativo: ¡Admirable!

La Loxodromia: Curva de los navegantes

Loxodromia o Loxodrómica

Se denomina loxodrómica o loxodromia (del griego λοξóς -oblicuo- y δρóμος -carrera, curso-), a la línea que une dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo. La loxodrómica, por tanto, es fácil de seguir manteniendo el mismo rumbo marcado por la brújula. Su representación en el mapa dependerá del tipo de proyección del mismo, como veremos en este artículo en la proyección de Mercator es una recta.

Desde el punto de vista geométrico, la Loxodromia es una hélice esférica de ecuaciones:

Pedro Nuñes, un geógrafo portugués, publicó en Tratado de la navegación (1546) un descubrimiento con grandes implicaciones para la navegación. Antes de él se creía que, marchando sobre la superficie terrestre con un rumbo fijo, es decir, formando un ángulo constante con la meridiana, la línea recorrida era un círculo máximo. Dicho con otras palabras, que un navío que siguiese este derrotero daría la vuelta al mundo y volvería al punto de partida. Nunes señaló la falsedad de este concepto al demostrar que la curva recorrida se va acercando al polo, alrededor del cual da infinitas vueltas, sin llegar nunca a él; o, dicho en lenguaje matemático, que tiene el polo por punto asintótico. Es de hacer notar que Pedro Nuñes creía que la loxodromia era la línea mas corta entre dos puntos de la superficie esférica lo cual era muy deseable para los marinos, pero que evidentemente no era cierto, hoy sabemos que las líneas que dan la mínima distancia entre dos puntos de una superficie se llaman geodésicas. Las de un plano son, obviamente, las rectas. Las de una esfera son las circunferencias de los círculos máximos, que son aquellos que comparten centro con la esfera. Es decir, que el camino más corto entre dos puntos de una esfera lo da la intersección entre dicha esfera y un plano que contenga su centro y ambos puntos.

Loxodromia en un grabado de Escher, 1958.
Espirales esféricas grabado de Escher.

Pese al error acerca de la distancia mínima, error que los marinos no enmendarían hasta que se dieron cuenta en el siglo XIX que para acortar distancias lo mejor es seguir círculos máximos, lo cierto es que las loxodromias suponían un medio fiable para la navegación. El problema es que con las proyecciones utilizadas por aquel entonces en cartografía, la estereográfica o la cilíndrica, por ejemplo, las loxodromias eran muy dificiles de dibujar: recordemos que son hélices. Por eso Gerhard Kremer, más conocido como Gerardus Mercator, decidió buscar un tipo de proyección que diese sobre el plano las direcciones de las loxodromias. Su éxito fue absoluto, porque consiguió proyectarlas sobre el plano como líneas rectas. Esto significaba en la práctica que si un marino necesitaba saber el rumbo a seguir para ir desde desde un punto a otro de la Tierra le bastaría localizarlos sobre el mapa, unirlos con una línea recta y medir la inclinación de dicha línea respecto de la vertical, que indicaría el norte.

Este mapa del mundo en dos hojas es una de las primeras obras del famoso cartógrafo flamenco, Gerardus Mercator (1512–1594). Sólo existen dos copias del mapa: ésta, de la Biblioteca de la Sociedad Geográfica Americana, y la segunda, de la Biblioteca Pública de Nueva York. Éste es también el primer mapa donde se utilizó el nombre de América para referirse al continente de América del Norte, así como al de América del Sur, para diferenciarlos como continentes separados. Al usar el término «América» de esta forma, Mercator es responsable, junto con Martin Waldseemüller, de dar nombre al hemisferio occidental. Mercator fue maestro del grabado y creador de instrumentos matemáticos y globos terráqueos. Su solución para el problema de representar con exactitud la esfera de la Tierra en sólo dos dimensiones, la proyección en forma de doble corazón que se utiliza aquí, dio lugar a mapas mucho más precisos.

La proyección de Mercator es un tipo de proyección cartográfica cilíndrica, ideada  para elaborar planos terrestres. Es muy utilizada en planos de navegación por la facilidad de trazar rutas de rumbo constante o loxodrómicas.

Mercator, mediante proyección, pretende representar la superficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica, tangente al ecuador, que al desplegarse genera un mapa terrestre plano.

Es un modelo idealizado que trata a la tierra como un globo hinchable que se introduce en un cilindro y que empieza a «inflarse» ocupando el volumen del cilindro, imprimiendo el mapa en su cara exterior. Este cilindro cortado longitudinalmente y desplegado sería parecido al mapa con la proyección de Mercator.

Visión gráfica de la idea de Mercator

Esta proyección presenta una buena aproximación en su zona central, pero las zonas superior e inferior correspondientes a norte ysur presentan grandes deformaciones. Los mapas con esta proyección se utilizaron en la época colonial con gran éxito. Europa era la potencia dominante de la época, y para los que viajaban hacia el nuevo mundo por las zonas ecuatoriales, no tenía gran importancia la deformación que poseían.

Mapa mundi de Abraham Ortelius. (Proyección de Mercator)
Mapa de África 1808.

El Astrolabio

Etimológicamente astrolabio proviene del griego “astron” astro y “lanbanien” tomar, buscar, es decir, buscador de astros.

En realidad, no se sabe bien quien fue el inventor original. Algunas obras del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo (Tolemaida, 100-†Cánope,170), como el Almagesto, ya describen su construcción y fueron utilizadas por otros matemáticos posteriores como Hipatia (c. 370-†415 o 416) de Alejandría para mejorar sus cálculos. Se sabe que Hipatia trabajó con su padre, el astrónomo Teón (c. 335-†c. 405), para hacer correcciones en el Almagesto de Ptolomeo y construir un astrolabio. También sabemos que Hiparco de Nicea (c.190 a. C.-†c.120 a. C.) ya construía astrolabios antes que Ptolomeo e Hipatia. El astrolabio más antiguo que se conserva en la actualidad fue construido por el astrónomo persa Nastulus hacia el año 927 y se conserva en el Museo Nacional de Kuwait. En el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico.

Astrolabio Persa

El Astrolabio Andalusí

El astrolabio se basa en la proyección estereográfica de la esfera. En su forma original requería una placa de coordenadas de horizonte distinta para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo Azarquiel, en al-Ándalus, inventó una placa única que servía para todas las latitudes. La obra maestra de la técnica de fabricación de astrolabios fue la del sirio ibn al-Shatir, una herramienta matemática que podía ser usada para resolver todos los problemas comunes de astronomía esférica de cinco formas diferentes.

El primero que se conoce en la Península es el carolingio. Pero, tiene algunos defectos, como el trazado vacilante de algunas curvas. Los diseños andalusíes superan estos inconvenientes. El astrolabio clásico es el planisférico que se basa en la proyección estereográfica meridional de la esfera celeste sobre el plano del Ecuador. El astrolabio esférico se conoce en al-Andalus desde el siglo X. Está formado por dos piezas: una esférica dividida por el horizonte en dos hemisferios y una red que se superpone a la esfera y contiene índices para las estrellas. Lleva la eclíptica, un paralelo de declinación que mide coordenadas ecuatoriales y un cuadrante vertical graduado que mide latitudes celestes y distancias polares y cenitales. El astrolabio náutico necesita un círculo graduado y una alidada de pínulas para trazar una visual. El instrumento es más grueso en su parte inferior para desplazar hacia abajo el centro de gravedad y facilitar que el diámetro horizontal coincida con el horizonte cuando el astrolabio esté colgando de la anilla. Surge a fines del siglo XV. En las ilustraciones de abajo se reproducen las dos caras de un astrolabio. Fue construido en Toledo por el artesano andalusí Ibrahim ibn Sahli. Se fecha en el año 1067 y se conserva en el Museo Arqueológico Nacional (Madrid). Su diámetro es de 24 cm. La red lleva indicaciones para 24 estrellas. Entre otras, lleva láminas para las latitudes de La Meca, Medina, Jerusalén, Damasco, Bagdad, Almería, Granada, Córdoba, Murcia, Toledo y Zaragoza. En el calendario zodiacal del dorso el equinoccio de primavera corresponde al 14´5 de Marzo.

A Europa llega en el siglo XII a través de la España musulmana.

En la Edad Media se perfeccionaron estos instrumentos, pero todavía resultaban imprecisos. Recién en el Siglo XVI, el astrónomo danés Tycho Brahe construyó un astrolabio de tres metros de radio, con el que logró observaciones con precisión. Al poco tiempo se inventó el telescopio y los primeros sextantes, (Uno de ellos fue inventado por Newton). El sextante se basa en los mismos principios que el astrolabio y el cuadrante, pero se vale de dos nuevos elementos: un largavistas y un juego de espejos, cuyo uso de precisión resultan efectivos después de los estudios de Newton y otros científicos, sobre óptica.

Astrolabio Planisférico

Durante los siglos XVI hasta el XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.

Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca.

Los antiguos navegantes se guiaban por la posición de las estrellas, tomando como referencia alguna estrella, como por ejemplo la estrella Polar, y así determinar con exactitud relativa el ángulo formado por la estrella con la vertical trazada desde el punto de observación, distinta de una posición anteriormente medida, para determinar la latitud.

El astrolabio servía también para ubicar las distintas posiciones de los astros y era utilizado también para resolver problemas astronómicos más complejos.

En conclusión los Astrolabios determinan :

– Posición de los Astros
-Cálculo del Tiempo
-Tiempo Solar -Hora Sola
-Salida y ocaso del Astro Rey
-La Luna y los Planetas

II PARTES DEL ASTROLABIO
1. La madre 
Ahuecada para la colocación del tímpano y la araña.
2.Tímpano.
Tímpano. Placa grabada con las coordenadas de la esfera celeste; incluye el cénit, el horizonte, líneas de altitud, acimut, ecuador y los círculos de Cáncer y Capricornio.
3.La Araña.
La araña es un mapa Astral donde el eje central marca la posición de la Estrella polar; la trayectoria del sol se muestra sobre el círculo eclíptico, el cual está dividido en doce signos Zodiacales.
4. La Regla. 
Situada sobre la araña, se usa para alinear la fecha sobre el círculo eclíptico con la hora correcta sobre el círculo horario.
5. La Alidada.
Se usa para enfilar mediante las pínulas con las graduaciones en el dorso del astrolabio o dorso de la Madre.
6. Dorso de la Madre 
Todas las observaciones y medidas se realizan en el dorso de la Madre; el círculo graduado que le rodea se denomina Limbo.


El astrolabio náutico:
Es un instrumento mucho más simple que el astrolabio astronómico, ya que su objetivo queda reducido a tomar alturas de los astros, habiendo sido utilizados exclusivamente por los navegantes. Fundamentalmente es un círculo de bronce o latón (también los hubo de madera) atravesado por cuatro radios, situados a 90 grados uno del otro. La intersección con el círculo del radio situado en los 180 grados, tiene una mayor masa del material en el que se ha construido el astrolabio, para que haga el efecto plomada y disminuir la oscilación que el viento o el movimiento del buque puedan imprimirle. El diámetro vertical representa la línea zénit-nádir y el horizontal la línea del horizonte. En esta línea está situado el grado cero, correspondiendo el grado 90 al zénit. Los portugueses prefirieron situar el grado 90 en la línea del horizonte, con lo que la cifra señalada por la alidada o medeclina indicaba distancias cenitales en lugar de alturas; de este modo se ahorraba la operación de la resta. Dispone además de una anilla o “colgadero” para introducir por ella un dedo y sustentar el astrolabio.

Astrolabio Náutico

“El que quiera tomar el sol con el astrolabio en la mar, se asentará y pondrá cerca del mástil mayor, que es donde la nave da menos vaivenes y está más quieta, y colgando el dedo segundo de la mano derecha de su anillo, pondrá el rostro y el astrolabio frontero del sol derechamente y conocerá que está por la sombrea que el sol, y alzará o bajará el penicidio (alidada) hasta que entre el sol por los dos agujeros de las pínulas y estando así tomará del astrolabio los grados que muestre la punta del penicidio, y hará por ellos las cuentas según las reglas”. (Dr.García de Palacio. Instrucción Náutica para navegar. Méjico 1587).

 

Los Elementos de Euclides en China alrededor de 1690

Descripción

  • En 1690, el emperador Kangxi convocó a dos misioneros franceses, Zhang Cheng (Jean François Gerbillon, 1654–1707) y Bai Jin (Joachim Bouvet, 1656–1730) a Pekín para que le enseñaran matemática. Al principio los misioneros consideraron utilizar para este propósito la traducción temprana y parcial de la gran obra de Euclides sobre geometría, Elementosque realizaron Matteo Ricci (1552–1610) y Xu Guangqi (1562–1633), pero creyeron que era demasiado complicada.

  • Entonces decidieron traducir Elements de geometrie del jesuita francés Ignace Gaston Pardies (1636–1673), quien se basó en Euclides, Arquímedes y Apolonio. Le dieron a su obra, en siete juan, el mismo título en chino, Ji he yuan ben (Los elementos de geometría), que Ricci y Xu le habían dado a su traducción de Euclides.

  • Esta copia muy rara es manuscrita. Hay correcciones en tinta y numerosos trozos de papel con correcciones pegados en las páginas, y algunas notas editoriales que realizaron los traductores, de las cuales una dice: «Zhang Cheng desea corregir». La obra se presentó ante el emperador Kangxi, quien añadió comentarios propios en los márgenes superiores. La Biblioteca Nacional Central de Taiwán tiene otra edición de esta obra, cuyo prólogo indica que la obra de Ricci era poco clara gramaticalmente y difícil de entender, lo que explica el motivo de esta traducción. El texto de esta otra edición es el mismo que el que tradujeron Zhang Cheng y Bai Jin, excepto que incorpora las correcciones anteriores. Ambos ejemplares antes pertenecieron a los coleccionistas de libros Mo Tang (1865-1929) y Wang Yinjia (1892-1949).

Autor

  • Pardies, Ignace-Gaston, 1636-1673

Traductor

  • Bouvet, Joachim, 1656-1730
  • Gerbillon, Jean-François, 1654-1707

Fecha de creación

  • Alrededor de 1690 d. C.

Matemáticas en Mesopotamia

La cultura científica en la Mesopotamia antigua es, probablemente, una cultura eclipsada por la monumentalidad de las construcciones egipcias que aún perviven y, desgraciadamente un tanto desconocida por el gran público. La ciencia en Mesopotamia era bastante más desarrollada que la egipcia, como lo confirman sus aportaciones a la ciencia actual.

En el campo de las Matemáticas no podría “elementarse” como lo hizo Euclides todo el equipaje matemático  sin la existencia de tal equipaje, en el que la mayoría de maletas eran de origen mesopotámico.

En Mesopotamia se erige la matemática como la ciencia que encauza los elementos vitales de toda sociedad organizada de su tiempo: La producción agrícola (Agricultura) lo que obliga a la necesidad de conocer los cielos (Astronomía), la medida del tiempo,…  la contabilidad del estado (Economía) –de ahí nuestro término estadística- y las construcciones (Arquitectura) de todo tipo.

Fueron los sumerios los que sentaron las bases de la matemática que se construyó bajo el primer imperio babilónico – tiempo de Hammurabi- desde 1800 a 1530 aprox. ; esta producción matemática serían los cimientos de la matemática racional que se construye en Grecia.

Plimpton:

Plimpton 322 es una tablilla de barro de Babilonia, que destaca por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas. Tiene el número 322 en la colección GA Plimpton en la Universidad de Columbia. Esta tableta, se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en escritura cuneiforme de la época.
Plimpton 322 es una tablilla de barro de Babilonia, que destaca por contener un ejemplo de las matemáticas babilónicas. Tiene el número 322 en la colección GA Plimpton en la Universidad de Columbia. Esta tableta, se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C., tiene una tabla de cuatro columnas y 15 filas de números en escritura cuneiforme de la época.

Esta tabla muestra lo que ahora se llaman ternas pitagóricas, es decir, números enteros a, b, c que satisfacen \scriptstyle a^2+b^2=c^2 . El contenido principal de Plimpton 322 es una tabla de números, con cuatro columnas y quince filas, en notación sexagesimal babilónica. Otto E. Neugebauer (1957) aboga por una interpretación de Teoría de Números, señalando que esta tableta provee una lista de (pares de números que conforman) ternas pitagóricas. Por ejemplo, la línea 11 de la tabla se puede interpretar como la descripción de un triángulo con el lado corto de 3/4 y la hipotenusa 5/4, que forma el lado: relación hipotenusa de la familiar (3,4,5) del triángulo rectángulo. Si p y q son dos números primos entonces \scriptstyle ( p^2 - q^2,\, 2pq,\, p^2 + q^2 ) forma una triple pitagórico, y todos los triples pitagóricos se pueden formar de esta manera o como múltiplos de una triple formó de esta manera.

A grandes rasgos pasemos a glosar algunas de estas aportaciones:

Puede decirse que Babilonia fue el pilar del antiguo orden cósmico. Es la mesopotámica la cultura que establece las primeras leyes que permitieron ordenar los cielos con el establecimiento de las constelaciones. En Mesopotamia se inaugura por vez primera la Astronomía observacional  con la Matemática como herramienta calculista de primer orden.

Los dos pilares de la “ciencia de los astros” son dos de los textos más importantes de la historia de la Astronomía, fueron redactados entre los milenios II y I a.J.C.: el Mul-Apin y el Enuma Anu Enlil. Básicamente, en ellos se establecen las Tablas del Cielo y los llamados Caminos de la Luna, donde se establecen en este último las dieciocho constelaciones mesopotámicas que más tarde fueron reducidas a doce generándose el llamado Zodiaco (rueda de animales) para los griegos.

En resumen, se conoce que midieron con precisión el mes y la revolución de los planetas.

La observación más antigua de un eclipse solar procede también de los babilonios y se remonta al 15 de junio del 763 a.C. Los babilonios calcularon la periodicidad de los eclipses, describiendo el ciclo de Saros, el cual aún hoy se utiliza. Construyeron un calendario lunar y dividieron el día en 24 horas. Finalmente nos legaron muchas de las descripciones y nombres de las constelaciones.

En otro orden de cosas, podríamos destacar las siguientes aportaciones y conocimientos matemáticos:
• Acercamiento al sistema posicional sin llegar a conseguirlo del todo. No utilizaban el cero.
• Sistema de numeración sexagesimal, que hoy aún utilizamos, en la medida del tiempo, en la división en grados de una circunferencia,…

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• Fracciones sexagesimales. Con ellas, por ejemplo, calcularon un valor para la raíz cuadrada de 2 de 1,414222, que difiere del verdadero valor en 0,000008.
• Conocían las operaciones fundamentales.
• Resolvieron problemas algebraicos, ecuaciones cuadráticas, cúbicas.
• Conocían las ternas pitagóricas, lo que se evidencia en la famosa tablilla de Plimpton 322.
• Áreas de polígonos y una geometría aritmetizada.
• Otros.
En este clip presento, como digo de antemano, un muy breve resumen y una anécdota: el cálculo de la raíz cuadrada. Como siempre puede verse a pantalla completa en HD 720P.

Construcciones Geométricas

En principio este ejercicio comenzó queriendo ser una “animación” de una lectura de un libro de texto impreso en la Editorial Urania (Granada) en 1930, cuyo autor es José Jiménez Osuna, Doctor en Ciencias y Catedrático por oposición del Instituto Gaona de Málaga en aquella época. Luego fue creciendo y aún no sé cuándo acabará…

Las ideas y construcciones que se presentan en este documento sabemos que están incluidas en el currículo de la ESO, aún así, generalmente por cuestiones de tiempo no se llegan a desarrollar lo suficiente (La Geometría, “La gran olvidada”).

A pesar de todo las “construcciones geométricas” mantienen intacta su potencia para el desarrollo de la intuición en el alumno y como herramienta de paso imprescindible para la traducción al lenguaje algebraico de una situación dada.

Esta idea que presento está dedicada a todos mis compañeros de Departamento y especialmente a Eduardo Martínez Abad, Matemático, Profesor y sobre todas las cosas Ser Humano entrañable, del que siempre he recibido un ánimo.

Están en proyecto construcciones sobre Polígonos y Poliedros.

La música que acompaña este clip es de Thomas Hardy Trío versionando piezas clásicas.

Puede verse en HD 1280x720p pantalla completa es una opción. Es una presentación PowerPoint pasada a vídeo.

Astronomía (Ciencia)/Astrología (Pseudociencia): Vida y muerte del Zodíaco.

La astronomía (del griego: αστρονομία = άστρον + νόμος, etimológicamente la “ley de las estrellas”) es la ciencia que se ocupa del estudio de los cuerpos celestes, sus movimientos y los fenómenos ligados a ellos. Su registro y la investigación de su origen viene a partir de la información que llega de ellos a través de la radiación electromagnética o de cualquier otro medio. La astronomía ha estado ligada al ser humano desde la antigüedad y todas las civilizaciones han tenido contacto con esta ciencia. Personajes como Aristóteles, Tales de Mileto, Anaxágoras, Aristarco de Samos, Hiparco de Nicea, Claudio Ptolomeo, Hipatia de Alejandría, Nicolás Copérnico, Santo Tomás de Aquino, Tycho Brahe, Johannes Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton han sido algunos de sus cultivadores.

No debe confundirse a la Astronomía con la astrología. Aunque ambas comparten un origen común, son muy diferentes. La Astronomía es una ciencia: los astrónomos siguen el método científico. La astrología, que se ocupa de la supuesta influencia de los astros en la vida de los hombres, es una pseudociencia: los astrólogos siguen un sistema de creencias no probadas o abiertamente erróneas; por ejemplo, no tienen en cuenta la precesión de los equinoccios, un descubrimiento que se remonta a Hiparco de Nicea.

Vida y muerte del Zodíaco

El zodíaco (-círculo de los animales- en griego) es, al mismo tiempo, la más familiar y la menos comprendida de todas las conquistas de la astronomía y está en la actualidad irremediablemente asociado a la astrología. Sin embargo, su historia se confunde con la de la astronomía desde los primeros intentos de ordenar el cielo con el establecimiento de las constelaciones, hasta el triunfo de la geometría griega.

En su origen, el zodíaco no era más que una simple serie de dieciocho constelaciones definida en el milenio I a.C. en Mesopotamia a partir de la observación por parte de sacerdotes que buscaban en los astros el mensaje oculto de los dioses.

Esta guirnalda de estrellas (estrellas fijas), en la que aparentemente se movían los planetas, se transformó, por la gracia del espíritu griego, en un precioso anillo de doce signos que permitió el desarrollo de la astronomía matemática y de los horóscopos. Hijo de la alianza contra natura entre la razón y las creencias, entre el cielo eterno y el hombre mortal, el zodíaco debía su legitimidad sólo al ojo humano que, basándose en los movimientos de los astros, había construido en el siglo V a.C. un Universo en el que todo el cielo giraba alrededor de la Tierra.

El hombre confiando en sí mismo, se creyó el corazón de la rueda de los signos, el punto hacia el que convergían las miradas astrales y se elevó a las dimensiones del cosmos, situando su ser, su futuro y su psique en el zodíaco.

Durante los siglos XVI y XVII se percató de que había sido engañado por los astros, tomando por verdadero lo que sólo era una ilusión, confundiendo movimiento y reposo, apariencias y realidad, formas y sugestiones. El cerrado mundo de los griegos fue devorado por el infinito, y el zodíaco, con su estructura socavada por la mecánica que, en adelante, gobernaría los astros, fue declarado en estado de muerte astronómica.

El Zodiaco.- es una zona limitada por dos planos paralelos a la Eclíptica, cuya distancia angular es 16º. Y que contiene a las doce constelaciones. Todos los planetas (excepto Plutón) tienen órbitas cuya inclinación respecto de la Eclíptica es menor de 8º, por lo que dentro del zodiaco se mueven los planetas del Sistema Solar, así como los asteroides o planetas menores.

El cielo egipcio: Dendera

Dendera
Cuando Napoleón Bonaparte invadió Egipto en 1798, trajo consigo un séquito de más de 160 estudiosos y científicos. Conocidos como la Comisión francesa para las Ciencias y las Artes de Egipto, estos expertos llevaron a cabo un extenso estudio de la arqueología, la topografía y la historia natural del país. Entre quienes colaboraron con en el estudio se encontraba Jean François Champollion, que se sirvió de la famosa Piedra de Rosetta para desvelar muchos de los misterios que por tanto tiempo habían envuelto a la lengua del antiguo Egipto. En 1802, Napoleón autorizó la publicación de los descubrimientos de la comisión en una obra monumental, de varios volúmenes, que incluía láminas, mapas, ensayos académicos y un índice detallado. La publicación de la edición imperial original comenzó en 1809. Resultó tan popular que se publicó una segunda edición durante la Restauración borbónica post-napoleónica. Se presenta aquí la «Edición Real» (18211829), delas colecciones de la Biblioteca de Alejandría. En esta entrada podrán admirarse algunas de estas láminas que he recogido de la Biblioteca Digital Mundial.

El cielo egipcio.

Los egipcios, grandes expertos en estrellas, capaces de orientar sus pirámides hacia el norte con un precisión de una décima de grado, no se preocupaban por el realismo en sus representaciones del cielo. Por ello resulta muy difícil identificar con certeza las constelaciones reproducidas en los frescos astronómicos que decoran algunas tumbas, como la del faraón Seti I (1294-1279 a.J.C.). Este grupo de constelaciones representaría a las circumpolares, llamadas por los egipcios “las que no mueren”, objeto de una especial veneración. La gran figura del Hipopótamo hembra con un cocodrilo sobre la espalda sería el equivalente del Dragón en el cielo griego. Está apoyado en un poste -¿el soporte del cielo?- unido a un toro con amplios cuernos que encarnaría a la osa mayor.

Tumba del Faraón Seti I

El zodíaco de Dendera.

Tras la muerte de Alejandro Magno, su inmenso imperio fue desmantelado y Egipto pasó a manos de uno de sus generales macedonios, llamado Ptolomeo. Este fundó una dinastía que reinó en el país hasta el año 30 a.J.C., fecha en la que su última representante Cleopatra VII, se suicidó.

Dendera

El zodíaco, seguido muy de cerca por la astrología, se infiltró en Egipto entre los siglos II y I a.J.C. Los egipcios, que hasta ese momento desconocían por completo el arte de realizar horóscopos, adoptaron estas nuevas figuras y las integraron en sus representaciones tradicionales del cielo., pintadas en el interior de los sarcófagos o en las paredes de las tumbas. El más espectacular de los zodíacos egipcios es sin duda el de Dendera, un bajorrelieve astronómico descubierto en 1799 en el templo epónimo dedicado a Hathor y conservado actualmente en el Louvre.

Zodíaco de Dendera

Durante su larga estancia en tierras egipcias, el zodíaco de los astrólogos se vio sobrecargado con 36 subdivisiones suplementarias. Los egipcios conocían perfectamente los cinco planetas visibles a simple vista, pero no se habían preocupado por ellos y sólo tenían ojos para las estrellas, que les servían para marcar el tiempo.

La noche estaba dividida en doce horas cuya sucesión seguían gracias a 36 estrellas o grupos de estrellas de referencia, las decanes. Su orto helíaco, poco antes que el Sol, señalaba el comienzo –o el final, en realidad no sabemos mucho de ello- de cada una de las horas de la noche.

Conocemos el nombre de las decanes –los Dos Espíritus, las Dos Tortugas, la Oveja, los Hijos de la Oveja, el que se halla bajo la grupa de la Oveja,etc- pero sólo dos de ellas han sido identificadas de manera formal: Sirio y las estrellas del cinturón de Orión.

Tycho Brahe: Instrumentos para la restauración de la astronomía

Click en la imagen para ampliar

Tycho Brahe (1546-1601) fue un astrónomo danés que construyó el mejor observatorio en Europa y estableció un nuevo estándar para la observación astronómica precisa ya antes de la invención del telescopio. Su nobleza le permitió perseguir sus verdaderos intereses en las humanidades y las ciencias, en especial en la astronomía.

Durante sus primeros viajes por Europa se convirtió en experto en el diseño de instrumentos científicos y en hacer observaciones. A su regreso a Dinamarca ganó el favor del rey Federico II, quien le proporcionó apoyo económico para continuar con su investigación astronómica y le ofreció la pequeña isla de Hven en los estrechos daneses, donde Tycho comenzó la construcción de su complejo observatorio.

Para éste, diseñó enormes instrumentos con los cuales esperaba hacer las observaciones más precisas que se hubieran hecho jamás. El rey Federico murió en 1588 y sus sucesores en la corte real no apoyaron tanto a Tycho. En 1597, Tycho cambió Hven por el norte de Alemania, donde comenzó a trabajar en un libro que pretendía mostrar sus instrumentos, destacar su superioridad y la forma en que proporcionarían las mediciones que llevarían a «restaurar la astronomía».

Además del texto, el libro contenía planos e ilustraciones de los instrumentos de Tycho. Tycho terminó la obra en enero de 1598 e hizo imprimir 100 copias al impresor de Hamburgo Philip von Ohrs. Dedicó el libro al emperador del Sacro Imperio Romano, Rodolfo II, con la esperanza de obtener su patrocinio. Rodolfo adoptó con entusiasmo a Tycho y en 1598 le dio un castillo cerca de Praga para que continuara su trabajo astronómico.

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La muerte de Tycho en 1601 truncó su trabajo y sus asistentes, incluido el gran astrónomo alemán Johannes Kepler (1571–1630), se encargaron de continuar sus observaciones sistemáticas de planetas y estrellas. Aquí se muestra la edición de 1602 de la obra de Tycho, impresa en Nuremberg por Levinus Hulsius.

Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (Samos ca. 580 a. C. – Metaponto ca. 495 a. C.)
Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (Samos ca. 580 a. C. – Metaponto ca. 495 a. C.)

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.
Pitagóricos celebrando el amanecer. Óleo de Fyodor Bronnikov.

El Teorema de Pitágoras es la relación matemática que ocupa el primer lugar en el recuerdo de los tiempos escolares. Es, sin duda alguna, la más importante, conocida, útil y popular en casi todas las civilizaciones; la que más nombres, atención, curiosidad y pruebas ha recibido a lo largo de los siglos. Es un teorema que ha causado una gran admiración a todo tipo de personas –matemáticos y no matemáticos–, pero también una gran extrañeza y perplejidad a otras –Leonardo, Hobbes, Schopenhauer, Einstein, …– porque, a diferencia de otros teoremas, aparentemente  no  existe  ninguna  razón  intuitiva  para  que  los  cuadrados  construidos  sobre los lados de un triángulo rectángulo –la hipotenusa y los catetos– deban tener un vínculo tan estrecho entre sí.

La  verosimilitud  del Teorema  de  Pitágoras no  depende  de  un dibujo bien ilustrado sino que obedece por completo a un ejercicio intelectual puro alejado de lo sensorial –la deducción lógica– Por  eso,  para  muchos  historiadores  de  la  ciencia,  el Teorema de Pitágoras tiene un valor simbólico iniciático como elemento cultural  responsable  de  la  aparición  de  la  Geometría  racional en la Escuela Pitagórica y por tanto forma parte ineludible de la semilla básica de la propia naturaleza de la Matemática desde su origen como ciencia especulativa y deductiva en los albores de la civilización helénica.

La emergencia de este teorema en el horizonte histórico cultural, pero también en el horizonte escolar, señala el primer salto intelectual entre los confines de la especulación empírica e inductiva y los dominios del razonamiento deductivo. En efecto, el Teorema de Pitágoras pudo estar en el origen de la demostración –que caracteriza a la Matemática con respecto a las demás ciencias– ya que la prueba pitagórica del Teorema de Pitágoras tal vez haya sido la  primera  demostración  verdaderamente  matemática  de  la  Historia. Y  también  el Teorema de Pitágoras está situado en el umbral que inicia la práctica deductiva en el desarrollo de la Matemática escolar elemental.

El Teorema de Pitágoras aparece por doquier en la Matemática. Es la base de multitud de teoremas geométricos, de los estudios sobre polígonos y poliedros, de la Geometría Analítica y de la Trigonometría. –la fórmula cos2a + sen2a = 1 es un caso particular del Teorema de Pitágoras y el Teorema del coseno es una generalización del mismo–. La relación pitagórica x2 + y2 = z2

es la ecuación de la circunferencia y la raíz histórica del Análisis indeterminado de Diofanto y Fermat. El Teorema de Pitágoras también pudo ser el germen de la dramática aparición pitagórica de la inconmensurabilidad de gran trascendencia en la estructuración y sistematización  platónico-euclídea de la Geometría griega.

Al ser la fuente de casi todas las relaciones métricas de la Geometría, El Teorema de Pitágoras–como principal tesoro de la tradición pitagórica– tiene un valor práctico, teórico y didáctico inconmensurable. Como paradigma de la Matemática y de la Educación matemática, el más fascinante  y  célebre  teorema  geométrico  pertenece  al  imaginario  cultural  de  casi  todos  los pueblos.

Árbol Fractal Pitagórico
Árbol Fractal Pitagórico

Para una lectura del artículo completo puede consultarse el siguiente enlace:

EL TEOREMA LLAMADO DE PITÁGORAS. UNA HISTORIA GEOMÉTRICA DE 4.000 AÑOSPedro Miguel González Urbaneja

Y para una completa información puede también consultarse el libro: Boyer, Carl B.: Historia de la matemática. Alianza Universidad Textos, 1992.

En este clip, presento algunas pruebas del Teorema animadas en PowerPoint así, como la construcción de un árbol fractal pitagórico; verlo a pantalla completa y en HD es una opción. Espero sea de su agrado.

Cuarto problema de Apolonio (PPC)

Circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a otra circunferencia dada.
Circunferencia que pasa por dos puntos dados y es tangente a otra circunferencia dada.

En esta entrada presento un breve apunte geométrico del Cuarto problema de Apolonio, sigue de la entrada hecha ya en este blog, sobre los problemas 1 y 2 de Apolonio (Click aquí) y el tercer problema (click aquí)

En este cuarto problema se resuelve el caso de encontrar una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia dada. Como preliminares, introducimos la noción de Potencia de un punto respecto a una circunferencia y la de Eje radical.

El clip es una presentación PowerPoint pasada a vídeo, recomendable ver en HD a pantalla completa.

 

Fibonacci, El ángulo de Oro y la Filotaxia de las plantas.

Trillium

En esta presentación sólo abordamos una de las presencias del número áureo en la naturaleza: La filotaxia de las plantas. Espirales y pétalos forman parte de un conjunto de otros tres capítulos que tratan sobre la divina proporción y la naturaleza que iré posteando.

Ver en 720p, HD pantalla completa.

Vídeo: C. R. Ipiéns

Música: Clair de lune; Claude Debussy

La Cicloide: La Helena de la Geometría

La cicloide natural, una curva Braquistócrona y Tautócrona.

Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas. Fueron tantos los esfuerzos que dedicaron al estudio de sus sorprendentes propiedades que acabó por llamársele la “Helena de la Geometría”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”, aunque otras historias argumentan que, por lo disputada que fue entre los matemáticos de la época la resolución del problema planteado por Bernouilli.
¿El camino más corto es siempre el más rápido?
La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende sólo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.
La curva solución del problema es la cicloide:
En 1697 Isaac Newton recibe y resuelve el problema de la braquistócrona de Jean Bernoulli. El matemático suizo Bernoulli había desafiado a sus compañeros a resolverlo antes de seis meses. Newton no sólo resolvió el problema antes de ir a la cama esa noche después de que el desafío había sido publicado, además, inventó una nueva rama de las matemáticas denominada “cálculo de variaciones”. Desde ese momento, la cicloide recibió el nombre de braquistócrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo). Newton publica la solución de forma anónima, pero el trabajo brillante delata su identidad, y cuando Bernoulli observa la solución, da vida a la frase: “conocemos al león por sus garras”.
La braquistocronía no es la única propiedad curiosa de la cicloide. De hecho tiene una que es más sorprendente si cabe. Podríamos enunciarla de la siguiente manera:
Supongamos que tenemos una cicloide que “cuelga” hacia abajo y que dejamos caer a lo largo de ella dos bolas desde diferentes puntos. La cuestión es que da igual desde qué puntos las dejemos caer ya que las bolas llegan a la vez al punto más bajo.
Esta propiedad se denomina tautocronía (que significa mismo tiempo). El descubrimiento de la tautocronía de la cicloide es asociado a Huygens en 1673.

Ver enlace:http://pcmap.unizar.es/~pilar/cosicas.html

María Gaetana Agnesi y su “hechicera”.

María Gaetana Agnesi:

Su nombre está a veces en el índice de los libros de geometría analítica y de cálculo, siempre asociado a la curva llamada indebidamente, y ya sin posibilidad de enmienda, Bruja de Agnesi; los dos sustantivos son inciertos: Agnesi no descubrió esa curva, ni lo pretendió, y el nombre de “bruja” seguramente lo aportó el azar de una mala traducción al inglés, reproducida aguas abajo en español. Pero sobre todo, recordarla sólo por esa curva, un ejemplo más de su monumental tratado, no le hace justicia.
Para la historia de las matemáticas Agnesi es importante por su influencia en la divulgación del cálculo. También es uno de los personajes más citados en las reflexiones sobre el papel histórico de la mujer en la matemática: baste considerar que las Instituzioni analítiche son según algunos la obra matemática de autoría femenina más antigua que se conserva.

Aquí presento una pequeña síntesís de la historia de esta curva y su construcción.

Trópico de Capricornio

Trópico: DRAE (Del lat. tropĭcus, y este del gr. τροπικός).

Los trópicos son cada uno de los dos círculos menores que se consideran en la esfera celeste, paralelos al Ecuador y que tocan a la Eclíptica en los puntos de intersección de la misma con el coluro (En astronomía se llama coluro a cada uno de los dos meridianos principales de la esfera celeste, uno de los cuales pasa a través de los polos celestes y los puntos del equinoccio-coluro equinoccial-, y el otro pasa a través de los polos celestes y los puntos del solsticio –coluro solsticial-.) de los solsticios. El del hemisferio boreal se llama trópico de Cáncer, y el del austral, trópico de Capricornio.

Colure

El Trópico de Capricornio es el trópico del hemisferio sur. Es el paralelo situado actualmente (2012) a una latitud de 23º 26′ 16″ al sur del Ecuador (en el año 1917 estuvo en 23° 27′).

Esta línea imaginaria delimita los puntos más meridionales en los que el Sol puede ocupar el cénit (la vertical del lugar) a mediodía. En el Trópico de Capricornio, por lo tanto, los rayos solares caen verticalmente sobre el suelo en el instante en que ocurre el solsticio de diciembre, lo que acontece entre el 21 y el 22 de diciembre, fecha y hora dadas en tablas astronómicas en horario de tiempo universal coordinado (UTC).

Hito al Trópico de Capricornio. Región de Antofagasta, Chile
Hito al Trópico de Capricornio. Región de Antofagasta, Chile

El Trópico de Capricornio señala el límite meridional de la llamada Zona Intertropical, comprendida entre los trópicos de Capricornio y Cáncer.

Se le denomina «de Capricornio» porque en la antigüedad, cuando se producía el solsticio de invierno en el hemisferio sur, el Sol estaba en la constelación de Capricornio.

En la actualidad está en la constelación de Ofiuco, pero el nombre Trópico de Capricornio continúa siendo el aceptado por tradición.

El Trópico de Capricornio pasa a través de los siguientes países, partiendo del Meridiano de Greenwich hacia el oeste:

  • Brasil
  • Paraguay
  • Argentina
  • Chile
  • Polinesia Francesa (Francia) – justo al sur de Tubuai
  • Tonga – justo al norte de los Arrecifes Minerva
  • Islas del Mar del Coral (Australia) – justo al sur del arrecife Cato
  • Australia
  • Madagascar
  • Mozambique
  • Sudáfrica
  • Botsuana
  • Namibia

Acompaño esta entrada con este precioso Tryller del fotógrafo Greg Kiss, quien nos lleva por los países que atraviesa este trópico. La música es de Phil Curran.

Solsticios y Equinoccios: Chichén Itzá -Kukulcán-, Stonehenge y Maeshowe

El Templo de Kukulcán en Chichén Itza

El edificio más conocido de Chichén Itzá es el Castillo, también conocido como la Pirámide o la Casa Alta de Kukulcán, construida por los mayas antes de 800 d.C. Es famoso principalmente porque sus escaleras, rematadas inferiormente por dos cabezas de serpiente, en cada equinoccio, debido a los rayos del sol, proyectan un patrón de luz y sombra que simula el cuerpo de una serpiente bajando del templo a la tierra.

La pirámide tiene una base cuadrada 55.5 metros de lado, tiene 9 plataformas sobre las cuales se ubica el templo que la corona, la altura es de 30 m., 26 m. de la pirámide propiamente dicha más los 6 m. del templo que tiene encima. Está orientada en relación con el paso del sol por el cenit, y su fachada principal mira hacia el norte. Hay 4 escalinatas, una en cada lado, siendo la más importante la del norte porque conduce a la fachada principal del templo que tiene arriba. Cada escalinata tiene 91 peldaños que multiplicados por las 4, dan un total de 364 y tomando el templo como otro escalon da n total de 365 dias, la misma cantidad de dias que tiene un año.

La piramide es actualmente considerada una Nueva Maravilla del Mundo de acuerdo con la declaratoria de la convocatoria New 7 Wonders dada a conocer el 7 de Julio del 2007, y es el mas magestuoso de todos los templos Mayas.

Stonehenge

Como muchas veces ha ocurrido en la historia de los grandes descubrimientos, no fue un arqueólogo el que pudo determinar la edad de dicho monumento. Era un astrónomo. En 1901 Sir Norman Lockyer confirmó un secreto a voces que circulaba respecto a Stonehenge: una persona al pie de la “piedra del altar”, observando hacia la “piedra talón” podía observar con gran exactitud el sitio por donde sale el Sol durante el solsticio de verano, el 21 de junio. Lockyer confirmo que efectivamente la “piedra de altar” o el centro de Stonehenge se alineaba con la “piedra talón” apuntando al Sol, con tan solo un margen de error de 56 minutos de arco.

Sir Norman Lockyer había realizado uno de los más minuciosos estudios de la precesión de los equinoccios, fenómeno por el cual con el transcurso de los siglos el Sol presenta un desplazamiento con respecto a las constelaciones. Suponiendo que los constructores de Stonehenge hubiesen alineado el centro del conjunto con la “piedra talón” con una exactitud total, el calcular los 58 minutos de arco de diferencia con respecto al conocido desplazamiento de precesión, permitiría conocer en que fecha Stonehenge ya se ha erigido como templo solar. Los cálculos de Norman Lockyer le dieron la asombrosa fecha de 1800 aC. Posteriores dataciones con carbono-14 llevaron los inicios de Stonehenge hacia el 2800 aC. Con ello muchas teorías respecto a su origen asirio, micénico o griego quedaron descartadas. Hoy suponemos que alguna civilización neolítica de origen precéltico debió ser quien erigió este monumental conjunto.

Hoy conocemos más de la función de Stonehenge. Al igual que la “piedra de altar” y la “piedra talón” se alinean para mostrar el punto de salida del Sol en el solsticio de verano, de igual forma los dos montículos y menhires ubicados junto al foso circular están alineados para apuntar hacia las salidas y puestas de sol durante los solsticios de verano e invierno. También marcan las salidas y puesta de la Luna durante los solsticios de invierno. En otras palabras Stonehenge era un templo dedicado a los movimientos del Sol y de la Luna. Un arcano observatorio astronómico.

Este monumental calendario astronómico, que marca con extrema precisión entre otras medidas el solsticio de verano, no es el único en el Reino Unido; En la región de las Órcadas (Escocia) se encuentra el túmulo funerario de Maeshowe que nos marca también con absoluta precisión el solsticio de invierno.

Maeshowe

Maeshowe (también escrito Maes Howe) es un cairn, túmulo o apilamiento de piedras del Neolítico, y un enterramiento subterráneo situado en las Órcadas, en Escocia. Maeshowe y otros monumentos neolíticos cercanos, entre ellos el poblado de Skara Brae, fueron declarados Patrimonio de la Humanidad por la Unesco en 1999.

Maeshowe: 58° 59′ 56″ N, 3° 11′ 20″ E.

El nombre de “Maeshowe” también se utiliza para referirse a este tipo de enterramientos en forma de pasadizos, que no tienen similitud con ningún otro enterramiento, ni en las Órcadas ni en ningún otro lugar.

Fue construida empleando 30 toneladas de piedra arenisca, y su diseño hace que la entrada quede alineada para ser iluminada durante el solsticio de invierno.

Maeshowe: 58° 59′ 56″ N, 3° 11′ 20″ E.

Los fenómenos de solsticio y equinoccio son descritos de forma breve en el siguiente vídeo. Ver a pantalla completa en 720P HD.

Video: Solticios y Equinoccios: Una breve descripción.

Ver a pantalla completa 720p. HD.

Por: C. R. Ipiéns

Ada Lovelace: ¿Pionera de la Informática Moderna?; Una cuestión a debate.

Lord Byron con vestido Albanés

Es tu rostro como el de mi madre, ¡mi hermosa niña!

¡Ada! ¿Única hija de mi casa y corazón?

Cuando vi por última vez tus azules ojos jóvenes, sonrieron,

y después partimos no como ahora lo hacemos,

sino con una esperanza.

Despertando con un nuevo comienzo,

las aguas se elevan junto a mí; y en lo alto

los vientos alzan sus voces: Me voy,

¿a dónde? No lo sé; pero la hora llegará

cuando las playas, cada vez más lejanas de Albion,

dejen de afligir o alegrar mis ojos.

Así comienza el triste poema del legendario George Gordon Noel Byron (mejor conocido como Lord Byron) en el que se despide para siempre de su única hija legítima: Augusta Ada Byron.

La figura de Ada Byron surge en nuestro tiempo más cercano, a raíz de que en  2009  la  periodista y tecnóloga inglesa, Suw Charman-Anderson, decidió hacer algo para protestar ante la falta de   mujeres entre los ponentes y asistentes de las conferencias de tipo científico a las que acudía.

Hubo una votación para elegir a la mujer  que podía representar su iniciativa y se escogió a Ada Lovelace  Considerada la primera programadora informática de la historia, y lanzó una propuesta en la red invitando a bloggers  y periodistas a, el día 24 de marzo (La fecha de conmemoración mundial se ha trasladado al 16 de Octubre),  bautizado como el Día de Ada Lovelace, a escribir sobre mujeres que han tenido su peso en la historia de la ciencia y reconocer así su legado dándoles más visibilidad.

Cartel anunciador del día de Ada Lovelace

A raíz de este hecho han surgido numerosas biografías de nuestro personaje, muchas de ellas caracterizadas por su imprecisión y vaguedad, y la mayoría contradictorias entre sí.

Augusta Ada Byron nació el 10 de diciembre de 1815 en Londres, Inglaterra. Fue hija de George Gordon Noel Byron, el sexto Barón de Byron de Rochdale (1788- 1824) y Anne Isabelle (Annabella) Milbanke (1792-1860), a partir de 1856, por derecho propio, baronesa de Wentworth de Nettlested.

Anne Isabelle (Annabella) Milbanke

Su padre no necesita presentación, es considerado uno de los escritores más influyentes del Romanticismo. Su madre Annabella fue hija única de padres mayores, con excelentes conexiones familiares en el mundo de la política; religiosa, inteligente, dedicada al estudio de las Matemáticas y única heredera de una fortuna respetable. Excelente administradora de su fortuna estuvo involucrada en empresas educativas creando escuelas de oficios agrícolas e industriales para muchachos pobres. Mujer de ideas progresistas en una época de cambios sociales, científicos y tecnológicos, originados por la Revolución Industrial, a ella y a su hija Ada les tocó vivir el surgimiento de la tecnología.

Los comedores de patata, Vincent van Gogh

Annabella viajó a Londres en 1812 para ser presentada en sociedad y ahí conoció a Lord Byron. Después de que éste le pidió matrimonio por segunda ocasión, para sorpresa de casi todos, accedió a casarse con él a la edad de 23 años.

Sobre ellos dos , Lord Byron (antes de su matrimonio con Annabella) escribió: “somos dos  líneas paralelas que se prolongan infinitamente lado a lado pero que nunca se intersectan” (Toole , 1999, 7).

Su falta de compatibilidad resultó evidente muy pronto. Un año después de su nacimiento, sus padres se separaron, el 16 de enero de 1816. Uno de los argumentos de Annabella contra su marido fue el rumor de una relación incestuosa de éste con su media hermana, Augusta. De esta relación sería fruto su hija Medora Leigh. Los involucrados siempre lo negaron; lo único cierto es que este rumor amargó la vida de Annabella y, tiempo después, la de Ada.

A instancias de Byron, Annabella  llevó a Ada con sus padres a su casa de Kirby Mallory, con tan sólo un mes de edad. Aunque la ley inglesa daba de pleno derecho la custodia de sus hijos a los padres en los casos de separación, Byron no hizo ningún intento de reclamar sus derechos parentales. El 21 de abril, Byron firmó el Acta de Separación y abandonó Inglaterra unos días más tarde. Forzado a vivir en Suiza e Italia, y finalmente en Missolonghi, Grecia, donde murió de causas naturales en 1824, cuando contaba con apenas 36 años de edad.

Lord Byron en su lecho de muerte, por Joseph Denis Odevaer (1826).

Muchas de sus cartas y de sus poemas hacen alusión a la enorme tristeza que le embargó por no haber podido ver nunca más a su hija. Anna Milbanke, por su parte, intentó ocultar toda traza de la maldad de su padre a la pequeña Ada y decidió motivar en ella las matemáticas (una afición personal de Anna), y desalentar cualquier tipo de talento que le recordara a su ex-esposo (como la poesía, por ejemplo), en su afán de hacerla lo más diferente posible a Lord Byron.  A los 30, Ada le escribió, con cierto dejo de reproche a su madre: “si no puedes darme poesía, ¿no puedes al menos darme ciencia poética?” Esta inquietud poética dejó huella profunda en su trabajo matemático, pues siempre hizo acopio de enorme imaginación y solía describir los eventos con abundantes metáforas.

Jubileo, Reina Victoria

Según Elwin (1975), la enseñanza de las Matemáticas formó parte de la educación de Ada como un medio de disciplina moral y control de sus emociones para evitar el desarrollo de rasgos de carácter similares a los de su padre. Mostró desde un principio talento para las Matemáticas, aunque su pasión infantil fue la geografía. Su educación formal y sistemática empezó a los 5 años consistiendo en lecciones de aritmética, lectura, ortografía, geografía, dibujo, francés, música, geometría, historia y manualidades; a partir de su décimo cumpleaños se añadió el latín a sus estudios.

Ada Lovelece

En 1833 Ada fue presentada en sociedad. Al año siguiente entabló amistad con la llamada “científica del siglo XIX” y amiga de su madre, Mary Somerville, (1780-1872), la que se convirtió en su tutora, la puso en contacto con importantes científicos de la época y la invitó a conferencias científicas a las que asistía Mary con sus hijas. La señora Somerville fue una brillante matemática y astrónoma autodidacta quien cobró fama al traducir al inglés el libro “Traité de Mécanique Céleste” de Pierre-Simon Laplace.

Mary Somerville

Por desgracia para Ada, Mary tuvo que mudarse en 1838 a la ciudad de Florencia, Italia debido a los problemas de salud de su esposo. A pesar de este cambio de residencia, Mary mantuvo contacto epistolar hasta la muerte de Ada y continuó escribiendo libros; su último libro, “Molecular and Microscopic Science”, lo terminó de escribir a los 89 años, (Brück, 1996, 201-206).

Gracias a su protectora Mary Somerville, Ada conoció a Charles Babbage el 5 de junio de 1833 con motivo de una fiesta de sociedad. En ese tiempo Babbage ya era reconocido como un distinguido inventor y matemático inglés pues entre otras cosas, desde 1828 ocupaba la cátedra Lucasiana de Matemáticas de la universidad de Cambridge, la misma que había ocupado Newton. Se especula en (Romero, 2005) que Babbage y Ada pudieran haber tenido una relación distinta a la de amistad. Es dudosa tal posibilidad debido a la diferencia de ideas religiosas, clases sociales, caracteres de Lady Byron y él como puede leerse en (Schwarz, 2002, 376).

Charles Babbage, 1860
El 8 de Julio de 1835 Ada  con 19 años se casó con William King, octavo barón de King, y a partir de 1838, primer conde de Lovelace. Su nombre de casada pasó a ser desde entonces Lady Ada Augusta Byron King, condesa de Lovelace, nombre del cual nace su denominación moderna de (lady) Ada Lovelace.

William King

Se dice que la figura de su madre siguió dominando el matrimonio de Ada, y formó una especie de alianza con William King para mantener a Ada ocupada en sus propias aficiones y lejos de las responsabilidades sociales y familiares que le correspondían. La razón para este extraño acuerdo era que su madre intentaba controlar su temperamento tan similar al de su padre. Desgraciadamente, y pese a todo el apoyo que recibió de su esposo, la endeble salud de Ada nunca le permitió progresar en sus labores científicas tanto como ella hubiera querido.

La pareja se fue a vivir al campo, y tuvieron 2 hijos y una hija. Curiosamente fue su hija la única de los 3 descendientes de la pareja en seguir los pasos de su madre y su abuela, al mostrar un profundo interés en las matemáticas y convertirse, años más tarde, en una famosa experta en la lengua árabe.

Después del nacimiento de su hijo Ralph, Ada parece haber sufrido una crisis emocional (suponemos una situación del tipo “ya cumplí con parir un número razonable de herederos y ¿ahora qué hago con mi vida?”) por lo que empezó a buscar desarrollar una personalidad propia, una que no fuera la de la hija de Lady Byron, ni la de la esposa de Lord Lovelace, dedicándose de manera más seria al estudio de las Matemáticas y la Ciencia. Prueba de ello es su comentario a Faraday, en 1844, “ella (Ada) ya no era propiedad de su madre o de su marido.”

Michael Faraday por Thomas Phillips1841-1842

Irónicamente, Lady Byron consigue que Augustus De Morgan, profesor de Matemáticas en la Universidad Londres, la acepte como pupila en 1840. Una de las razones puede ser que éste estaba casado con una amiga de la familia, Sofia Frend, hija del Dr. Frend, antiguo tutor de Lady Byron y de su hija.

Augustus De Morgan

Se menciona la existencia de una carta en la que Ada le pide a Babbage diplomáticamente que le sirva como tutor de Matemáticas; éste no parece haberse interesado en serlo.

Se pudiera pensar que Babbage fue sexista o egoísta con Ada al no continuar trabajando tan estrechamente con ella después de la publicación de las Notas. Es necesario hacer algunas aclaraciones: Babbage sólo tuvo un asistente reconocido como tal en la literatura, Ada. En la bibliografía consultada no aparece nadie mencionado como su alumno, (Wilkes, 2002, 353-365). Babbage nunca dio una clase (lecture) en Cambridge aunque podía hacerlo pues tenía una cátedra. No tenía necesidad de hacer una “carrera académica”, porque él era rico. Además era muy irascible, basta recordar aquí el título de una de sus biografías “Irascible  Genius : The Life of Charles Babbage” (Genio irascible : La vida de Charles Babbage) escrita por B. V. Bowden y publicada en 1964. Así que se puede afirmar que muy posiblemente Babbage con Ada fue lo más generoso y lo menos sexista que podía ser.

Charles Babbage; La relación que llevaron por años hizo que Babbage reconociera el talento de Ada al grado de llamarle “La encantadora de números” (The Enchantress of Numbers).

Las Máquinas de Babbage

Charles Babbage propuso en 1821 a los miembros de la Royal Astronomical Society la idea de una máquina que se basaba en el cómputo de las diferencias entre números, de ahí que se llamara “Máquina de diferencias” (Difference Engine). Esta habría de servir como modelo para el cálculo de primas de las compañías de seguros (1859). Babbage era consciente ya en la fase de realización del proyecto de las limitaciones de su Difference Engine.

Comenzó entonces a construir una máquina de cálculo para todo fin que, en su opinión, habría de servir para “liberar de carga al intelecto humano”. Esta Analytical Engine se componía de cinco partes que, en lo esencial, las encontramos en las máquinas (PC’s) de la actualidad:

  1. Dispositivo de entrada de datos (números) en la máquina. Babbage utilizó tarjetas perforadas, que Jacquard había desarrollado en 1801 para el control automático de telares;
  2. Almacén, a modo de memoria, para el cálculo de los números necesarios y almacenamiento de las instrucciones de los programas. Babbage previó para ello tarjetas perforadas y engranajes.
  3. Unidad aritmética (Mill o Molino) para llevar a cabo las operaciones aritméticas.
  4. Dispositivo de control, que con ayuda de un programa habría de dirigir los diferentes pasos de cálculo. La unidad aritmética y la de control es lo que hoy en día llamamos Unidad central de procesos (CPU).
  5. Dispositivo de salida de datos, para lo que Babbage previó tarjetas perforadas y un surtido automático de diferentes tipos para una unidad de impresión.
Máquina Analítica de Babbage

El estado insatisfactorio de la mecánica de precisión no permitió, para desgracia de Babbage, construir una máquina segura, eficiente y económica.

De Babbage se podría decir, con todo derecho, que fue el padre espiritual de la Informática Moderna.

Charles Babbage, el padre de la Informática moderna.

No pudo conseguir apoyo económico por parte del gobierno inglés para esta nueva máquina, éste le fue negado en parte porque en el modelo anterior, la Máquina de Diferencias, ya se habían invertido £17, 000, no habiendo obtenido más que una parte de lo proyectado y por su notoria capacidad de hacerse de enemigos. Su Máquina Analítica fue evaluada como “de ningún valor” por uno de éstos por lo que el Primer Ministro Robert Peel determinó el abandono del proyecto en noviembre de 1842.

En el otoño de 1840 Babbage viajó a Turín para dar una serie de charlas esperando conseguir apoyo extranjero para la construcción de su Máquina Analítica. Allí un ingeniero y matemático sardo Federico Luigi, conde de Menabrea preparó un artículo en francés, basado en las exposiciones de Babbage, publicado en el número 82 de la revista Bibliothêque Universelle de Genève de octubre de 1842.

Luigi Federico Menabreaa

Después del carpetazo al proyecto dado por Peel y cuando copias de este artículo llegaron a Inglaterra, Lady Lovelace y el editor científico Charles Wheatstone acordaron, sin decirle nada a Babbage, que ella tradujera el artículo al inglés con intención de publicarlo como una manera de difundir el trabajo de éste en Inglaterra.

Cuenta el mismo Babbage su reacción a la traducción de Lady Lovelace (cita tomada de Fuegi & Francis, 2003, 19):

“Algún tiempo después de la aparición del trabajo [de Menabrea] la condesa de Lovelace me informó que ella había traducido este trabajo. Le pregunté porqué no había ella misma escrito un trabajo original sobre un tema que conocía tan íntimamente. A lo que  Lady Lovelace replicó que no se le había ocurrido. Entonces le sugerí que podría añadir  algunas notas al trabajo de Menabrea. Una idea que fue aceptada inmediatamente.” Las “notas” fueron varias veces más largas que el ensayo de Menabrea.

Notas de Ada Lovelace

La publicación de Ada (resultó ser) el primer trabajo que discutía la programación de una computadora en extenso; sería el único trabajo de este tipo hasta el siguiente siglo.

Un tema importante (del trabajo de Ada) fue el significado de la capacidad de la Máquina Analítica de ser programada usando las tarjetas perforadas (como las del telar) de Jacquard. (Gracias a la implementación de las tarjetas perforadas), escribió Ada: “…la Máquina Analítica teje patrones algebraicos de la misma manera que el telar de Jacquard teje flores y hojas.”

Telar de Jacquard

Ella enfatizó la importancia: “…de la capacidad de la máquina de bifurcarse hacia diferentes instrucciones basándose en ciertas condiciones…”

Escribió sobre los beneficios de la habilidad de la Máquina Analítica de reusar su código. Además, al describir los poderes de procesamiento simbólico escribió: “Suponiendo, por ejemplo, que las relaciones fundamentales de los sonidos…en la ciencia de la armonía y de la composición musical fueran susceptibles de tal expresión y adaptación, la Máquina podría componer piezas de música … de cualquier grado de dificultad y extensión…”

Y finalmente: “La Máquina Analítica no tiene pretensiones de originar ninguna cosa… Puede hacer cualquier cosa que nosotros sepamos ordenarle cómo lo haga.”

¿Mouse Vintage?

El resto de las notas de Ada estuvieron dedicadas a la mecánica de la programación de la Máquina Analítica, incluyendo una descripción del mecanismo de las tarjetas perforadas y de la notación para escribir programas.

Ada Lovelace y la Máquina de Babbage

Babbage había adoptado un formato tabular para expresar programas qu e Ada modificó en su publicación. Ada finaliza sus notas con su programa para el cálculo de los números de Bernoulli. El matemático suizo Jacob Bernoulli escribió sobre estos números en un libro clásico de probabilidad, Ars conjectandi (El Arte de la Conjetura), publicado por primera vez en 1713; se afirma que hay fragmentos de la correspondencia de Ada con De Morgan que prueban que ella los estudió en 1842. El programa de Ada para derivar los números de Bernoulli demostraba la capacidad de bifurcación condicional de la Máquina Analítica y usaba dos bucles. Fue mucho más ambicioso y complejo que cualquier programa que Babbage haya escrito para la Máquina.”

Mouse Vintage (Steampunk Rodentia)

Hay que hacer notar que Ada escribió un programa para una máquina de la que aún no existía un prototipo. Uno fue terminado en 1871, un poco antes de la muerte de Babbage y casi 20 años después de la muerte de Ada.

Mouse Vintage, Steampunk Rodentia

La única máquina (completa) de Babbage que existe es una Máquina de Diferencias que fue totalmente terminada en el año 2000, exhibiéndose en el Museo Británico de Ciencia en Londres, Inglaterra, probando que los diseños de Babbage eran posibles de ser construidos en su época.

Oficina de Censo

Este fue el trabajo más importante de su vida :

Sketch of the Analytical Engine invented by Charles Babbage, Esq. By L. F. MENABREA, (of Turin, Officer of the Military Engineers).

Originally published in French in 1842 in the Bibliothèque Universelle de Genève,     No. 82. A veces mencionado como “Notes by A. A. L.” 

Máquina de Babbage

Otros aspectos quizá menos conocidos de su corta vida.

En los últimos tiempos de la vida de Ada se sucedieron las crisis nerviosas, las deudas y los escándalos, como la agitada relación con John Crosse, un pendenciero corredor de apuestas. Y su salud empeoraba cada vez más. Para aliviar el dolor se dejó llevar por el alcohol y las drogas (tomaba una mezcla de cerveza, brandy, opio y morfina) que solo empeoraron su estado de salud.

Pero pongamos las cosas en su contexto:

Cuando se menciona su adicción al láudano, preparación compuesta de vino blanco, opio y otras sustancias, no se menciona que en el siglo XIX era común recetarlo a enfermos de asma, reumatismo, cólera, fiebre, insomnio y dolores de todo tipo. Con relación a su alcoholismo, no se menciona que se recetaba la ingesta de bebidas alcohólicas como remedio contra casi cualquier enfermedad. Hay que aclarar además que la noción de adicción a una droga no empezó a difundirse sino hasta los 1870’s , mucho después de la muerte de Ada. Su salud fue siempre delicada: enfermiza desde su infancia, se recuperó del sarampión y de una invalidez a consecuencia de éste, del cólera y sufrió por temporadas de ataques de nervios, reumatismo y problemas cardíacos. Su médico le recetó que tomara láudano y vino de manera rutinaria con lo que, como muchos pacientes en esa época, Ada se volvió adicta (Toole, 1999, 203). En resumen, Ada se convirtió en adicta a drogas que eran las “aspirinas” de la época (Zieger, 2006).

Receta de Vino de opio.

Ada, consciente de este desajuste vital, consigue alejarse del alcohol y las drogas dejándose llevar por otra obsesión: las apuestas. Incitados por sofisticadas recetas probabilísticas que les procurarían la riqueza que estaban perdiendo, Ada y Charles Babbage se introdujeron en el mundo de las apuestas de carreras de caballos, tan de moda en esta época. Ada se jugó su fortuna familiar y Charles lo poco que le quedaba.

La vida sentimental de Ada estuvo salpicada de escándalos. Solía flirtear con todos los hombres que conocía o que se movían a su alrededor. De hecho el que fuera su marido encontró más de 100 cartas de amigos de Ada que destruyó en cuanto cayeron en su poder. Y es que Ada era muy dada a escribir cartas.

Ada Lovelace

Ada tuvo tres hijos con William King: dos hijos y una hija: Bryon Noel Byron (nacido el 12 Mayo de1836), Annabella (22 de Septiembre de 1837 ) y Ralph Gordon (2 Julio de 1839). Scherezada Lovelace nacería en 1815, y fue la única descendiente en seguir los pasos de su madre, aparte de ser la única hija no nacida del matrimonio con King. Scherezada nació fruto de la pasión entre Ada y Sir David Brewster, responsable en la invención del caleidoscopio. Como si de una asombrosa casualidad o (si hay supersticiosos) de una maldición familiar se tratase, Scherezada murió al igual que su madre y que su abuelo, a la temprana edad de 36 años. Ada también era “practicante” del Mesmerismo y a la frenología.

En 1851, Annabella manda a su abogado a entrevistarse con Ada en su lecho de enferma, logrando arreglar los problemas económicos de Ada, que no eran tan grandes como los supuso su madre, junto con un acercamiento mutuo.

En agosto de 1851 Ada es informada de la gravedad de su enfermedad; a pesar de esto, sus ganas de vivir no disminuyen, muestra fortaleza y optimismo continuando sus estudios científicos hasta pocos meses antes de su muerte.

En agosto de 1852 le pide a su esposo que la entierren junto a su padre y éste promete cumplir su voluntad. Es posible que esta decisión haya sido motivada por el reconocimiento de que era, también, hija de su padre, pues comprende que tenía rasgos de su carácter en el suyo.

A finales de agosto de ese año tiene un paro cardiaco del que se recupera. Después de recobrar la conciencia, exhibe una conducta muy diferente a la acostumbrada y le pide a su marido que le perdone algo, no se sabe qué aunque por su reacción violentísima, se cree que Ada le confiesa haberle sido infiel con John Crosse, (Wooley, 1999, 369). Sobre tal cosa sólo se puede especular. Se sabe que Crosse aceptó destruir un poco más de cien cartas escritas por Ada que tenía en su poder a cambio de recibir el monto del seguro de vida de Ada, de esto informa, en una carta, su abogado y amigo, Woronzow Grieg, (Wooley, 1999, 376).

En los últimos días de su vida Ada es aislada de sus amigos y sometida a una preparación para la muerte dirigida por su propia madre. Ésta consiste en hacerla confesar todos y cada uno de sus pecados y vicios, los verdaderos y los imaginados por su madre también, además de hacer a su madre heredera y responsable de todos sus papeles y asuntos, (Wooley, 1999, 369).

El Día de Ada Lovelace

Ada muere en la noche del 27 de noviembre de 1852, después de que los médicos en un gesto de bondad le recetaran belladona (Atropa belladona), planta usada como narcótico capaz de causar estados de coma o la muerte , (Winstone, 2005, 62). El 3 de diciembre, sus restos fueron enterrados al lado de los de su padre, en la iglesia de Hucknall Torkard, en Nottinghamshir, Inglaterra, en una reunión póstuma de dos personajes que fueron tan semejantes pese a haber vivido tan distantes.

Llegado a este punto, donde hemos narrado someramente la biografía “standard” de Ada Lovelace, pongo en cuestión lo siguiente:

¿Pueden considerarse a Charles Babbage y Ada Lovelace pioneros de la Informática Moderna?, ¿Es Ada Lovelace el nombre más representativo de la mujer científica para asociarla al día de la mujer científica y tecnóloga? ¿Qué aportación real hacen tanto Babbage como Ada al campo de las matemáticas y la computación? ¿se han considerado máquinas como el ábaco, o las varillas de Napier, o la Pascalina de Pascal, o la máquina de Leibnitz, anteriores a Babbage en esta decisión?… estas preguntas están abiertas y me comprometo a dar mi opinión en una nueva entrada.

La cuadratriz de Hipias: La trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

Durante la segunda mitad del siglo V a.C. floreció en Atenas un grupo de maestros profesionales muy distintos de los pitagóricos. A los discípulos de Pitágoras les había sido prohibido aceptar ningún tipo de pago por compartir sus conocimientos con los demás, mientras que los sofistas, que así se llamaban estos maestros, se ganaban la vida abiertamente enseñando a sus conciudadanos, y no sólo en cuestiones intelectualmente honradas, sino también en el arte de  <<hacer que lo peor parezca lo mejor>>.

Partenon -Atenas-
Partenon -Atenas-

Hasta cierto punto la acusación de superficialidad dirigida contra los sofistas era merecida, pero esto no debiera ocultar el hecho de que los sofistas solían estar informados ampliamente sobre muy diversos temas, y de que algunos de ellos hicieron contribuciones importantes al saber de su época. Entre estos últimos estaba Hipias, natural de Ellis y que desarrolló su actividad en Atenas durante la segunda mitad del siglo V a.C. Se trata de uno de los primeros matemáticos de los que tenemos información sobre él en dos de los diálogos de Platón, “Hipias Mayor o de lo bello” e “Hipias Menor o de la mentira”; En ambos Sócrates se muestra muy severo con Hipias y el diálogo entre ambos se vuelve un tanto agrio, con continuos reproches socráticos. Pudiera parecer que Sócrates tuviera envidia o celos por este afamado “sabio”, el único que le podía hacer sombra.

edadoscura

Los conocimientos de Hipias sobre geometría podrían dejar a Platón perplejo (recordemos que en la entrada a la Academia de Platón había una inscripción con la leyenda “No entre aquí nadie que no sepa geometría”).

Hipias de Ellis
Hipias de Ellis


Sin embargo, lo que seguramente más desagradaba a Platón es que tantos conocimientos estuvieran en posesión de alguien tan vanidoso, que defendía el relativismo moral, incapaz de establecer principios y con inclinación a saber de todo antes que a conocer algo en profundidad.

Hipias consideraba la ley no sólo como algo convencional, sino que además afirmaba que era contraria a la naturaleza. Por ello defendía la autonomía y autarquía del individuo y su derecho a rebelarse contra las leyes, porque siempre oprimen a los más débiles. Recomendaba una vuelta a la naturaleza, pues la vida en sociedad va contra la naturaleza. Se trata quizá del primer “libertario” griego.

El sofismo fue muy criticado y corregido por los grandes intelectuales de la antigua Grecia, pero sobre todo por Sócrates, Platón y Aristóteles.

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La muerte de Sócrates. Jacques-Louis David, 1787

En la actualidad podemos ver individuos que nos recuerdan en su aspecto más lucrativo a estos célebres pensadores griegos. Específicamente en el campo de lo que llaman “superación personal”, pseudos-filósofos emiten (venden) conferencias, libros, artículos y demás mercancía. Estos individuos se valen de argumentos sentimentales y alejados de todo conocimiento verdadero, se convierten en “excelentes” mercaderes, sin importar si en realidad ayudan a las personas. En ningún caso igualan sus conocimientos a estos pensadores de los que tratamos en esta presentación.

Para el sofista, en su aspecto más negativo, el saber tiene una finalidad lucrativa,  para el filósofo, un camino hacia la plenitud humana.

Existen tres problemas principales que preocuparon a los matemáticos griegos y que no pudieron resolver geométricamente, sólo con la ayuda de una regla (sin graduación) y un compás. Se trata de la duplicación del cubo, de la trisección de un ángulo (ambos problemas están relacionados con la obtención de la raíz cúbica de un número entero con métodos geométricos) y la cuadratura del círculo, relacionado con la trascendencia del número pi (pi no puede ser obtenido algebraicamente con ningún polinomio). Fue Proclo y otros comentaristas los que atribuyen a Hipias la invención de esta curva que aquí tratamos , que recibe el nombre de “trisectriz de Hipias”, que es una curva que permite realizar la trisección de un ángulo y que posteriormente Dinóstrato utilizó también para hallar la cuadratura del círculo, denominándose por ello: cuadratriz.

LO que en esta presentación destacamos es la aportación a la geometría mecánica que hace Hipias con su trisectriz y posteriormente llamada cuadratriz para la resolución de los dos problemas anteriormente mencionados: la trisección de un ángulo y la cuadratura del círculo.

Preferible ver en HD /720P y pantalla completa.

La Cisoide de Diocles; La duplicación del cubo: algo de historia

Grecia, patria del conocimiento de occidente.

Existen tres problemas principales que preocuparon a los matemáticos griegos y que no pudieron resolver geométricamente, sólo con la ayuda de una regla (sin graduación) y un compás. Se trata de la duplicación del cubo, de la trisección de un ángulo (ambos problemas están relacionados con la obtención de la raíz cúbica de un número entero con métodos geométricos) y la cuadratura del círculo, relacionado con la trascendencia del número pi (pi no puede ser obtenido algebráicamente con ningún polinomio). Fue Proclo y otros comentaristas los que atribuyen a Hipias la construcción de la cuadratriz , que recibe también el nombre el nombre de “trisectriz de Hipias”, que es una curva que permite realizar la trisección de un ángulo y que posteriormente Dinóstrato utilizó también para hallar la cuadratura del círculo, denominándose por ello: cuadratriz. Nota: Esta curva y su construcción ha sido tratada en este blog, este es el enlace: Cuadratriz.

Cuadratriz de Hipias

Los griegos, intuitivamente llegaron a concluir que los tres problemas no se podían resolver sólo con regla y compás; debieron pasar aproximadamente dos milenios para que Lamber y Legendre demostraran que el número π no es racional (siglo XVIII). Fue hasta 1882, que Linderman, en una memoria publicada en los Mathematische Annalen demuestra que el número π es trascendente, siguiendo un proceso similar al descubierto por Hermite en 1873 con respecto a la trascendencia del número e.

En 1837, Pierre Wantzel publicó en el Journal de Liouville la demostración del siguiente teorema: “Un número real es construible con regla y compás si verifica dos condiciones (además son necesarias y suficientes): (1) El número es algebraico sobre Q; (2) El polinomio irreducible que lo contiene como raíz es una potencia de 2” . Con este resultado Wantzel pone fin a la antigua polémica sobre si un problema geométrico puede o no ser resuelto mediante regla y compás, demostrando así que los tres problemas son irresolubles con las condiciones impuestas en sus inicios.

Algo de Leyenda sobre la duplicación del cubo.

Según el historiador griego Plutarco, los habitantes de la ciudad griega de Atenas sufríeron una epidemia de peste allá por el 429 a.C. Como adoraban al dios Apolo y éste era patrón de la ciudad de Delfos, algunos atenienses fueron a Delfos a consultar a un oráculo de este dios griego sobre cómo podrían detener la epidemia.

Delfos

El oráculo les respondió que debían sustituir el altar a Apolo por otro del doble de volumen (desde luego, una respuesta de dudosa utilidad). El altar era cúbico, y los griegos eran muy aficionados a la geometría. Así que se planteó el dilema de cómo calcular el lado u>0 de un cubo de volumen doble de otro cubo dado, de lado a>0. Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Evidentemente, la ecuación a resolver era:

u3=2a3

siendo a conocido y u incógnita. Nosotros sabemos despejar u en esa ecuación, pero lo que los griegos querían no era despejarla sino construir el nuevo altar.

Pero veamos con algo de más detenimiento como evolucionó la solución de este problema sin regla graduada y compás.

Hipócrates de Quíos y la duplicación del cubo

Isla de Chios -Grecia-

Hipócrates de Quíos fue un matemático, geómetra y astrónomo griego, que vivió aproximadamente entre el 470 y el 410 a. C..

Hipócrates de Quios

Nació en la isla de Quíos, enfrente de las costas de la actual Turquía. Hipócrates de Quíos es conocido por su cuadratura de la lúnula, esto es, la cuadratura mediante regla y compás, de una lúnula de características muy específicas.

Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo. Para ello se valió del teorema que afirma que «la razón entre el área de dos círculos es la misma que la razón entre el cuadrado de sus radios».

Este estudio sobre Hipócrates, sus lúnulas y la cuadratura del círculo serán objeto de una futura entrada en este blog.

Las Lúnulas de Hipócrates. Solución parcial de la tarea «cuadratura del círculo», sugerida por Hipócrates. La superficie de la figura sombreada es igual a la del triángulo ABC. No es una solución completa del reto (la solución completa se ha demostrado que es imposible con regla y compás).

Las proporciones continuas

En relación con la duplicación del cubo probó que esta era posible siempre que pudieran encontrarse medias proporcionales entre un número y su duplo.

Las cuadraturas de Hipócrates tienen una gran importancia, no tanto como intentos dirigidos a la cuadratura del círculo cuanto como reflejo del nivel de la matemática de la época, ya que nos muestran hasta qué punto dominaban los matemáticos atenienses de la época las transformaciones de áreas y las proporciones. En particular no tenían evidentemente ninguna dificultad en convertir un rectángulo de lados “a” y “b” en un cuadrado, lo que requería hallar la media proporcional o geométrica entre sus lados; es decir, que si debía verificarse la proporción a/x=x/b, los geómetras de la época sabían perfectamente construir el segundo “x”. Era natural, pues, que estos mismos geómetras intentaran generalizar el problema al de interpolar dos medias  entre dos magnitudes dadas “a” y “b”; es decir, dados dos segmentos a y b intentaran construir otros dos segmentos x e y tales que a/x=x/y=y/b. Se dice que Hipócrates fue el primero en reconocer que este problema es equivalente al de la duplicación del cubo si tomamos b=2ª, ya que entonces la proporción continua conduce, por eliminación de y, a la conclusión de que x3=2a3 , es decir, a la obtención de la raíz cúbica de 2.

Arquitas y la duplicación del cubo

Arquitas fue un filósofo, matemático, astrónomo, estadista y general contemporáneo de Platón. Nació en Tarento (Magna Grecia, hoy Italia) en el año 428 a. C. y falleció en un naufragio en el mar Adriático en el año 347 a. C. Fue alumno de la escuela de Filolao de Crotona. Más tarde aprendió matemáticas de Eudoxo de Cnidos, siendo a su vez maestro de Menecmo. Influenció a Euclides.

Columnas dóricas en Tarento, sur de Italia, antigua Magna Grecia.

Es muy probable que Arquitas tuviera acceso a algún tratado anterior sobre los elementos de la matemática y, de hecho, el proceso iterativo para el cálculo de raíces cuadradas que se conoce a veces con el nombre de Arquitas había sido usado mucho antes en Mesopotamia (Ver entrada en este blog: Matemáticas en Mesopotamia). No obstante sabemos que a Arquitas se le deben también algunos resultados originales importantes. Su contribución más sorprendente fue, sin duda, una solución tridimensional al problema de la duplicación del cubo de Delfos, que podemos hoy haciendo uso de la geometría analítica explicar de manera sencilla:

Sea “a” la arista del cubo que hay que duplicar, y considérense tres circunferencias de radio “a” con centro en el punto (a,0,0) y situadas cada una en un plano perpendicular a cada uno de los ejes de coordenadas. Por la circunferencia perpendicular al eje OX trácese el cono circular de vértice el origen (0,0,0); Sobre la circunferencia situada sobre el plano OXY considérese el cilindro circular recto de eje paralelo al eje OZ, y hágase girar por último la circunferencia situada en el plano OXZ alrededor del eje Oz para generar así un toro. Las ecuaciones de estas superficies son respectivamente,  x2=y2+z2, 2ax=x2+y2  y (x2+y2+z2)=4 a2(x2+y2), estas tres superficies se cortan en un punto cuya coordenada “x” es  a. 3 V2, exactamente la arista del cubo buscado.

Menecmo y la duplicación del cubo

Menecmo (ca. 380 – ca. 320 a. C. ) fue un matemático y geómetra griego. Nació en el primer tercio del siglo IV antes de Cristo, en Alopeconnesus (actualmente en Turquía). Era hermano de Dinóstrato.

Alopeconnesus (actualmente en Turquía)

Fue discípulo de Platón y Eudoxo, y tutor de Alejandro Magno.

Su estudio teórico de las secciones cónicas fue célebre en la antigüedad, por eso estas curvas tuvieron el nombre de curvas de Menecmo.

Menecmo no podía prever la cantidad de bellas propiedades que el futuro se iba a encargar de descubrir en sus curvas. El había dado con las cónicas como  resultado de una afortunada búsqueda de curvas que tuvieran las propiedades requeridas para resolver el problema de la duplicación del cubo.

Parabológrafo de Cavalieri basado en la teoría de proporciones de Menecmo.

Utilizando la notación moderna puede obtenerse fácilmente la solución del siguiente modo:

Si queremos duplicar un cubo de arista “a” construiremos dos parábolas como secciones de un cono recto, una de “latus rectum a (eje vertical)” y otra de “latus rectum 2.a (eje horizontal)” . El punto de intersección de estas dos parábolas tendrá de coordenadas (x,y) que satisfacen la proporción continua establecida por Hipócrates de Quios: a/=x/y=y/2.a , con x= a.3V2, e y= a.3V4, siendo x la arista del cubo buscado.

Es probable que Menecmo supiera también que la duplicación del cubo se puede obtener de la intersección de una hipérbola (xy=a2) y una parábola (y2=(a/2).x)

La Cisoide, Diocles y la duplicación del cubo.

Diocles (Διοκλῆς en griego antiguo , ca 240 AC -.. ca 180 aC) matemático y geómetra griego.

Aunque se sabe poco sobre la vida de Diocles, se sabe que fue contemporáneo de Apolonio y que floreció hacia finales del siglo tercero antes de Cristo y el comienzo del segundo siglo antes de Cristo.

Fragmentos de una obra de Diocles titulada  Los espejos incendiarios fueron conservados por Eutocius en su comentario dirigido a  Arquímedes “Sobre la esfera y el cilindro”. Históricamente, su obra los espejos incendiarios tuvo una gran influencia sobre los matemáticos árabes, especialmente en al-Haytham , el gran pensador del siglo 11 de El Cairo, a quien los europeos conocían como “Alhazen”.

Ibn al-Haytham (Alhacen)

El tratado contiene dieciséis proposiciones que están probadas por las secciones cónicas . Uno de los fragmentos contiene proposiciones (siete y ocho), que proporcionan una solución al problema de dividir una esfera por un plano de modo que los dos volúmenes resultantes están en una relación dada. La proposición diez da una solución al problema de la duplicación del cubo. Esto es equivalente a resolver una cierta ecuación cúbica . Otro fragmento contiene proposiciones (once y doce), que utilizan la cisoide para resolver el problema de encontrar dos medias proporcionales entre dos magnitudes.

Las distintas ecuaciones, polar, paramétricas e implícita de la cisoide:

En este clip, presento la construcción de la cisoide y la obtención de un segmento de longitud la raíz cúbica de 2. (Ver a 720p, pantalla completa en HD)

Caos y Fractura

Geometría fractal y caos (ver artículo).http://www.carlosmanzano.net/articulos/ripiens.html

En 1996, cerraba un artículo – Caos y Fractura- que publiqué en la revista de ciencias Spin Cero, de este modo:

…Asistimos con el posmodernismo a un proceso de desnaturalización de todos los contextos que rodean al ser humano y a la vez al propio ser humano. De este modo, los grandes centros de poder de este planeta codician el control de la tecnología de la computación, tecnología que será la herramienta indispensable para controlar lo que ya, no a tan largo plazo, será nuestro nuevo hábitat: el ciberespacio. Frente a esta realidad tan incierta, la figura del hombre se hace cada vez más confusa, se encuentra en parte desterrada en un mundo cada vez más fluctuante y fragmentado.

El individuo se diluye así, bajo el efecto del byte, mientras que el tratamiento informático lo reduce a la existencia estadística para constituir un efectivo, un mercado, un público, un electorado, o simplemente una muestra en un sondeo.

Nos encontramos en el instante de la historia donde se dibuja un horizonte, en el que la creación y la curiosidad dan paso al aburrimiento, la educación a la programación de los individuos; un mundo donde la cultura se atrofia mientras que la ciencia y sus aplicaciones se hipertrofian en todo caso mucha ciencia y poca conciencia.

¿Qué ocurrirá cuando el ser humano quede desnaturalizado y considerado una construcción, un artificio, como cualquier otra cosa? ¿Ese será el momento de la fractura?

Parece que el tiempo me esté dando razón…

Puede leer el artículo completo aquí: 

Caos y fractura, por: C.R. Ipiéns. Revista de Ciencias Spin Cero.

…mientras que las máquinas se encuentran inquietantemente vivas, el ser humano permanece preocupantemente inerte…” D. Haraway

El Área y la Integral: Algo de Historia

Introducción

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Encontrar la tangente a una curva, y hallar el área limitada por una curva, han sido dos problemas geométricos tratados sistemáticamente a lo largo de la historia por el cálculo; ambos quedan resueltos por medio de un “paso al límite” y ambos como veremos están íntimamente ligados.

Por intuición sabemos todos lo que es un área, del mismo modo que creemos saber los significados de longitud, tiempo, velocidad, volumen…; somos también conscientes de que estamos utilizando estas palabras en dos sentidos: unas veces para significar una cantidad física y otras veces para significar una «medida» de dicha cantidad. Por ejemplo la palabra «área» significa un pedazo libre de terreno llano, pero para evitar circunloquios decimos el área es de 5 fanegas donde la palabra área quiere decir la medida del área. El uso y su significado queda por lo general claro a través del contexto.

Algo de Historia

Las culturas babilonias y egipcias son ya precursoras de una incipiente geometría muy aritmetizada. En ambas culturas (los babilonios, parece ser, fueron mejores algebristas que los egipcios y peores geómetras) se relacionaba el área de una figura plana con su perímetro. Se conocían métodos correctos para obtener áreas de triángulos y rectángulos, y buenas aproximaciones a partir de la comparación con el cuadrado del pentágono, hexágono…(2200a.C).

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El paso siguiente de obtener áreas de figuras planas limitadas por curvas específicas, tales como un arco parabólico, no se alcanzó aparentemente hasta los tiempos de Arquímedes (287-212 a.C.). Antes, Antifonte (430 a.C.) y Eudoxo (409-356 a.C.), como nos ha transmitido Euclides en sus Elementos, obtienen el área de un círculo mediante una sucesión de polígonos regulares inscritos y calculan volúmenes como los del cono, la pirámide…

ARQUÍMEDES Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN

Arquímedes - José de Ribera - 1630. Óleo sobre lienzo. Museo del Prado.
Arquímedes – José de Ribera – 1630. Óleo sobre lienzo. Museo del Prado.

Se suele citar a Arquímedes como el precursor del cálculo integral. En su libro SOBRE LA CUADRATURA DE LA PARÁBOLA, nos presenta el conocido Método de Exhaución (Agotamiento); de un modo sencillo puede describirse así: dada una región cuya área deseamos determinar, se inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada, y cuya área sea conocida o de fácil cálculo. Luego se elige otra región poligonal que dé una aproximación mejor, continuándose el proceso tomando cada vez polígonos de mayor número de lados y que tiendan a llenar la región dada inicialmente.

Arquímedes utilizó el método exhaustivo para conseguir el valor aproximado del número π.
Arquímedes utilizó el método exhaustivo para conseguir el valor aproximado del número π.

Una de sus comprobaciones elementales consistía en recortar la región en un material de densidad uniforme y comparar su peso con el de una forma poligonal del mismo material y de área conocida. Más allá del cálculo de algunas áreas limitadas por curvas, es el método (esencialmente el mismo que utiliza Cauchy y Riemann) el que lo hace precursor del cálculo integral. En él se deja entrever la construcción de una sucesión de valores, su convergencia y la unicidad del límite.

Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito de la figura inferior.
Arquímedes demostró que el área del segmento parabólico de la figura superior es igual a 4/3 de la del triángulo inscrito de la figura inferior.

EL SIGLO XVII

bonaventura cavalieri 1598-1647
bonaventura cavalieri 1598-1647

 En los diecinueve siglos que separan a Arquímedes de Cavalieri no se encuentran progresos esenciales en la vía abierta por el “Siracusano”. Buenaventura Cavalieri (1591? – 1647) es otro gran precursor del cálculo integral, y su Geometría Indivisíbilus Continuorum (1645) significa un progreso considerable en dirección distinta a la de Kepler. Mientras el gran astrónomo alemán persiste en la vía arquimediana de sumar los elementos infinitesimales en que se descompone cada figura, vano empeño casi siempre, el jesuita italiano evita la sumación directa y se limita a comparar dos figuras para deducir la extensión de una mediante la otra. Cada recinto plano lo considera como suma de infinitos segmentos paralelos, y cada cuerpo como suma de sus infinitas secciones paralelas. Tales segmentos y secciones planas son los llamados “indivisibles” de Cavalieri. No se sabe cuales fueran los indivisibles de Galileo, que también estaba en posesión de una teoría análoga, pues no llegó a publicar nada, pero en su obra “Discursi” (1638) efectúa una verdadera integración de la función g.t, para llegar a la ley de caída de los graves: ½.g.t2

Mientras que el método exhaustivo (agotamiento) utilizado por Arquímedes opera sobre las propias figuras, el método de los indivisibles sustituye a una figura dada por la suma de una infinidad de elementos que tienen una dimensión menos.

El tratado de los indivisibles de Cavalieri es oral y no muy claro. El autor no dice en ninguna parte de su obra qué entiende exactamente por el término «indivisible»  que caracteriza a los elementos infinitesimales utilizados en su método.

El resultado fundamental de la geometría de Cavalieri es su famoso principio (ver Nota 1): dos figuras planas o espaciales que tienen equivalentes sus secciones paralelas son equivalentes.

«Si dos áreas planas son tales que toda paralela a una dirección dada las corta, según segmentos cuyas longitudes están en una proporción constante, las áreas están en la misma razón» (Figura1)

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Principio de Cavalieri: ambas torres de monedas tienen el mismo volumen, no importa la inclinación sino el área de cada sección y la altura total.

 Estas afirmaciones son prácticamente equivalentes a los razonamientos actuales del tipo: Se dan dos figuras limitadas por el eje OX, las rectas x=a, x=b y las curvas dadas por y1 =f1(x) , y2=f2(x). La relación entre las áreas, viene dada por:

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John Wallis

Jhon Wallis por Sir Godfrey Kneller, Btoleo sobre lienzo, (1701)
Jhon Wallis por Sir Godfrey Kneller, Bt
oleo sobre lienzo, (1701)

Gran progreso estaba reservado al cálculo integral, por obra de Jhon Wallis (1616 – 1703), que abandona el método geométrico de los matemáticos continentales, abordando la integración aritméticamente; y para poner de manifiesto su designio, titula su obra Arithmetica Infinitorum (1655).

Mientras que Cavalieri había llegado al resultado: Estas afirmaciones son prácticamente equivalentes a los razonamientos actuales del tipo: Se dan dos figuras limitadas por el eje OX, las rectas x=a, x=b y las curvas dadas por y1 =f1(x) , y2=f2(x). La relación entre las áreas, viene dada por:

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Con este principio llega en 1647 a resultados que equivalen, con el tecnicismo actual, a calcular las integrales de las potencias xn de exponente natural. por medio de una laboriosa correspondencia entre indivisibles, Wallis abandona el marco geométrico y en su Arithmetica Infinitorum aritmetiza la Geometría Indivisibilibus de Cavalieri.

Básicamente su idea consiste en asociar valores numéricos a los infinitos indivisibles deCavalieri.

Para ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva   y= xk (k = 1, 2,. . . ) y sobre el segmento [0, a].

Siguiendo a Cavalieri, Wallis considera la región PQR formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una de ellas con longitud igual a xk.

Wallis

Por tanto, si dividimos el segmento PQ = AB = a en n partes de longitud h = a/n, donde n es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo

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Análogamente, el área del rectángulo ABCD es:

Imagen5

La razón entre el área de la región PQR y el rectángulo ABCD es:

Imagen6

Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de esta expresión para n infinito.

Después de estudiar varios casos para valores de k = 1, 2, 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintos valores de n = 1, 2, 3, 4, por ejemplo para k=2, se tiene:

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Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débil base, acaba afirmando que para n infinito y para todo k = 1, 2, . . . , se verifica que:

bbb

Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región PQR

tggg

Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la validez de la igualdad (6) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamiento tiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial.

Junto a los antes mencionados Cavalieri y Wallis, merecen destacarse en el mismo orden matemáticos como Descartes (1596–1650), Pascal (1623–1662) y Fermat (1601–1665).

Isaac Barrow (1630-1677), profesor de Isaac Newton.
Isaac Barrow (1630-1677), profesor de Isaac Newton.

Barrow (1630–77), fue el primero que ideó la determinación de la tangente mediante el cociente de incrementos y quién en 1669 mostró mediante su regla que el problema de las tangentes se relaciona con el problema del área limitada por una curva, vinculándolo así con el cálculo integral, que evolucionaba desde tiempos más remotos por cauces muy distintos. Desde entonces ambos problemas se entrelazan y se complementan, por lo que su evolución histórica debe seguirse simultáneamente.

La importancia de la regla o resultado de Barrow no se puede ponderar suficientemente:

Para una función continua, si consideramos la Integral Definida como una función de su límite superior:

nbvc

Entonces se demuestra que F es derivable y que además F´(x)=f(x). Representa la sencilla fórmula:

uytre

Nexo de unión, como sabemos, conocido como Teorema fundamental del Cálculo, que nos informa como la derivación deshace la integración y la integración deshace la derivación. Nace el concepto de Función Primitiva, herramienta para el cálculo de la integral definida, concepto que no podemos confundir con el propio de la integral definida. La integral definida la interpretamos como un área y la función primitiva será la herramienta natural para su cálculo.

El cálculo integral de Arquímedes, que se proponía la evaluación de áreas por artificios de sumación tan ingeniosos como infecundos y el cálculo diferencial, nacido en el siglo XVII, para la resolución del problema de la tangente, por obra de Fermat, Pascal, etc. Disciplinas ambas que parecían condenadas a la esterilidad, de cuya conjunción expresada por la fórmula anterior nació el Análisis Moderno, por obra de Leibnitz (1646–1665) y Newton (1642–1727), descubridores y responsables del desarrollo de las ideas básicas del cálculo integral. Su mayor logro fue relacionar el cálculo integral con el cálculo diferencial, inaugurando así una etapa de desarrollo sin precedentes de la matemática.

Siglos XIX y XX

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En la segunda mitad del siglo XIX y principios de XX, la clarificación del concepto de integral hace estudiar con precisión el concepto de área con carácter general, y aclarar los dos problemas fundamentales: ¿Cómo se puede definir el área? ¿Tiene área cualquier región del plano? ¿Cómo puede calcularse el área de una región? Cauchy (1789 –1857), a principios del siglo XIX, Riemann (1826 –1866), a mediados del XIX y Lebesgue (1875 – 1941), a principios del XX, han sido los sucesivos constructores del cálculo integral, habiendo en este siglo extensiones muy importantes con las que se ha podido abordar problemas inaccesibles con las herramientas clásicas. Así, hablando grosso modo, la construcción de la integral definida.

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debida a Cauchy nos proporciona un método para medir la región (Trapecio Mixtilíneo) asociada a una función real no negativa y continua en un intervalo compacto de R que puede resumirse en la siguiente idea:

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Para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función positiva f definida en [a,b], se divide el intervalo [a,b] en un cierto número de subintervalos, por ejemplo «n», designando por Dxk la longitud del k-ésimo intervalo, se consideran las sumas de la forma:

a

en donde tk designa un cierto punto del intervalo k-ésimo Dxk . Una suma de este tipo es una aproximación mediante rectángulos del área que intentamos calcular.

Si f es una función con comportamiento suficientemente regular en [a,b] – por ejemplo continua- entonces cabe esperar que estas sumas tengan un límite cuando n se hace infinito, si hacemos las subdivisiones cada vez más finas.

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La noción de Integral de Riemann ofrece un método para extender la noción anterior a funciones «más generales» eludiendo la hipótesis de continuidad dada en Cauchy y ampliándola a funciones acotadas no demasiado discontinuas. (ver nota 2).

Existe otra generalización de la Integral de Riemann, la conocida Integral de Lebesgue (ver Nota 3).

Puede decirse que la integral de Riemann
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está bien construida, es fácil describirla y es útil a todas las necesidades del Cálculo elemental. Sin embargo, esta integral no cubre todas las necesidades del Cálculo superior.

Que las funciones muy discontinuas resulten no integrables es un primer inconveniente de la integral de Riemann, desde otra perspectiva la integral de Riemann posee un comportamiento anormal respecto a la operación del paso al límite, en el sentido que pueden encontrarse sucesiones de funciones integrables Riemann que convergen a una función no integrable Riemann.

El intento de Lebesgue de medir conjuntos arbitrarios de puntos de la Recta Real y de modelar un nuevo concepto de función para establecer el de función medible tiene su origen en los dos inconvenientes presentados anteriormente a la Integral de Riemann.

En un trabajo, ya clásico, -Integral, Longuer, Aire- publicado en 1902, Lebesgue da la definición de «medida» para un conjunto de puntos y lo aplica al desarrollo de esta nueva integral, estableciendo el concepto de medida de un conjunto como una fuerte generalización del concepto de longitud de un intervalo; La definición de medida que proporciona Lebesgue es la base de la definición de integral que lleva su nombre.

En su trabajo, Lebesgue, recurre a la Teoría de Conjuntos, a un nuevo concepto de función (Cantor-Borel) y a su Teoría de la medida para forjar su integral.

En la Integral de Lebesgue se cumplen un mayor número de Teoremas de convergencia.

Si una sucesión de funciones {fn } converge puntualmente hacia una función límite f en [a,b], sería deseable poder concluir que:

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con un mínimo de hipótesis adicionales. El resultado definitivo en este sentido lo proporciona el «Teorema de convergencia dominada de Lebesgue». El teorema es falso para las integrales de Riemann.

Henri Leon Lebesgue (1875-1941)
Henri Leon Lebesgue (1875-1941)

Veamos dos ejemplos didácticos que ilustran la diferencia estratégica existente entre Rieman y Lebesgue:

a)    Si se tratara de medir el dinero que supone una gran cantidad de monedas dispuestas sobre una mesa, Riemann cuadricularía la mesa en rectángulos y contaría las monedas en cada uno de ellos; Lebesgue, en cambio, clasificaría las monedas y contaría después.

b)    Supongamos que queremos obtener el número medio de personas que hacen uso del metro en una estación determinada en el periodo de un mes. Riemann representaría esta situación gráficamente en un sistema de eje horizontal el tiempo y vertical el número de personas que hacen uso del metro en un instante determinado.

Riemann dividiría el eje de los tiempos en días y multiplicaría la fracción 1/30 (supuesto meses de 30 días) por uno de los valores del número de personas que entran en la estación un instante determinado de cada día sumando los resultados obtenidos para cada uno de los 30 días. Repetiría el procedimiento haciendo una subdivisión, ahora más fina dividiendo el eje de tiempos en horas, obteniendo un resultado más aproximado. Continuaría indefinidamente subdividiendo el eje tiempo en subintervalos cada vez más pequeños… (con longitudes tendientes a cero) observando que los valores obtenidos cada vez que subdivide tienden a un número fijo. Lebesgue, utilizaría otro procedimiento: en lugar de subdividir el eje de los tiempos, él subdivide el de las personas entre las ordenadas máximas y mínimas. Por ejemplo una subdivisión en decenas de personas; así, los valores del tiempo para los cuales la función que describe la situación está comprendida, por ejemplo entre 40 y 50 personas, determinan un conjunto de puntos que admite una medida «m» (en el sentido Lebesgue). Así, consideraría el producto de una ordenada cualquiera comprendida entre 40 y 50 por el número m/30. Sumaría a continuación todos los productos relativos a cada uno de los intervalos de la subdivisión en decenas de individuos y obtendría un número M´. Repetiría este proceso con subdivisiones cada vez más pequeñas (con longitudes tendientes a cero), obteniendo una serie de valores M´, M´´,M´´´…, que puede admitir un límite finito que sería el valor encontrado por Lebesgue. Mientras Riemann divide el intervalo de integración en subintervalos jerarquizados por el orden, Lebesgue, pudiera decirse que subdivide el intervalo en conjuntos medibles liberándose la jerarquización que le impone el orden. Desde este primer trabajo de Lebesgue, tanto la «Teoría de la Medida» como la Teoría de la Integración han sufrido muchas generalizaciones y modificaciones. Los trabajos de Young, Daniell, Riesz, Stone y otros, han probado que la Integral de Lebesgue puede introducirse de tal manera que no dependa de la Teoría de la Medida sino que esté orientada directamente a las funcionesy sus integrales. Es más, por medio de la integral de Lebesgue, es posible desarrollar la Teoría de la Medida.

 Apéndice

La medida del Conjunto Perfecto de Cantor

El conjunto perfecto de Cantor, también llamado conjunto ternario de Cantor, es un subconjunto del Intervalo real I=[0,1], que se construye mediante el siguiente proceso:

P1 es el Intervalo centrado en I de longitud 1/3

cantor

Para k=2,3, …., Pk es la unión de los intervalos abiertos de longitud 1/3k centrados en cada uno de los 2k-1 intervalos cuya unión es el complementario en I de:

union

Se designa por P la unión de todos los Pk. El conjunto C ternario de Cantor es: C=I-P.

Interesa también considerar, para cada k, el conjunto:

ooi

Veamos algunas propiedades del conjunto de

Cantor:

No es vacío pues contiene los extremos de los intervalos que conforman los Pk.

Es cerrado, pues P es abierto.

No contiene intervalos.

Es denso en sí mismo.

Tiene la potencia del continuo.

Nos podemos preguntar ahora ¿Qué medida tiene C?

En la construcción del conjunto P a partir del intervalo [ 0,1] , hemos comenzado eliminando un intervalo adyacente de longitud 1/3, después 2 intervalos adyacentes de longitud 1/9, luego 4 de longitud 1/27, etc. De forma general, en el paso n-ésimo habremos suprimido 2n-1 intervalos de longitud 1/ 3n. Así pues, la longitud de todos los intervalos suprimidos será:

jkh

siendo esta suma la de los términos de una progresión geométrica de razón 2/3 y cuyo primer término es 1/3.

Por tanto su suma vale:

poiu

así pues la suma de los intervalos adyacentes al conjunto de Cantor es 1. Dicho de otra forma, la medida del conjunto abierto P complementario de C es 1. Por tanto, la medida de C es m (C) = 1- m (P) = 1 –1 = 0. Este ejemplo demuestra que existen conjuntos con la cardinalidad del continuo, con la misma cardinalidad que R cuya medida es 0.

NOTAS

Nota 1. Una crítica al principio de Cavalieri: Los indivisibles de las líneas son puntos y estos no son operativos lo que con su método se impide la obtención de longitudes de curvas.

Nota 2. Teorema o Criterio de Lebesgue para la existencia de una Integral de Riemann:

«Sea f una función definida y acotada en un intervalo I=[a,b] de R, entonces f es integrable según Riemann si y sólo si, el conjunto de puntos de discontinuidad de f en I es de medida nula».

Nota 3. Una función NO integrable Riemann y SI integrable según Lebesgue.

Como ejemplo calculamos la integral de la función de Dirichlet en [0,1]:

mkl

Puesto que la medida del conjunto de los Irracionales es 1 en [0,1], entonces:

nbm

La integral de Riemann de esta función no existe.

Hedy Lamarr o la belleza y el genio.

Hedy Lamarr, Viena 1914-Orlando 2000.
Hedy Lamarr, Viena 1914-Orlando 2000.

En octubre del pasado año escribí una entrada sobre Ada Lovelace, donde dejaba entrever el acierto o no de considerarla como la mujer que mejor representaba a la mujer científica, dejando sin contestar algunas preguntas al final del post que paso a recordar: ¿Pueden considerarse a Charles Babbage y Ada Lovelace pioneros de la Informática Moderna?, ¿Es Ada Lovelace el nombre más representativo de la mujer científica para asociarla al día de la mujer científica y tecnóloga?…

Con esta nueva entrada pongo en sociedad (científica) a otra mujer que, en mi opinión, aportó bastante más al mundo de la tecnología actual que la propia Ada Lovelace, ella es Hedy Lamarr la que fuera considerada más bella actriz y dama del “glamour” más exquisito durante más de dos décadas.

Hedy Lamarr
Actriz, inventora e ingeniera en telecomunicaciones austríaca. Es conocida como “la mujer más preciosa en la historia del cine” y también como la inventora de la primera versión del espectro ensanchado.

Hedwig Eva Maria Kiesler nació el 9 de noviembre de 1914 en Viena, Austria hija de Emil Kiesler, un director del Banco de Viena y Kiesler Getrude, un concertista de piano. Después de su nacimiento, sus padres decidieron no tener más hijos y su madre Gertrude “Tilly”, renunció a su carrera de concertista de piano sólo para dedicarse exclusivamente al cuidado y formación de su hija, y su padre, a pesar de estar muy ocupado como director bancario, dedicó a su hija tiempo suficiente para hacer numerosos viajes con ella y adentrarla en el mundo de la riqueza del que se rodeaba por su pudiente posición económica y social. Su familia era muy rica.

Hedy comenzó sus estudios a la edad de cuatro años. Tuvo profesores particulares que le enseñaron varios idiomas, hablaba y escribía correctamente inglés, alemán, francés e Italiano tomó clases de piano y ballet.

Hedy Lamarr, Viena.
Hedy Lamarr, Viena.

Empezó a estudiar ingeniería con 16 años  pero tres años después abandonó sus estudios  y comenzó a trabajar en un teatro de Berlín con el famoso director Max Reinhardt. Hedy pronto desarrolló una gran pasión por el teatro, pero sus padres no lo sabían. Convenció a sus padres para que la dejasen ir a estudiar a Berlín, y aprobaron su petición. Un día, logró entrar en un ensayo de la escuela dramática Max Reinhardt, ella inmediatamente llamó la atención al propio Reinhardt, que se quedó tan impresionado con su belleza que le pidió que actuara con un pequeño papel de su producción teatral. Este, puede decirse, fue el primer paso de Hedy para entrar en el mundo del teatro y la carrera de cine. Sin embargo, el tiempo que pasó en Berlín no fue todo lo bien que ella esperaba, sufría de nostalgia y de mala gana tuvo sus primeros romances, siempre de admiradores de su belleza, asi las cosas, decidió volver a su casa en Viena.

En la ópera
En la ópera vienesa.

En Viena, continuó su carrera de actriz, apareciendo por primera vez en la pantalla en la producción de director Georg Jacoby “Geld auf der Strasse (1930)”, interpretando un pequeño papel de una chica joven en un club nocturno. Trabajó en varias producciones teatrales en Viena, de “Sissi” de Noel Coward “Vidas privadas”. Su formación teatral adquirida en Berlín parecía le estaba viniendo muy bien para sus fines. Todos sus representaciones teatrales recibieron buenas críticas. Durante los años 1931 – 1932, Hedy hizo varias películas, delas que destacamos:”Die Blumenfrau von Lindenau (1931)”, “Die des Herrn DE Koffer (1931)” y “El hombre kein Geld braucht” (1932). Sin embargo, fue el año 1933, el que marcó uno de los mayores hitos de su carrera. Fue entonces, con 18 años,  cuando conoció al director Gustav Machatý, quien más tarde llegó a proponerle interpretar el personaje femenino principal de su próxima película “Symphonie Der Liebe” o “Ekstase”. Ella aceptó sin saber que ésta sería la película más polémica de su vida y que más la marcaría.

Éxtasis
Éxtasis

El rodaje de la película Éxtasis incluía una secuencia de 10 minutos en que la protagonista debía atravesar desnuda la floresta de un bosque hasta sumergirse en un lago. El director le había prometido que las cámaras la tomarían de lejos, desde el alto de una colina, con una imagen esfumada. Hedwig Kiesler después de algunas dudas aceptó, pero su cuerpo fue captado con teleobjetivo y apareció en pantalla a pocos metros de distancia. Después tuvo que interpretar la expresión de un orgasmo mientras el actor Aribert encima de ella la besaba. En esta escena el director solo consiguió un resultado aceptable apostándose debajo de la pareja y pinchándole las nalgas a la chica con un alfiler, de forma que el dolor le liberara un grito y un espasmo en el rostro que el espectador confundía con el éxtasis. Este orgasmo la hizo mundialmente famosa.

Escena en Éxtasis
Escena en Éxtasis
Imágenes de su cara en la escena orgásmica.
Imágenes de su cara en la escena orgásmica.
Detalle de una de sus caras.
Detalle de una de sus caras.

Fritz Mandl Hedy, un fabricante importante de armas y municiones, era amigo y proveedor de municiones, de aviones de combate y de sistemas de control de Adolfo Hitler y de Benito Mussolini durante la ocupación de Abisinia la actual Etiopía. (Hedy Lamarr siempre recordó que Hitler fue casi el único que le besó con delicadeza la punta de los dedos en aquellos salones donde esta inquietante judía se movía en los años treinta).

Hitler/Mussolini
Hitler/Mussolini

Fritz, su marido,.. Obsesionado por su belleza pidió la mano a su padre para casarse, aunque, de hecho “la compró mediante una descarga erótica de joyas y oro macizo”.

Su boda
Primer matrimonio de Hady Lamarr

Éxtasis pasó por el festival de Venecia, se estrenó posteriormente en Viena, ante un público cuajado de personalidades. En el patio de butacas estaban los padres de la estrella y Fritz Mandl, su flamante marido. Cuando empezó la proyección ninguno de ellos daba crédito a lo que veían sus ojos.

A partir de ese día su marido encerró a Hedwig en casa bajo llave que guardaba la criada, solo permitía que se bañara en su presencia y cuando no la llevaba de fiesta, a las reuniones sociales donde la exhibía como una pieza de caza, la dejaba atada al pie de la cama como a una perra.

En sus años de reclusión marital (1)
En sus años de reclusión marital (1)
(2)
En sus años de reclusión marital (2)

Durante los dos años que duró su soledad o casi secuestro, aprovechó para reemprender los estudios de ingeniería que había dejado. Mandl Hedy impidió  su carrera como actriz y en su lugar, la llevaba a reuniones donde pudo rodearse con los técnicos en armamento más importantes de la época.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Utilizando  su ingenio para sonsacar a los clientes y proveedores de su marido los pormenores e información de la tecnología armamentística del momento; en esas reuniones de manera, podemos decir “secreta”,  apuntaba las informaciones que obtenía en su formidable cabeza, adquiriendo un alto nivel de conocimiento de la tecnología punta de aquél tiempo, y basándose en la tecnología que se desarrollaba por entonces conocida por Spectrum Codificación, comenzó a madurar lo que posteriormente patentó en Estados Unidos: “El espectro expandido”.

Hedy Lamarr o el Glamour
Hedy Lamarr o el Glamour

Para poder huir de su secuestro, tuvo que seducir y acostarse con la criada que la vigilaba, quien le ayudó a escapar del palacio mientras su marido estaba de viaje. Llegó a París en coche, con un solo vestido, con los bolsillos llenos de joyas, perseguida por los guardaespaldas de su marido.

Consiguió ocultarse hasta llegar a Londres, allí conoció y sedujo al productor de la Metro Louis B. Mayer, embarcándose con él en el trasatlántico Normandie rumbo a Nueva York. Louis B. Mayer, la protegió y la convirtió en una estrella, la seducción fue de tal calibre que bajó del barco con un contrato por siete años con la Metro. Ambos deciden cambiar el nombre de la actriz tomando el apellido de la actriz de los años veinte Barbara Lamarr, actriz del cine mudo muerta en 1926 por una sobredosis de drogas, de la que estuvo enamorado Louis B. Mayer.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Comienza así, una nueva vida como actriz.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Empezó a destacar en Hollywood, tras breves inicios, con Lady of the Tropics (1939), y con I Take This Woman (1940). Hedy Lamarr trabajó entre otros con King Vidor (Camarada XCenizas de amor), Jacques Tourneur (Noche en el alma, 1944), Robert Stevenson (Pasión que redime, 1947) y Cecil B. DeMille (Sansón y Dalila, 1949). No tuvo, sin embargo, demasiado éxito al elegir sus películas en otras ocasiones. De todos modos éstas fueron bastante numerosas, pues hizo una treintena a lo largo de su carrera.

Hedy Lamarr o el glamour.
Hedy Lamarr o el glamour.

Filmografía:

“Entertaining the Troops” (1989)
“That’s Action” (1977)
“The Love Goddesses” (1965)
“The Female Animal” (1957)
“The Story of Mankind” (1957)
“I Cavalieri dell’illusione” (1954)
“L’Amante di Paride” (1953)
“My Favorite Spy” (1951)
“Copper Canyon” (1950)
“A Lady Without Passport” (1950)
“Samson and Dalilah” (1949)
“Let’s Live a Little” (1948)
“Dishonored Lady” (1947)
“The Strange Woman” (1946)
“Her Highness and the Bellboy” (1945)
“Experiment Perilous” (1944)
“The Conspirators” (1944)
“The Heavenly Body” (1943)
“Show Business at War” (1943)
“Tortilla Flat” (1942)
“Crossroads” (1942)
“White Cargo” (1942)
“Come Live with Me” (1941)
“Ziegfeld Girl” (1941)
“H.M. Pulham, Esq.” (1941)
“Boom Town” (1940)
“Comrade X” (1940)
“The Miracle of Sound” (1940)
“I Take This Woman” (1939)
“Lady of the Tropics” (1939)
“Algiers” (1938)
“Ecstasy” (1932)
“Die Koffer des Herrn O.F.” (1931)
“Die Blumenfrau von Lindenau” (1931)
“Man braucht kein Geld” (1931)
“Geld auf der Straße” (1930)

Hedy Lamarr, años 40.
Hedy Lamarr, años 40.

Cecil B. DeMille siempre dijo de ella que fué una de las actrices más versátiles con las que había trabajado, que era disciplinada, puntual y una belleza poco común en el cine que él filmaba. También apuntó el maestro que, Hedy Lamarr conseguía sin proponérselo eclipsar el colosalismo, el espectáculo y el colorido que sus films desprendían, bastaba con uno solo de sus primeros planos para derribar los cimientos del más cuidado decorado.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

La belleza de esta actriz poseía unos cánones entre Vivien Leigh y Ava Gardner, sin parecerse a ninguna de la dos. Hedy tenía una enorme personalidad, propia de los grandes rostros que invadieron el cine de aquella época. Y sobre todo instaló el canon del glamour.

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Hedy Lamarr

No tuvo suerte eligiendo guiones, rechazó el papel de protagonista en Luz de gas y en Casablanca, error que nunca se perdonó. También estuvo a punto de rodar Lo que el viento se llevó. Entre 1940 y 1957 trabajó en multitud de películas, pero el papel por el que siempre será recordada es por la interpretación de Dalila en la película bíblica Sansón y Dalila, rodada en 1949. Dedicó más de 17 años a la gran pantalla, que compatibilizó con sus estudios de telecomunicaciones en la ayuda al gobierno estadounidense.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Lamarr tenía un profundo rencor por el régimen nazi, así que ofreció al gobierno de los Estados Unidos toda la información confidencial que disponía gracias a los contactos de su ex-marido.

George Antheil (1900-1959).
George Antheil (1900-1959).

A mediados de 1940, Hedy conoce al compositor vanguardista George Antheil (1900-1959). Eran vecinos, pero se vieron por primera vez en una fiesta organizada por una amiga común, Janet Gaynor, a la que le pidió que se lo presentase, un espíritu bohemio del que se enamoró inmediatamente. Un artista que también había escandalizado Europa, estableciéndose en París en 1923 donde conoció, entre otros, a James Joyce, Ezra Pound (quien le dedicó el panegírico Antheil y su Teoría Armónica en 1927), Man Ray, Pablo Picasso,..y que en 1924 escribe la banda sonora para la película Ballet Méchanique concebida por el dadaísta francés Fernand Leger, una banda sonora donde hace intervenir a 16 pianolas sincronizadas, hecho que será clave en la historia del invento de Hedy Lamarr. En este enlace puede verse la película: Le Ballet Mécanique (1924, Fernand Leger).

George Antheil, 1932.
George Antheil, 1932.

Fue también columnista del Esquire Magazine, donde publicó temas sobre el romance y la endocrinología. El polifacético pianista hasta escribió un libro sobre ese tema. Hedy no estaba interesada en las habilidades pianísticas de Antheil sino en las endocrinológicas, pues quería agrandarse los senos. Por supuesto, que Antheil no tenía la menor idea de cómo resolver ese problema, en especial porque los implantes no habían sido inventados todavía. Por tanto, las conversaciones entre ambos se centraban en las armas, sobre las cuales Hedy tenía amplios conocimientos.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Tras dejarle su número de teléfono escrito con lápiz labial en el parabrisas de su coche, descubrieron que aparte de las hormonas que les llevaron a enamorarse compartían una pasión común: la Segunda Guerra Mundial. Antheil, que había trabajado de joven como inspector de municiones, acababa de perder a un hermano en el mar Báltico en el transcurso del ataque soviético a Finlandia.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Una de las principales preocupaciones de la opinión pública respecto al conflicto, como manifestaría en una entrevista años más  tarde, era el desequilibrio con que, más allá del Atlántico, combatían las aviaciones británica y germana. Así, mientras los aparatos ingleses entraban en territorio enemigo apenas habían abandonado la base y cruzado el canal, los aviones alemanes podían sobrevolar su propio territorio durante cientos de millas antes de llegar a la zona del conflicto.

Bomardero Heinkel 111H
Bomardero Heinkel 111H

A pesar de todo, Hedy no se desanimó y continuó dándole vueltas a alguna de las ideas que le rondaban por la cabeza. Hedy intuía que la fabricación de un misil teledirigido podía suponer una nivelación de la balanza, solución que el ejército americano no se atrevía a acometer, según algunos testimonios, por miedo a que las señales de control fueran fácilmente interceptadas o interferidas por los efectivos nazis.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Una tarde, mientras estaba sentada al piano con George Antheil, Hedy tuvo la idea de aplicar alguna de las técnicas musicales de George al control remoto de los misiles de guerra (las distintas versiones difieren sobre este punto, habiendo quien sitúa la anécdota del piano más adelante, cuando Hedy y George resuelven aplicar la técnica de los rodillos). Una radioseñal emitida a una determinada frecuencia por las tropas americanas para controlar un torpedo podía ser fácilmente interceptada y bloqueada por el ejército alemán. ¿Por qué no emitir entonces a distintas frecuencias, una en cada intervalo de tiempo, y según una secuencia que pudiera variar en cada ocasión? La idea que sedujo a Hedy, fue la de inventar algún dispositivo que anulara la capacidad de interceptación de esas señales. La idea, que era imple, requería sin embargo una solución práctica. Para ello En los ratos que ella y Anthail pasaban juntos, Anthail le explicó la dificultad que tuvo para mantener (sincronizar) al mismo tiempo tocando a los 16 pianos usado en su obra de Ballet  Méchanique, sin que las notas de uno coincidiera en tiempo con la de otro. La solución estaba en usar tarjetas perforadas.

Boceto (1)
Boceto (1)

Hedy y George, que pasaban largas veladas sentados en la alfombra del recibidor de la mansión de Hedy simularon distintos ingenios con cerillas y una cajetilla de plata, diseñaron un dispositivo inspirado en los rollo  perforados de las pianolas y en las cacofonías de alguno experimentos musicales de George. Así como los cilindros perforados de las 16 pianolas se sincronizaban en la obra Ballet  Méchanique de Antheil, los dos inventores diseñaron su sistema para utilizar 88 frecuencias que contienen el mismo número de claves existentes en las pianolas.

Boceto (2)
Boceto (2)

En el diseño final sendos rollos perforados eran incorporados a las estaciones de emisión y recepción, que podían así sincronizar y conmutar sus frecuencias (en inglés, frecuency hopping) de acuerdo con las instrucciones inscritas en los rollos.

De este modo, cualquier intruso que intentara interceptar (o interferir) la señal no podría detectar más que un extraño ruido, perfectamente comprensible, sin embargo, para aquellos que tuvieran en su poder los rollos perforados con la precisa información de la secuencia acordada en cada caso. El 11 de Agosto de 1942, fecha en la que los Estados Unidos habían ingresado definitivamente en el conflicto, la patente era registrada en Washington con el número de serie 2.292.387, Y poco más tarde, cedida al ejército norteamericano. En las imágenes que la documentan puede leerse la inscripción H.K Markey et al . Las iniciales H.K. son las de Hedwig Kiesler (Hedy Lamarr), siendo Markey su apellido de casada de la época. Poco tiempo después, elide Octubre de ese mismo año, aparecía en el New York Times la primera mención pública del invento, a pesar de lo cual, y aunque nadie puso en duda el interés y relevancia del ingenio, las autoridades de la época no consideraron la posibilidad de su realización práctica debido a impedimentos tecnológicos.

Página del New York Times anunciando el invento.
Página del New York Times anunciando el invento.

El primer uso conocido de dicha patente se tiene en la crisis de los misiles de Cuba.

El motivo de la tardanza era el necesario paso de un sistema mecánico a uno electrónico. Dicho paso fue realizado en 1957 por Sylvania Electronics y es de agradecer que el equipo de ingenieros reconoció en su totalidad la patente de Lamarr.

En la crisis de los misiles de Cuba,  se usó con este sistema el control remoto de boyas rastreadoras. La misma técnica se incorporó en alguno de los ingenios utilizados en la guerra de Vietnam y, más adelante, en el sistema estadounidense de defensa por satélite (Milstar) hasta que en la década de 1980 el sistema de espectro expandido vio sus primeras aportaciones en ingeniería civil.

Este sistema de espectro expandido y salto de frecuencia que inventó Hedy Lamarr es el que se usa hoy día de forma habitual en microchips y placas base de ordenador, teléfonos u otros dispositivos inalámbricos, móviles, buscas, etc. y en comunicación en general. Sin este invento no sería posible la telefonía ni Internet tal como la conocemos. Así, con la irrupción masiva de la tecnología digital en la actualidad, la conmutación de frecuencias pudo implantarse en la comunicación de datos WIFI, Bluetooth y 3G.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Al igual que muchas otras actrices de la época, Hedy se unió a las caravanas artísticas organizadas desde Hollywood, entreteniendo a las tropas y vendiendo bonos de guerra a cambio de besos. Fue proclamada la mejor vendedora de bonos de guerra, con el récord de 7 millones de dólares en una sola noche. Hedy recolectaría un total cercano a 25 millones de dólares en dichas caravanas artísticas donde era besada por los soldados.

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Como recompensa a la trascendencia de su proyecto inicial, y por iniciativa y empeño de David Hughes (investigador él mismo y animador de una serie de proyectos que en el seno de la Natural Science Foundation de EE.UU. han empleado técnicas de hopping), la Electronic Frontier Foundation otorgó el prestigio o EFF Pioner A ward a Hedy Lamarr y, a título póstumo, a George Antheil en una ceremonia celebrada en San Francisco el12 de Marzo de 1997 a la que asistió, en representación de la actriz (que por entonces vivía recluida en Miami), uno de sus hijos, Anthony Logan (un comerciante orgulloso del ingenio de Hedy y dedicado precisamente al negocio de la telefonía.)

No fue éste el único reconocimiento oficial. En 1997 Lamarr y Antheil recibieron también el Bulbie Gnass Spirit of Achievement Award, así como una distinción honorífica concedida por el proyecto Milstar. Un año más tarde, en Octubre de 1998, Hedy recibió en Viena (su ciudad natal) la medalla Viktor Kaplan otorgada por la Asociación Austriaca de Inventores y Titulares de Patente. Finalmente, en el verano de 1999, el Kunsthalje de Viena organizó un proyecto rnultimediático, que incluía una retrospectiva de su carrera cinematográfica, en homenaje a una de las actrices e inventoras más singulares que ha conocido el siglo. Según se dice, cuando le comunicaron a Hedy la concesión del premio de la EFF, ésta se quedó impertérrita y exclamó, escuetamente: «it’s about time». Ya era hora.

Cartel del documental dedicado a ella
Cartel del documental dedicado a ella

Para presevar la memoria de su madre como inventora, Anthony Logan filmó con Georg Misch la cinta “Llamando a Hedy Lamarr” (Calling Hedy Lamarr), documental en el que se sugiere que ella era una espía; al periodista Colin Todhunter del Herald en Los Ángeles, expresó:

“Me siento muy orgulloso por la tecnología que ella inventó, bastante más que por su carrera como luminaria cinematográfica pues esta faceta de actriz le arruinó la existencia de muchas maneras. Hedy sintió que el tiempo le había dado la razón a su invento, en este sentido, ella se adelantó 20 años a su tiempo…”

“Sin embargo, la muerte le impidió contemplar los alcances de la alta tecnología y ya no pudo atestiguar el impacto logrado con los dispositivos electrónicos inalámbricos WiFi. Sentía una fuerte satisfacción de que su invento pudiera aprovecharse en metas útiles, perdurables y profundas… Le agradaba ser atractiva por su inteligencia y estaba muy consciente de que la belleza es una cosa efímera.”

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

La estrella solía afirmar: “Cualquier chica puede ser glamourosa. Lo único que tienes que hacer es quedarte quieta y parecer estúpida.”

“La mujer más hermosa de Europa”, como la bautizara originalmente el cineasta Max Reinhardt en 1931, fue retratada en libros biográficos por su fulgurante trayectoria cinematográfica de 30 a 40 cintas entre 1931 y 1989, salpicando el recuento con jugosos detalles de sus seis matrimonios. Hedy afirmaba: “Tengo que dejar de casarme con hombres que se sientan inferiores a mí. En algún lugar debe haber un hombre que pueda casarse conmigo sin sentirse inferior. Necesito un hombre que sea inferior superior.”

Hedy Lamarr
Hedy Lamarr

Al acercarse la década de los sesentas e ir muy a la baja su caché en candilejas, la actriz fue desechada por los productores de Hollywood tras haberse sometido a una cirugía plástica que arruinó la belleza de su rostro.

Hedy Lamarr, elegancia, glamour y genialidad.
Hedy Lamarr, elegancia, glamour y genialidad.

Se recluyó en soledad y murió pobre. En palabras de su hijo:

“Si Estados Unidos le hubiese pagado todos los derechos de la patente y las regalías por su gran invento, Hedy Lamarr se habría convertido en la mujer más billonaria del universo, por encima de Bill Gates.”

El Día del Inventor se celebra el 9 de noviembre (fecha de su cumpleaños), en su honor.

Yo, me he atrevido a realizar este pequeño clip como tributo a su genio a partir de su rostro, espero sea de vuestro agrado.

El libro de las estrellas fijas de: ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi

El astrónomo ‘Abd al-Rahman ibn’ Umar al-Sufi, conocido comúnmente como al-Sufi, nació en Persia (actual Irán) en 903 d.C. y murió en 986. Trabajó en Isfahán y en Bagdad, y es conocido por su traducción del griego al árabe de Almagest del antiguo astrónomo Ptolomeo. La obra más famosa de Al-Sufi es Kitab suwar al-kawakib (Libro de las constelaciones de las estrellas fijas), que publicó alrededor del 964. En este trabajo, al-Sufi describe las 48 constelaciones establecidas por Ptolomeo y añade críticas y correcciones propias.

Para cada una de las constelaciones, ofrece los nombres indígenas árabes para sus estrellas, los dibujos de las constelaciones y un cuadro de estrellas que muestra su localización y magnitud. El texto tiene descripciones y cuadros de una pequeña nube, en realidad la galaxia de Andrómeda. La menciona delante de la boca de un Gran Pez, una constelación árabe. Parece que esta nube era comúnmente conocida entre los astrónomos de Isfahán muy probablemente antes del año 905.

Posiblemente también está catalogado, como una estrella nebulosa, el cúmulo estelar de Ómicron Velorum, así como un objeto nebuloso adicional en Vulpecula, un asterismo hoy conocido como Cúmulo de Al Sufi, Cúmulo de Brocchi o Collinder 399. Además, se menciona la Gran Nube de Magallanes como Al Bakr, el Buey Blanco de los árabes del sur, ya que esta galaxia es visible desde el sur de Arabia, aunque no desde latitudes más septentrionales.

El libro de Al-Sufi estimuló aún más trabajo sobre astronomía en el mundo árabe e islámico y ejerció una enorme influencia en el desarrollo de la ciencia en Europa. El trabajo fue copiado y traducido con frecuencia. Esta copia, de las colecciones de la Biblioteca del Congreso, se produjo en algún lugar de Asia central o sur, hacia 1730, y es una copia exacta de un manuscrito, hoy perdido, preparado para Ulug Beg de Samarcanda (actual Uzbekistán) en 1417 [820 AH]. La Biblioteca Nacional de Francia tiene un manuscrito de Kitab suwar al-kawakib que fue preparado para Ulug Beg en 1436.

Vídeo: El libro de las estrellas fijas, de Al-Sufi

Por: C.R. Ipiéns

El Almagesto: El modelo Ptolemáico

Hiparco fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego (nacido en Nicea alrededor de 190 a. C. – y muere alrededor de 120 a. C.).

Hiparco de Nicea

 Nace dos años antes de la muerte de Eratóstenes, del que fue sucesor en la dirección de la Biblioteca de Alejandría. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesión de los equinoccios; la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas.

Epiciclo solar

Se debe a él la elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclípticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova, Nova Scorpii en el año 134 a. C. y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas.

Como hemos dicho, Hiparco es el inventor de la trigonometría, construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

Claudius Ptolemaeus

Es por otra parte el Teorema de Menelao el que juega un papel fundamental en la trigonometría esférica y en Astronomía, pero no obstante la obra trigonométrica más significativa y que tuvo una mayor influencia, con mucha diferencia sobre las demás de toda la antigüedad, fue la Sintaxis Matemática, una obra en trece libros escrita por Ptolomeo de Alejandría medio siglo más o menos después de Menelao, esta obra fue distinguida de otro tipo de tratados astronómicos con la denominación de la colección <Mayor>. De las frecuentes referencias a ella como “Magiste”, surgió más tarde en Arabia la costumbre de llamar al libro de Ptolomeo Almagesto (el más grande), y desde entonces la obra ha sido conocida por este nombre.

Se supone que el Almagesto de Ptolomeo debe mucho, por lo que se refiere a los métodos utilizados, a la tabla de cuerdas construida por Hiparco, pero la magnitud de esta deuda no puede establecerse con seguridad. Está claro que Ptolomeo debió usar en su astronomía el catálogo de posiciones de estrellas que dejó Hiparco, pero no podemos determinar si las tablas trigonométricas de Ptolomeo fueron extraídas en gran parte de su ilustre predecesor o no, ni, en caso afirmativo, en qué medida.

En el cálculo de las cuerdas por Ptolomeo desempeñó un papel fundamental el Teorema de Meneleao y una proposición geométrica que se conoce aún en la actualidad como Teorema de Ptolomeo:

Ver Clip: (Pantalla completa 720P HD)

Armado de las fórmulas para las cuerdas de las sumas y diferencias de arcos y para la cuerda del arco mitad, y con un valor bien calculado para la cuerda de un arco de ½º, se dispuso por fin Ptolomeo a construir su tabla, correcta hasta el último segundo de todos los arcos desde ½º hasta 180º, de medio en medio grado, formando parte del primer libro del Almagesto, constituyendo así una herramienta indispensable para los astrónomos a lo largo de más de mil años. Los doce libros restantes de este célebre tratado contienen, entre otras cosas, el bello desarrollo matemático de la teoría de ciclos y epiciclos (movimiento retrógrado) para el movimiento de los planetas, que se conoce como sistema de Ptolomeo o Ptolemáico.

Igual que Arquímedes, Hiparco y la mayoría de los grandes pensadores de la antigüedad, Ptolomeo postuló un Universo geocéntrico, debido a que una tierra en movimiento daba lugar a graves dificultades, tales como la ausencia de paralaje estelar apreciable y las aparentes inconsistencias de un teórico movimiento de la Tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre. En comparación con estos problemas, el carácter inverosímil de la inmensa velocidad que se requeriría para que la esfera de las estrellas “fijas”  girase diariamente alrededor de la Tierra, parecía reducirse a algo insignificante.

El sistema Ptolemáico, además de mostrarse muy de acuerdo con el sentido común, ofrecía la ventaja de poder representarse con mucha facilidad. Los planetarios, por ejemplo, se construyen como si el universo fuese geocéntrico, puesto que de esta forma los movimientos aparentes de los astros se reproducen más fácilmente.

Platón le había propuesto a Eudoxio el problema astronómico de “salvar los fenómenos”, es decir, de idear un artificio matemático tal como, por ejemplo, una combinación de movimientos circulares uniformes, de manera que sirviera como modelo de los movimientos aparentes de los planetas, pero el sistema de Eudoxo de las esferas homocéntricas fue abandonado casi completamente por los matemáticos a favor del sistema de ciclos y epiciclos de Apolonio e Hiparco.

Ptolomeo hizo a su vez una modificación esencial en este último modelo. En primer lugar desplazó la Tierra un poco del centro del círculo diferente, con lo que se tenían en realidad órbitas excéntricas; este cambio ya había sido propuesto con anterioridad, pero Ptolomeo introdujo además una novedad tan drástica y radical en sus implicaciones filosóficas y científicas que Copérnico, mucho más tarde, no pudo aceptarla, por muy eficaz que resultara ser el artificio en cuestión, conocido con el nombre de “ecuante”, para reproducir los movimientos planetarios. Después de repetidos ensayos infructuosos Ptolomeo no consiguió ajustar ningún sistema de ciclos, epiciclos y excéntricos que representase con exactitud los movimientos observados de los planetas.

En definitiva, el “truco” empleado por Ptolomeo tenía solamente una utilidad cinemática y no con exactitud, y no hacía desde luego ningún esfuerzo por contestar a las cuestiones de carácter dinámico que planteaban de manera clara los movimientos circulares no uniformes.

En este clip se presenta una breve descripción del modelo geocéntrico de Aristóteles (la más bella mentira que perduró más de un milenio) y la consolidación que hace de él Ptolomeo.

Teoremas de la Geometría Clásica: Geometría en el siglo XIX

La geometría ha sido de todas las ramas de las Matemáticas, la que más ha estado sometida a cambios, según cambiaban las preferencias de una época a otra. En la Grecia clásica alcanzó su cenit, sólo para caer hasta su nadir hacia la época del hundimiento del Imperio Romano. En Arabia y en la Europa renacentista recuperó parte del terreno perdido; durante el siglo XVII se encontraba en el umbral de una nueva era, para ser casi olvidada a continuación durante más de un siglo, al menos por los matemáticos que se dedicaban a la investigación, languideciendo así a las ramas del análisis que proliferaban de una manera exuberante. Inglaterra había librado una batalla perdida, especialmente a finales del siglo XVIII, para reponer los “Elementos de Euclides” en el glorioso lugar que ocuparan antaño, pero lo cierto es que poco se hizo por promover la investigación del tema.

Gaspard Monge

Los esfuerzos de Monge y de Carnot condujeron a un movimiento de renovación de la geometría pura durante el periodo de la Revolución Francesa, pero el verdadero renacimiento, en forma casi explosiva, de la geometría como rama viva de la matemática se produjo a comienzo del siglo XIX. Y, como podría haberse imaginado, la École Polytechnique jugó un papel importantísimo en este movimiento, pues allí fue descubierto el bien  conocido teorema de Brianchon por un estudiante, y se publicó en 1806 en el Journal de la École Polytechnique.

Charles Julien Brianchon (1785-1864) acababa de ingresar en la escuela el año anterior, estudiando con Monge y leyendo la Gèometrie de position de Carnot. Este estudiante de 21 años demostró previamente el teorema de Pascal, olvidado durante largo tiempo, teorema que formulaba Brianchon ya en su forma moderna: “Para todohexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en una recta”. Seguidamente, nos encontramos con el teorema que lleva su nombre: “En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto: el llamado punto de Brianchon”.

Haz click en la imagen, es gif. (ampliar)

Este tipo de relaciones entre puntos y rectas y con respecto a una cónica fueron explotadas más tarde de manera efectiva por otro alumno de la École Polytechnique, el hombre al que podemos considerar con razón el verdadero fundador de la geometría proyectiva. Nos referimos a Jean-Víctor Poncelet (1788-1867), que estudió también con Monge, ingresó en el cuerpo de ingenieros del ejército con el tiempo justo para tomar parte de la desdichada campaña de Napoleón en Rusia en 1812, permaneciendo preso durante varios años en una cárcel de Moscú.

Jean-Victor Poncelet

A su regreso a Francia se convirtió en la figura más importante quizá del renacimiento de la geometría pura. Entre sus primeros descubrimientos está uno que compartió con Brianchon, en el que demuestran el siguiente resultado:

“ La circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas por los vértices de un triángulo a los lados opuestos, pasa también por los puntos medios de los lados, así como por los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el punto de intersección de las tres perpendiculares”.

Este notable teorema no suele llevar el nombre ni de Brianchon ni de Poncelet, sino el de otro matemático, Karl Wilheim Feuerbach (1800-1834), que, de manera independiente, publicó este teorema y otros análogos en 1822.

La obra de Feuerbach, que murió cuando sólo tenía 34 años, puede considerarse como un ejemplo típico de los numerosos resultados nuevos sobre la geometría de la circunferencia y de del triángulo que se fueron descubriendo a lo largo del siglo XIX.

En este clip de vídeo presento de manera animada algunos de los teoremas y resultados que hemos glosado en este artículo. Ver a pantalla completa y con 720p. Espero sea de su agrado.

C.R. Ipiéns

La magia de Escher: Efecto Droste/Escher

Una imagen se dice que presenta el efecto Droste cuando incluye dentro de ella una versión de menor tamaño de sí misma, la que a su vez incluye en un lugar similar una versión aún más pequeña de sí misma, y así sucesivamente. Sólo en teoría puede continuarse esta inclusión con reducción, una dentro de otra, pues en la práctica está limitada por la resolución de que es capaz la técnica de impresión que se emplee para las imágenes, ya que cada iteración reduce exponencialmente el tamaño de la imagen.

Efecto Droste: Marca de Cacao Droste.

Se comenzó a llamar así a este efecto luego de que Droste, una de las principales marcas alimenticias holandesas, comenzó a emplear una imagen recursiva impresa sobre sus envases de cacao en polvo. Esta imagen, con algunas variaciones a lo largo de los años, muestra a una niñera que lleva una bandeja con una taza de chocolate caliente junto a un envase de cacao Droste.

El efecto Droste no es una idea reciente. Por ejemplo fue utilizado por Giotto di Bondone en 1320 en su Tríptico Stefaneschi.

Tríptico Stefaneschi; Giotto di Bondone, 1320.

Hay también algunos ejemplos de libros de la Edad Media que repiten recursivamente su propia imagen, y vitrales en iglesias que muestran copias en miniatura del mismo vitral.

Otro ejemplo más actual lo tenemos En la portada del álbum Ummagumma de Pink Floyd se ve en una pared una reproducción recursiva de la misma imagen.

Hoy tenemos multitud de ejemplos en el mundo publicitario. Hasta flickr tiene una página dedicada especialmente a este efecto, es esta: Efecto Droste Flickr.

Uno de los tipos de imágenes recursivas que en ocasiones se confunden con el efecto Droste son las originadas a partir de la técnica efecto Escher en honor al pintor holandés Maurits Cornellis Escher (1898-1972) cuyas litografías exploraron diferentes técnicas especialmente enfocas a jugar con el espacio. Nosotros le llamaremos efecto Droste/Escher. Véase Litografias de Escher en este blog.

Aunque en forma invisible, el efecto Droste se encuentra en la obra de Escher Galería de grabados. Escher observó: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que el mismo aparece.» Una extensión lógica de la observación sería: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece…» Y esa es una buena descripción del efecto Droste.

Senglea, Malta

Si nos fijamos con atención, en la parte central de la obra queda un espacio en blanco que el autor deliberadamente no pintó.

Galería de grabados, Escher.

El punto ciego en el centro del grabado siempre ha sido un enigma. ¿Por qué lo dejó vacío Escher? Su propia respuesta fue: «Allí todo se vuelve tan detallado que proseguir hubiera sido imposible.»

El enigma no pudo resolverse hasta el año 2003 en el que con ayuda de un complejo algoritmo un equipo de matemáticos de la mano del profesor Hendrik Lenstra de la universidad de Leiden se consiguió rellenar el espacio dejado por Escher: se descubrió que el pequeño cuadrado blanco del centro se correspondía con el cuadrado mayor. Por lo tanto la trama del cuadrado mayor (y por ende el grabado completo) podía repetirse en el pequeño cuadrado blanco, muy reducida y rotada alrededor de 180 grados. Y, por supuesto, el pequeño cuadrado blanco contenía en su interior un cuadrado aún menor, y así hasta el infinito. Esto demostraba claramente la presencia oculta del efecto Droste (Rooster) en la Galería de grabados.

Bocetos, Galería de Grabados

Para un estudio matemático más riguros puede consultarse: Juegos del ingenio.

Bocetos, Galería de Grabados, Escher.

Finalmente se obtuvo el dibujo sin distorsionar sobre el que se basaba el grabado de Escher.

He puesto música a este clip presentado por la exposición que se celebró en el Parque de las Ciencias y en el Palacio de Carlos V en la Alhambra  de Granada sobre Escher. Espero sea de vuestro agrado.

Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher (Leeuwarden, Países Bajos, 17 de junio de 1898 – Hilversum, Países Bajos, 27 de marzo de 1972), artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobrefiguras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.

A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos y borradores. De muchos existen decenas de reproducciones, cientos e incluso miles de otros. Al final de su carrera destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran más reproducciones de originales. También existen estudios y borradores de muchas de sus obras, en ocasiones también varias versiones de algunas de ellas. Muchas de su obras se vendieron masivamente poco después de su muerte y están esparcidas por el mundo. Un grupo importante está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya, Holanda.

Como artista, M.C. Escher resulta difícil de clasificar. Se han hecho múltiples interpretaciones de sus obras, pero la realidad es que Escher no tenía grandes prentensiones ni mensajes que transmitir, sino que básicamente plasmaba lo que le gustaba. No basaba su trabajo en los sentimientos, como otros artistas, sino simplemente en situaciones, soluciones a problemas, juegos visuales y guiños al espectador. Visiones, en ocasiones, que le sobrevenían por las noches, que pasaban por su imaginación y que creía merecedoras de ser plasmadas en sus cuadros.

Él mismo reconocería que no le interesaba mucho la realidad, ni la humanidad en general, las personas o la psicología, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza. En cierto modo era alguien introvertido, dicen incluso que de trato difícil, que prefería crear su propio universo.

Los expertos coinciden, y es bastante evidente examinando la mayor parte de sus obras, en que una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida.

El análisis de sus obras, tal y como definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos y amigo personal, permite clasificarlas básicamente en tres temas y diversas categorías:

  • La estructura del espacio – Incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.
  • La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.
  • La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Desde el punto de vista matemático –geométrico-, la partición del plano y el infinito son dos temas que acompañan toda su obra.

La partición del plano, fue según sus propias palabras el tema que más le apasionó: “Es la fuente más rica de inspiración que jamás haya encontrado”.

La idea de rellenar el plano con un mismo motivo se considera original suya, no influida por su aprendizaje. Afirmó: “Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él”.

Ya en 1922 antes de visitar Granada imprime una plancha en la que están representadas ocho cabezas, cuatro al derecho y cuatro al revés.

Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Bocetos que realiza en uno de sus viajes a la Alhambra, inspiración de toda su obra de teselados.

Vídeo: C. R. Ipiéns. Verano 2012

Los números transfinitos: La hipótesis del continuo; Hablemos del infinito (Parte IV)

Matrix
Matrix

Los números reales pueden clasificarse en dos tipos de diferentes maneras, por ejemplo, como hemos visto en la entrada anterior en racionales e irracionales, o en algebraicos y transcendentes.

Llamamos números construibles a los números que con ayuda de los instrumentos clásicos de dibujo (regla y compás) y, sólo éstas, se pueden representar sobre una recta en la que hemos señalado dos puntos que representan al 0 (origen) y al 1 (unidad de medida). Todos los números racionales son construibles y algunos irracionales también.

Un número decimos que es algebraico, si es raíz de una ecuación polinómica, por ejemplo el número 5 es algebraico, pues puede obtenerse como solución de la sencilla ecuación: 2x – 10= 0; También lo es “el número áureo” , que además es irracional, pues se obtiene como solución de la ecuación cuadrática:

xxxx

Nota: Sobre este número y sus construcciones, así como las que origina puede verse en este blog el post: La divina proporción.

Todos los racionales son algebraicos, y, también lo son todos los irracionales construibles. Al revés no es cierto, de manera que los números construibles son un subconjunto estricto o propio (no igual) de los algebraicos. Los números transcendentes son el resto, entre los que se encuentran los famosos pi, e,…

Cantor probó que la clase de los números algebraicos, que es mucho más extensa que la de los números racionales, tiene sin embargo, la misma potencia que el conjunto de los números naturales: 0, es decir, es un conjunto infinito numerable. Por lo tanto, son los números transcendentes los que les dan al sistema de los números reales el fuerte carácter de densidad que trae como consecuencia su potencia más alta.

En resumen, podemos decir:

• Dentro del conjunto de los irracionales existe un conjunto de números que no son algebraicos. A esos números los llamamos trascendentes.

• Como los números algebraicos son numerables, el resto de números reales, los trascendentes, tienen que tener la potencia del continuo.

Una vez que en 1874, Cantor demuestra que el cardinal del conjunto de los naturales es estrictamente menor al de los números reales y, después de analizar la numerabilidad de los conjuntos de números algebraicos y transcendentes. Lo siguiente a preguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluido estrictamente entre el de ambos conjuntos, es decir:

¿Existe algún conjunto A, cuyo tamaño sea MAYOR que el de los números naturales, pero MENOR que el de los números reales?

Georg Cantor
Georg Cantor

Cantor nos responde con “La hipótesis del continuo” (en lo sucesivo HC).

HC: “No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los Naturales y el de los números Reales”.

Hipótesis del continuo
Hipótesis del continuo

Cantor trató en vano demostrar la hipótesis del continuo, era sólo una “conjetura”.

David Hilbert (1862-1943)
David Hilbert (1862-1943)

La demostración (o negación) de la Hipótesis del Continuo es uno de los 23 problemas de Hilbert (de hecho, es el primero), algunos de los cuales todavía no han sido resueltos. Fueron propuestos por Hilbert en 1900 como desafío a las generaciones presentes y futuras de matemáticos.

Al igual que la geometría euclídea se sustenta en un “paquete” de postulados o axiomas, la Teoría de Conjuntos también lo hace en base a un sistema de axiomas que denominamos Axiomática Zermelo-Fraenkel, en lo sucesivo axiomática ZF; Cuando añadimos a este conjunto de axiomas el llamado y muy cuestionado “Axioma de elección”, el sistema lo notamos por ZFC.

Kurt Gödel (1906-1978)
Kurt Gödel (1906-1978)

Pues bien, el no menos genial Kurt Gödel demostró en 1940 que no se podía demostrar como falsa la hipótesis del continuo partiendo de la axiomática  ZF (Zermelo-Fraenkel), incluso si se añadía el Axioma de Elección (ZFC). Pero, años más tarde, en 1963, Paul Cohen, demostró, a su vez, lo contrario, esto es: que tampoco podía probarse su veracidad partiendo de dichos axiomas. Así pues, la HC es indecidible (indemostrable): ni puede afirmarse, ni puede negarse.

Paul J. Cohen (1934-2007)
Paul J. Cohen (1934-2007)

Dicho de otro modo Gödel nos asegura que puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde la HC fuese cierta y, simultáneamente Cohen también nos asegura la construcción de una teoría de conjuntos consistente donde la HC es falsa. Es decir, obtenemos sistemas axiomáticos consistentes en ambos casos. Una situación análoga a la que se obtiene cuando en geometría admitimos como cierto el quinto axioma o postulado de las paralelas o lo negamos en todas sus formas posibles, el resultado provoca la existencia de geometrías distintas y consistentes, las llamadas geometrías no euclídeas: la propia euclídea, la debida a Riemann (Geometría elíptica) y la de Bolyai-Lobachevsky (Geometría hiperbólica).

Geometrías no euclídeas
Geometrías no euclídeas

Hemos visto en este trayecto como la densidad determina la cardinalidad o potencia de un conjunto. Cantor, nos sube ahora un peldaño de su particular escalera y comienza a plantearse si la dimensión determina de alguna manera la potencia de un conjunto.

Nota:

En matemáticas decimos que una recta es un objeto de dimensión 1 (un punto de una recta viene determinado por un número real), un plano de dimensión 2 (un punto del plano viene determinado por dos números reales), el espacio tridimensional de dimensión 3 (un punto de nuestro espacio cotidiano viene determinado por una terna de números reales: tres), etc.

Y nos propone la pregunta: ¿Dónde hay más puntos en un segmento o en un cuadrado?

O, aún más fuerte: ¿dónde hay más puntos, en un segmento, en un cuadrado o en un cubo?

Dimensiones: Segmento, cuadrado, cubo.
Dimensiones: Segmento, cuadrado, cubo.

De nuevo nos pone la imaginación a prueba.

Y, Cantor de nuevo destroza la intuición con su imponente genio, demostrando que:

“El segmento, el cuadrado y el cubo (objetos de dimensiones distintas) poseen la misma potencia: la potencia del continuo, 1”.

Para ello, en un derroche de elegancia  propone el siguiente emparejamiento (biyección de nuevo) entre los puntos del segmento [0,1] y los del cuadrado que tiene por lado la misma longitud que el segmento, esto es: 1.

Biyección entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado.
Biyección entre los puntos de un segmento y los de un cuadrado.

Si tomamos un punto cualquiera de la superficie del cuadrado de coordenadas (x,y), ocurrirá, por como ha sido construido el cuadrado que, x e y serán  números reales entre el 0 y el 1.

Tomemos en particular un punto concreto del cuadrado, el de la imagen:

(x,y)=(0,3143256408876…, 0,6244356998124…)

Cantor asocia ahora este punto con un único punto del segmento [0,1] del siguiente modo:

El nuevo número “r”, se obtiene alternando los decimales de x e y, así, su primera cifra decimal será la primera cifra decimal de x, su segunda cifra decimal será la primera cifra decimal de y, la tercera cifra decimal será la segunda de x, la cuarta la segunda de y, la quinta la tercera de x,…y de nuevo “así sucesivamente”.

El número que hemos construido “r”, será:

r=0,36124434235566490988817264…

De este modo ni un solo punto del cuadrado se quedará sin pareja en el segmento. La biyección está establecida y, por tanto, la potencia del cuadrado coincide con la del segmento [0,1], que como ya hemos visto es 1.

Y, ¿qué ocurre con el cubo?, pues exactamente igual:

Biyección entre un segmento y un cubo
Biyección entre un segmento y un cubo

En este caso, tenemos un punto (x,y,z) del espacio tridimensional de coordenadas:

x=0,3143256408876…, y=0,6244356998124…, Z=0,7763423906215…

El nuevo número “r”, se obtiene de nuevo alternando los decimales ahora de x, y, z así, su primera cifra decimal será la primera cifra decimal de x, su segunda cifra decimal será la primera cifra decimal de y, la tercera cifra decimal será la primera de z, la cuarta la segunda de x, la quinta la segunda de y, la sexta la segunda de z,…y de nuevo “así sucesivamente”.

El número que hemos construido “r”, será:

r=0,367127446343234552663499090…

Y de este modo establecemos otra biyección que permite asegurar que la potencia del cubo coincide con la del segmento [0,1], es decir, 1.

¡Sorprendentemente, aunque se amplíe el conjunto de puntos de un segmento al de los puntos de un cuadrado o un cubo, no hay más puntos en el cubo ni en el cuadrado que en el segmento, por más raro que esto resulte no incrementamos realmente el número de objetos con los que trabajamos!

Este resultado que puede ampliarse al hiper-espacio (Espacio de dimensión 4) o a otros de mayor dimensión, chocaba tan frontalmente con la intuición que Cantor mismo escribía en una ocasión a Dedekind, en 1877 con ocasión, precisamente de su construcción de la biyección entre el segmento y el cuadrado: <<Je le vois, mais je ne le crois pas>> (<<Lo veo pero no lo creo>>), y le pedía vehementemente a su amigo que revisase cuidadosamente la demostración.

Pero el incansable Cantor, sigue subiendo peldaños y ahora, a la vista de los resultados, piensa si las dos únicas potencias son la de los naturales 0  y la del continuo 1, y se pregunta:

¿Existirán conjuntos con un cardinal o potencia mayor que 1?

Aleph
Aleph

La respuesta es afirmativa y en la próxima y espero que última entrada sobre este apasionante tema, veremos de qué conjuntos se trata.

hotelinfinitoClick en la imagen

Los números transfinitos: La potencia del continuo; Hablemos del infinito (Parte III)

Aleph
Aleph

La potencia del “continuum”

En entradas anteriores, hemos comprobado como N, Z, Q y otros conjuntos (Pares, primos, triangulares…) poseen la misma potencia: Aleph sub cero. Uno podría empezar a preguntarse, con razón, si todos los conjuntos infinitos de números poseen la misma potencia, pero Cantor, como veremos enseguida, demostró de manera concluyente que no es éste el caso.

El conjunto de los números reales, por ejemplo, como veremos enseguida, posee mayor potencia que, hasta ahora, la única que conocemos: nuestro Aleph sub cero.

Para demostrar esto Cantor utilizó un razonamiento por reductio ad absurdum” (La reducción al absurdo consiste, básicamente, en suponer verdadero lo contrario de lo que deseamos demostrar y a partir de esa premisa llegar a una contradicción) comparando el conjunto de números naturales con el conjunto de los infinitos  números reales comprendidos entre 0 y 1: [0,1].

Nota: Es fácil probar que [0,1] es un conjunto infinito, bastaría encontrar una biyección entre él y uno cualquiera de sus sub-intervalos, lo que está probado, y hacer uso de nuestra definición Dedekind-Cantor de conjunto infinito dada en entradas anteriores.

El razonamiento fue el siguiente:

El argumento de la diagonal

Supongamos que el conjunto de números reales entre 0 y 1 es numerable (Posee la misma potencia que N, aleph sub cero) y supongámoslos expresados todos ellos como decimales que no terminan en una sucesión de ceros, que, por ejemplo 1/3 aparecería como 0,3333…, 1/2 como 0,499999… etc.

Cantor  nos propone considerar la siguiente ordenación de todos los infinitos números reales de [0,1]:

El argumento de la diagonal.
El argumento de la diagonal.

Este famoso argumento se conoce con el nombre de “Argumento de la Diagonal de Cantor”.

“Construyamos un número real”, en la que su primera cifra decimal sea la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En la imagen anterior, nuestro número sería el 0,2496218… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Es fácil prever que el número que acabamos de construir coincide en una cifra decimal, al menos, con cada uno de los de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1.

De nuevo aparece la genialidad del cejudo Cantor y nos propone:

“Hagamos sólo una cosa más…, sugiere Cantor”.

“Sumemos uno a cada cifra decimal del número construido, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0″. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,3507329…,¿y qué?, nos podemos preguntar, seguramente que este número también estará contenido en la lista, pues hemos aceptado como hipótesis que la lista contiene a todos y éste es uno de ellos.

De nuevo la intuición nos precipita. Analicemos la situación con algo de más calma:

Antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de asegurar que nuestro nuevo número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Igual ocurre con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente con todos los elementos de la lista. Así, nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido, es decir, nuestro número no está en la lista.

¡Hemos encontrado la contradicción!

Habíamos supuesto que [0,1] era numerable, es decir, que podríamos ordenar todos sus números (la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1…) lo que, como acabamos de ver es falso, pues el número que hemos construido no se encuentra en la lista.

Dicho de otro modo el intervalo [0,1] es “incontable” en el sentido “cantoriano” más amplio, pues, no sólo no podemos contar el número de elementos que posee en el sentido cuantitativo (“tradicional”), sino que tampoco podemos ponerlo en biyección  con N, es decir, no podemos ordenarlos de ninguna manera. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito que decimos en Matemáticas “incontable”.

En forma de Teorema:

Teorema:  

“El conjunto de números reales del intervalo [0,1] no es numerable, es decir, no se puede poner en correspondencia uno-uno con el conjunto de los números naturales”.

Llegado a este momento, para extender este resultado al conjunto R de los números reales bastará con establecer una biyección entre este intervalo y los reales, no es difícil encontrar una tal biyección entre [0,1] y R, pongamos de ejemplo:

Biyección entre [0,1] y R
Biyección entre [0,1] y R

Es momento de poder exclamar ¡Hemos encontrado dos infinitos diferentes!, De modo que, ya no es posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: el infinito empieza a dejar de ser la borrosa idea y sin distinción que el apeiron” griego nos proponía, sino que existen de diversos grados o tamaños, unos mayores que otros y, que como veremos más tarde, hasta se pueden ordenar.

Cantor denominó al nuevo infinito encontrado asociado a R, “potencia del continuo”, notado como “c” y posteriormente, como veremos ahora, por Aleph sub uno (ℵ1).

Potencia del continuo.
Potencia del continuo.
La potencia del continuo
La potencia del continuo

Cantor demostró una propiedad bastante sencilla y razonable (aunque, como ya hemos visto, la intuición se debe limitar enormemente en este terreno de lo infinito): Si dos conjuntos son numerables, también lo es el conjunto que se crea al unirlos.  Lo que le permitió explorar en el territorio siempre misterioso de los números irracionales.

Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Números Irracionales.
Números Irracionales.

Este conjunto ya atormentó a los pitagóricos hasta el punto que decidieron esconder su descubrimiento: guardaron en secreto la prueba de que la diagonal del cuadrado y su lado son inconmensurables. Como el conjunto de los números reales (no numerable como hemos visto) es la unión de racionales e irracionales, éstos tienen que ser no numerables ya que si fueran numerables, lo tendría que ser R por ser la unión de ellos y no lo es.

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En la entrada anterior hicimos alusión a la “densidad” de Q, en los términos de que entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que se encuentren siempre podremos encontrar infinitos más, pues bien, el conjunto I de los números irracionales es “infinitamente” más denso que el de los racionales, por poner un ejemplo gráfico:

Podemos emplear, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales.

Como acabamos de decir, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. En otras palabras, en un segmento cualquiera [a,b] de la recta real, por mucho zoom que hagamos para “ampliar su tamaño” siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es “muchísimo” mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría el segmento o la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Racionales irracionales segmento

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre 0 y la potencia del continuo 1 ), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? La respuesta es ¡0!.

Es decir, si eligiéramos un número real al azar, la probabilidad de que sea racional es ¡0!.

Resulta probado, pues, que I es no numerable mientras que ya sabíamos que Q sí lo es. Así que es la extrema densidad de los irracionales (ese conjunto cuya existencia descubrieron los pitagóricos del que se conocían no muchos elementos: los radicales de los números primos, el número Pi, el número áureo Fi, … ), la que asegura que la potencia del continuo es mayor que la de N.

aleph y potencia

“El conjunto de los números irracionales I tiene la potencia del continuo”. G. Cantor.

Pero Cantor iría todavía más lejos, y comienza a cuestionarse la existencia de un posible conjunto que tenga una potencia comprendida entre la potencia de N, 0  y la potencia del continuo, 1 que hemos descubierto hoy. En definitiva, Cantor empezó a conjeturar la conocida y cuestionada Hipótesis del Continuo.

Pero esto lo veremos en la próxima entrada. (haz click para seguir leyendo la Parte IV).

Los números Transfinitos: Hablemos del infinito (Parte II)

Aleph
Aleph

Como decíamos en la entrada anterior, Cantor innova la manera de “contar” o medir el “tamaño” de un conjunto, inaugurando el “orden” como una fantástica y eficaz herramienta.

Cuando un conjunto es finito y posee un reducido número de elementos, conocer su tamaño es bien sencillo, basta contar los elementos que posee, así, por ejemplo, el conjunto V= {a,e,i,o,u} posee cinco elementos y decimos que su “cardinal” es 5, escribimos: card(V)=5.

Cuando el conjunto es finito pero posee ya un elevado número de elementos, la cuestión se vuelve más tediosa, pongamos otro ejemplo:

Imaginemos que nos encontramos en una (tan desgraciadamente de moda) “Macrofiesta” que reúne a miles de personas, y deseamos saber si hay más chicos que chicas o al contrario. Pues aunque fuese tedioso y llevase tiempo, una primera manera de hacerlo, sería “contar” uno a uno los asistentes a dicha fiesta, pero Cantor hubiera utilizado esta otra manera, a ver qué os parece:

Cantor propondría que se formaran todas las parejas posibles chico/chica; al final del emparejamiento pudiera ocurrir que, o bien quedan chicas sin pareja, en este caso, habría más chicas que chicos, o chicos sin pareja, lo contrario o, de manera excepcional, hubiese el mismo número de chicos que de chicas después del emparejamiento “uno a uno”, “chico/chica”, es decir, no quedara nadie sin pareja (Cuando esto último ocurre, decimos en Matemáticas que existe una “biyección”, en este caso entre el conjunto de chicos y el conjunto de chicas).

Pues bien, esto mismo hizo Cantor con los Naturales y los Pares.

Podemos utilizar este método llamado de Cantor para comparar sus cardinales. Basta con olvidar por un momento eso de que “en el primer conjunto hay elementos que en el segundo no hay…”. Establezcamos una relación de uno a uno, para emparejar a todos de manera ordenada (según el orden natural).

Biyección entre el conjunto de losnúmeros naturales y los números pares.
Biyección entre el conjunto de losnúmeros naturales y los números pares.

Así, al 1 le asociamos el primer par (su doble) 2, al 2 el segundo par 4, al 3 el tercero 6, a cualquier natural “n” su par asociado 2n y “así sucesivamente” (Es de hacer notar, que con este “sucesivamente”, estamos haciendo uso de un proceso recursivo interminable, pues esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito, es decir, estamos haciendo uso del infinito potencial).

De este modo no hay ninguno que se quede solo (sin pareja) en ninguno de los dos conjuntos, luego ambos tienen el mismo cardinal, es decir, poseen el mismo tamaño.

De igual modo podemos hacer con los números impares:

Biyección entre el conjnto de los números naturales y los números impares.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los números impares.

O con los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo):

Biyección entre el conjunto de los números naturales y los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo)
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los cuadrados perfectos (Paradoja de Galileo)

O con los números triangulares:

Números triangulares
Números triangulares
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los triangulares.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y los triangulares.

Hasta aquí todo bien. Hemos visto que todos estos conjuntos infinitos, por paradójico que resulte, tienen el mismo tamaño.

Es momento de ordenar ideas y presentarlas con algo de más rigor:

“Dos conjuntos A y B son equivalentes si es posible ponerlos, por una cierta ley, en una relación mutua tal que a cada elemento de uno de ellos corresponde un elemento, y sólo uno, del otro. (Georg Cantor)”.

Conjuntos Equipotentes

Se dice que los conjuntos A y B tienen igual potencia, que son equipotentes  o que son conjuntos coordinables, si existe una biyección (relación uno a uno) entre ellos, lo que se expresa:

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Así, los conjuntos vistos anteriormente, Naturales, pares, impares, triangulares, primos,… son equipotentes entre sí.

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Cardinal

Dado un conjunto A, a él y a cualquiera de los conjuntos equipotentes con él se le asignará un objeto matemático (“Tamaño”) llamado cardinal o potencia de A, y que escribiremos:

daum_equation_1357736501265 Dos conjuntos son equipotentes si y sólo si tienen el mismo cardinal (la misma potencia), esto es:

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Conjuntos Infinitos Numerables

Son todos aquellos equipotentes a N, es decir: cualquier conjunto infinito que pueda ponerse en biyección con el conjunto de los naturales, se dice Numerable.

Pues bien, según hemos visto, el cardinal de los naturales, los pares, los impares, los primos, los cuadrados, etc. es el mismo y por tanto numerables. A dicho cardinal  Cantor lo representó con el símbolo aleph sub cero.  Así pues, aleph sub cero representa el cardinal de los conjuntos infinitos numerables (aquellos que pueden ponerse en aplicación biyectiva con los números naturales) y es, como veremos, el primero del sistema que llamó Cantor de los números transfinitos.

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Así, hemos descubierto un increíble y, matemáticamente hablando, un maravilloso hallazgo: Hemos encontrado partes propias (el conjunto de pares es distinto de los naturales y está incluido en él; decimos en matemáticas que es una parte propia de N) de un todo, que poseen el mismo “tamaño” que el todo por paradójico que resulte. Nuestro primer infinito:

Primer número Transfinito.
Primer número Transfinito.

Pero esto no es más que el comienzo, subamos un peldaño más en esta escalera del infinito.

Sistemas numéricos2

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Cantor siguió haciéndose preguntas algo más amplias: ¿Son todos los infinitos iguales?, es decir, ¿todos los conjuntos infinitos son numerables?

Hasta ahora hemos comparado tamaños entre N y algunas de sus partes, ¿qué ocurrirá si comparamos N con otros conjuntos en los que está contenido?

De otro modo  ¿qué sucede con los números enteros (es decir, los naturales positivos junto con los negativos y el cero, o con los racionales (enteros y fraccionarios), o con el todopoderoso R de los números reales? que son conjuntos que contienen a N o, por decirlo de algún modo,  “más amplios” que N. ¿Son estos conjuntos numerables? O, lo que es lo mismo, ¿pueden ponerse en biyección con N?, ¿poseen por cardinal también a Aleph sub cero?.

La respuesta como veremos enseguida es variada.

Comencemos por comparar el infinito del conjunto Z (del griego Zhalem) de los números enteros, con nuestro Aleph sub cero de los Naturales.

Naturales y Enteros
Naturales y Enteros

Si confiáramos de nuevo en la intuición, al contener Z a N, podríamos en principio pensar que Z posee un cardinal mayor que el de N; pues de nuevo Cantor nos prueba que no, es exactamente igual.

Para probarlo y según lo dicho anteriormente, bastaría encontrar una biyección que pusiera en relación a N con Z para poder asegurar que Z es otro conjunto infinito numerable, es decir con el mismo cardinal que N: aleph sub cero.

Pues aquí va una tal biyección que nos resuelve la situación:

Biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números enteros.
Biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números enteros.

Donde:

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Podemos así asegurar que N y Z son equipotentes, es decir, poseen el mismo cardinal, nuestro primer transfinito aleph sub cero.

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Pero Cantor nos sube un peldaño más en esta imparable escalera que nos sube al infinito, preguntándose:

¿Qué ocurrirá con Q (Racionales: Enteros mas fraccionarios)?, ¿será también Q un conjunto infinito numerable?, es decir, ¿del mismo tamaño que N?.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Ya hemos comprobado que no debemos llevarnos de la intuición ni dar respuestas precipitadas pues acabamos de ver como hay tantos naturales como pares, o tantos como primos, o como cuadrados, enteros, etc. a pesar de que no todos los naturales son pares, primos o cuadrados… ni todos los enteros son naturales.

Densidad en Q.

“Entre dos números racionales cualesquiera (por muy próximos entre sí que se encuentren en la recta real) existen una cantidad infinita de números racionales”.

Esta propiedad (arquimediana) de los racionales en matemáticas la llamamos densidad, podemos decir que Q es denso en el conjunto de los reales que lo contiene.

No es difícil imaginar la densidad,  basta considerar dos números racionales como extremos de un segmento. El punto medio de ese segmento será también racional, y genera dos segmentos que, a su vez, se pueden subdividir infinitamente (de nuevo el infinito potencial).

Pero vayamos a la cuestión, nos preguntábamos sobre el tamaño de Q, su cardinalidad, de si es o no un conjunto infinito numerable.

Para ello Cantor de nuevo se plantea si es posible ordenar todas las fracciones según el orden natural, y aquí vuelve a brillar su genio y nos presenta la siguiente ordenación de Q.

Comenzamos colocando todos los números racionales en una tabla, y aprovechando que una fracción no es más que una pareja de enteros que ocupan su numerador y su denominador respectivamente, los dispone del siguiente modo: cada fila tiene un mismo número natural en el numerador, y cada columna un mismo número en el denominador:

Diagrama que contiene a los racionales ordenados.
Diagrama que contiene a los racionales ordenados.

O en forma de biyección:

Biyección entre N y Q
Biyección entre N y Q

De nuevo quedamos fascinados ante el resultado: El conjunto Q de los números racionales ES INFINITO NUMERABLE, es decir, posee por cardinal nuestro aleph sub cero, el mismo cardinal que N y Z. Así, N, Z y Q posee la misma potencia.

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Pero sigamos subiendo nuestra escalera infinita, el incansable Cantor se enfrenta ahora al “Continuum”, el conjunto de los números reales, el que contiene a todos los anteriores y algunos más: los “famosos” números Irracionales, que tanto dieron que hacer a los Pitagóricos.

¿Cuál será el cardinal de R?, es decir, ¿Cuál será la Potencia del “continuum”?

La respuesta la daremos en nuestra siguiente entrada. (Haz click para leer la tercera parte).

Los números Transfinitos: Hablemos del Infinito. (Parte I)

Importante: Este artículo y los que le suceden, sin perder la compostura matemática (rigor en lo que se dice), tiene como principal, y diría, que único objetivo acercar la idea de infinito con sencillez, divulgando, pero sin caer en la vulgaridad, al mayor número de lectores posibles, tengan o no formación matemática. Espero, sea “entendible”. Dicho esto, comenzamos.

El Aleph

“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.
“Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca?”, apunta Borges. El hallazgo estará expuesto a “la contaminación de la literatura y, por ende, de la falsedad”. Agrega luego, “el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial de un conjunto finito”.

Zenon de Elea

Aquiles y la Tortuga
Aquiles y la Tortuga

Aporía del Estadio

El argumento es así: Un atleta debe correr la distancia de un estadio (El estadio era una unidad de longitud griega, que tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros). Para llegar al final el atleta debe correr la primera mitad y para ello ha de correr previamente la mitad de esa mitad y así sucesivamente, de modo ilimitado, resultando que ni siquiera puede empezar a correr porque tendría que correr un conjunto ilimitado de distancias, siendo cada una la mitad de la siguiente. Esta aporía estaba dirigida contra los matemáticos que consideraban el espacio como una magnitud ilimitadamente divisible, porque Zenón pensaba que eso producía contradicciones al razonar.

Aporía de Aquiles y la Tortuga.

El argumento dice: Aquiles, el de los pies ligeros, corre para alcanzar a una tortuga que se halla a cierta distancia. Aquiles nunca la alcanza, porque cuando llega a donde estaba originariamente la tortuga ésta ha avanzado un trecho y cuando Aquiles corre ese trecho la tortuga ha avanzado otro trecho y así sucesivamente, de modo ilimitado.
Esta aporía es semejante a la del estadio, con la diferencia de que ahora se trata de la relación entre dos objetos móviles. Zenón está poniendo de relieve una contradicción que resulta de pensar el espacio como si fuera una magnitud ilimitadamente divisible. Notemos que en ambas aporías la divisibilidad ilimitada del espacio en relación a un movimiento entraña también la divisibilidad ilimitada del tiempo, algo con lo que Zenón tampoco estaba de acuerdo.

En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 - 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 - 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.
En la biblioteca del Escorial, cerca de Madrid, España, hay un fresco pintado entre 1588 y 1595 por Bartolomeo Carducci (1560 – 1608) o Pellegrino Tibaldi (1527 – 1596), que nos muestra a un anciano señalando dos puertas con las inscripciones Veritas y Falsitas. El anciano es seguido por un grupo de jovenes, varios de ellos con libros en sus manos. A sus pies se lee Zenon Heleates.

Desde los días del viejo Zenón y sus paradojas o aporías , los hombres no han cesado de hablar del infinito, tanto en teología, en filosofía o en matemáticas. Lo más frecuente era que en las discusiones sobre el infinito los ejemplos que se citaran fueran cosas tales como un poder ilimitado o una magnitud indefinidamente grande.

Busto de Aristóteles en Roma.
Busto de Aristóteles en Roma.

Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual“La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión “así sucesivamente” encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.

Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal en Matemáticas.

Si se entiende como infinito el concepto dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que “no tiene fin, término ni límite”. Sin embargo, esta concepción puede no ajustarse a algunas nociones matemáticas en donde la idea de no tener fin, no tener límite o no tener término no es tan clara. Por ejemplo, se sabe que el intervalo [0, 1] (Conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 ambos inclusive) es un conjunto infinito pero no es cierto que no tiene  fin ni límite en el sentido de que es un conjunto acotado.

Por otra parte, el infinito actual se refiere a un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristóteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.

Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)
Galileo Galilei. Domenico Tintoretto (Pintura de 1605 a1607)

En el transcurso del tiempo, la atención sobre el infinito se centró en los infinitos elementos de una colección concreta, de lo que nos avisa Galileo con su famosa paradoja “Paradoja de Galileo”, que aparece en su libro “Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias” o más comúnmente:  “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. La paradoja comienza con la afirmación de que un número natural es un cuadrado perfecto o no lo es. Un cuadrado perfecto no es más que el cuadrado de un número entero. Ahora, si a cada natural lo multiplicamos por si mismo vamos a obtener un cuadrado, que también será un natural.

Esto significa que hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es paradójico porque no todos los naturales son cuadrados. De hecho, a medida que avanzamos en la recta encontramos que aumenta la cantidad de números entre dos cuadrados. Esto insinúa que el todo no tiene porqué ser mayor que cualquiera de sus partes por separado.

Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)
Karl Weierstrass (1815-1897), por Conrad Fehr (1895)

Karl Weierstrass: «Un matemático no es digno de ese nombre si no es un poco poeta».

Cauchy y Weierstrass (Profesor de Cantor) pensaban que sólo podían resultar paradojas los intentos de identificar un “infinito completo” o “actual” en la matemática, creyendo que lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño no representaban más que las correspondientes potencialidades de Aristóteles, es decir, el carácter esencialmente incompleto del proceso en cuestión.

Aunque se encontraban bajo la influencia del análisis de Weierstrass, dos de sus discípulos Dedekind y Cantor llegaron, sin embargo, a una conclusión digamos opuesta.

Paradojas de Bolzano

Bernard Bolzano
Bernard Bolzano

En 1851 se publicaron “Las Paradojas del Infinito” de Bernard Bolzano. En esta obra analiza la siguiente serie:

Paradoja Bolzano5

Dedekind
Dedekind

El primero de ellos, Dedekind vio en las paradojas de Bolzano,  no algo anómalo, sino justamente una propiedad universal de los conjuntos infinitos, que Dedekind adoptó como una definición precisa:

“Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito”

En una terminología más actual, un conjunto A se dice infinito, si existe un subconjunto propio de A  tal que los elementos de se pueden poner en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los elementos de A.

Nota:

Esta definición <<positiva de un conjunto infinito completo>> no debe confundirse con la proposición que se expresa a veces utilizando el símbolo de Wallis:

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esta expresión significa únicamente que no existe ningún número real, <<por grande que sea>> que multiplicado por 0 proporcione 1.

Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.
Fue el matemático John Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor con el significado de infinito. En Matemáticas a esta preciosa curva la conocemos como Lemniscata.

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 – Halle, 6 de enero de 1918)

Cantor reconoció, lo mismo que Dedekind, la propiedad fundamental de los conjuntos infinitos, pero se dio cuenta además de que no todos los conjuntos infinitos son del <<mismo tamaño>>, cosa que no parecía haber pensado Dedekind.

Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.

Puede ser el momento de comenzar un paseo, desde el inicio hasta el final, de las ideas que rondaban las cejas de Cantor.

Comenzamos:

Una situación ingenua con la que a veces abordamos a nuestros alumnos:

De todos es conocido que los números naturales (en lo sucesivo N), son los llamados enteros positivos, y llamados así pues nos permiten contar los objetos de manera natural: 1,2,3,…,n,.., una primera clasificación de estos podría ser en Pares e Impares, pues bien, Cantor nos propone una primera e “ingenua” cuestión: Si el conjunto de números naturales (N) lo consideramos como un todo, es claro que el conjunto de los números pares  (P) es una parte de dicho todo, ahí va la “ingenua” pregunta ¿qué conjunto de los dos posee más elementos?.

A esta cuestión, los alumnos abrumadoramente y cegados por la intuición responden con un convencimiento absoluto: N, que además de los pares contiene a los impares, y aunque, en principio, el lector no lo crea la respuesta es errónea.

Existen tantos números pares como naturales. Veamos cómo nos lo explica Cantor.

Pero esta respuesta y más sorpresas sobre el infinito la dejamos para la próxima entrada (Haz click para seguir leyendo la segunda parte).